Презентация проекта "Задачи с практическим содержанием при подготовке к ОГЭ"

Задачи с практическим содержанием при подготовке к ОГЭ

Выполнил Кенженбетов Альбек

9 класс

Руководитель Семенова Т.В.

Актуальность проблемы

Актуальность проекта.

• В нашей повседневной жизни мы настолько привыкли к математике, что даже не замечаем, что пользуемся ею постоянно. А ведь до сих пор ученики задают вопрос «А зачем нам нужна математика? Только в магазин сходить?». Так для чего же мы изучаем дроби, площадь, периметр, объем? Для чего нужны геометрические сведения? Где каждому человеку математика необходима в повседневной жизни? А что будет, если математику совсем не знать? А что необходимо знать, чтобы решать такие задачи?

Гипотеза

• Могут ли математические задачи описать конкретные жизненные ситуации и помочь решить их?
• Что можно практически рассчитать с помощью формул, определений, теорем математики?

• Цель проекта:

• Проверить какие знания необходимы, для выполнения задания № 15 ОГЭ.
• Показать важность и необходимость применения задач с практическим содержанием при изучении математики.
• Развитие навыков самостоятельного получения информации, формирование умения отбирать и структурировать материал.

Задачи проекта.  

• Изучить, где математика встречается в жизни и доказать ее необходимость.  Ответить на вопросы: Как люди используют математику в своей жизни? Как часто люди сталкивают с математическими задачами? Есть ли в материалах ОГЭ задачи, связанные с повседневной жизнью?

Задачи с практическим содержанием

• Под задачей с практическим содержанием понимается математическая задача, которая раскрывает приложения математики в окружающей нас действительности, в смежных дисциплинах, знакомит с ее использованием в организации, технологии и экономике современного производства, в сфере обслуживания, в быту, при выполнении трудовых операций.

Темы задач задания №15 на ОГЭ

• Теорема Пифагора
• Подобие треугольников
• Вычисление длин и площадей
• Углы
• Разные задачи

Теорема Пифагора

1.От стол­ба вы­со­той 9 м к дому на­тя­нут провод, ко­то­рый кре­пит­ся на вы­со­те 3 м от земли. Рас­сто­я­ние от дома до стол­ба

8 м. Вы­чис­ли­те длину провода.

Решение.

Проведём отрезок, па­рал­лель­ный го­ри­зон­таль­ной прямой, как по­ка­за­но на рисунке. Таким об­ра­зом, за­да­ча сво­дит­ся к на­хож­де­нию ги­по­те­ну­зы пря­мо­уголь­но­го треугольника; обо­зна­чим её за x.  По тео­ре­ме Пифагора:

Ответ: 10.

Теорема Пифагора

2. Лестницу дли­ной 3 м при­сло­ни­ли к дереву. На какой вы­со­те (в метрах) на­хо­дит­ся верхний её конец, если ниж­ний конец от­сто­ит от ство­ла дерева на 1,8 м?

Решение.

Задача сво­дит­ся к на­хож­де­нию катета пря­мо­уголь­но­го треугольника, по тео­ре­ме Пифагора он равен:

Ответ: 2,4.

Теорема Пифагора

3. Глубина кре­пост­но­го рва равна 8 м, ши­ри­на 5 м, а вы­со­та кре­пост­ной стены от ее ос­но­ва­ния 20 м. Длина лестницы, по ко­то­рой можно взо­брать­ся на стену, на 2 м больше, чем рас­сто­я­ние от края рва до верх­ней точки стены (см. рис.). Най­ди­те длину лестницы.

• Решение.

Расстояние  AB  — ги­по­те­ну­за пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка с ка­те­та­ми 5 м и 20 − 8 = 12 м. Тем самым, длина  AB  равна 13 м, а длина лест­ни­цы равна 15 м.

Ответ: 15.

Теорема Пифагора

4.Точка креп­ле­ния троса, удер­жи­ва­ю­ще­го флаг­шток в вер­ти­каль­ном по­ло­же­нии, на­хо­дит­ся на вы­со­те 6,3 м от земли. Длина троса равна 6,5 м. Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки ос­но­ва­ния флаг­што­ка до места креп­ле­ния троса на земле. Ответ дайте в мет­рах.

Решение.

Задача сво­дит­ся к на­хож­де­нию ка­те­та пря­мо­уголь­но­го треугольника. Из тео­ре­мы Пи­фа­го­ра получаем, что ис­ко­мое рас­сто­я­ние равно: 

Ответ: 1,6.

Теорема Пифагора

5. По­жар­ную лест­ни­цу дли­ной 13 м при­ста­ви­ли к окну пя­то­го этажа дома. Ниж­ний конец лест­ни­цы от­сто­ит от стены на 5 м. На какой вы­со­те рас­по­ло­же­но окно? Ответ дайте в мет­рах

Решение.

Задача сво­дит­ся к на­хож­де­нию катета пря­мо­уголь­но­го треугольника:

Ответ: 12.

Теорема Пифагора

6.Длина стре­мян­ки в сло­жен­ном виде равна 1,11 м, а рас­сто­я­ние между её ос­но­ва­ни­я­ми в раз­ло­жен­ном виде со­став­ля­ет 0,72 м. Най­ди­те вы­со­ту (в метрах) стре­мян­ки в раз­ло­жен­ном виде.

Решение.

Данная за­да­ча сво­дит­ся к на­хож­де­нию ка­те­та пря­мо­уголь­но­го треугольника. Пусть x  — ис­ко­мое расстояние, тогда:

Ответ: 1,05.

Теорема Пифагора

7. Лест­ни­ца со­еди­ня­ет точки A и B . Вы­со­та каж­дой сту­пе­ни равна 14 см, а длина — 48 см. Рас­сто­я­ние между точ­ка­ми A и B со­став­ля­ет 10 м. Най­ди­те вы­со­ту, на ко­то­рую под­ни­ма­ет­ся лест­ни­ца (в мет­рах).

Решение.

Задача сво­дит­ся к на­хож­де­нию ка­те­та пря­мо­уголь­но­го треугольника. Пусть ко­ли­че­ство сту­пе­ней равно  n тогда вы­со­та лест­ни­цы со­став­ля­ет 14n см.  А длина по го­ри­зон­та­ли со­став­ля­ет 48n см  . По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра найдём рас­сто­я­ние между точ­ка­ми  A  и  B :

Откуда получаем, что число сту­пе­ней    Следовательно, высота, на ко­то­рую под­ни­ма­ет­ся лестница, равна 

Ответ: 2,8.

Подобие треугольников

1.Короткое плечо шлаг­бау­ма имеет длину 1 м, а длин­ное плечо – 3 м. На какую вы­со­ту (в метрах) опу­стит­ся конец ко­рот­ко­го плеча, когда конец длин­но­го плеча под­ни­ма­ет­ся на 1,8 м?

Решение.

Найдём синус угла, на ко­то­рый поднимается длин­ное плечо:

Угол подъ­ема длинного плеча равен углу на ко­то­рый опустится ко­рот­кое плечо. Пусть  x  — высота, на ко­то­рую опустится ко­рот­кое плечо, имеем:

Таким образом, ко­рот­кое плечо опу­стит­ся на 0,6 м.

Ответ: 0,6.

Подобие треугольников

2. Проектор пол­но­стью освещает экран  A  вы­со­той 80 см, рас­по­ло­жен­ный на рас­сто­я­нии 250 см от проектора. На каком наи­мень­шем расстоянии (в сантиметрах) от про­ек­то­ра нужно рас­по­ло­жить экран  B  вы­со­той 160 см, чтобы он был пол­но­стью освещён, если на­строй­ки проектора оста­ют­ся неизменными?

Решение.

Заметим, что вы­со­та экрана, рас­по­ло­жен­но­го на рас­сто­я­нии 250 см, в 2 раза мень­ше высоты экрана, рас­по­ло­жен­но­го на ис­ко­мом расстоянии, значит, по тео­ре­ме о сред­ней линии, ис­ко­мое расстояние в два раза боль­ше первоначального экрана: 250·2 = 500.

Ответ: 500 .

Подобие треугольников

3.На каком рас­сто­я­нии (в мет­рах) от фо­на­ря стоит че­ло­век ро­стом 2 м, если длина его тени равна 1 м, вы­со­та фо­на­ря 9 м?

Решение.

Введём обозначения, как по­ка­за­но на рисунке. Рас­смот­рим прямоугольные тре­уголь­ни­киa AEB и CDE   и   они имеют общий угол E  и, следовательно, по­доб­ны по двум углам. Значит,    Откуда 

Получаем, что 

Ответ: 3,5.

Подобие треугольников

4.Че­ло­век, рост ко­то­ро­го равен 1,8 м, стоит на рас­сто­я­нии 16 м от улич­но­го фо­на­ря. При этом длина тени че­ло­ве­ка равна 9 м. Опре­де­ли­те вы­со­ту фо­на­ря (в мет­рах). 

Решение.

Введём обозначения, как по­ка­за­но на рисунке. Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки ABE  и  CDE они имеют общий угол E  и, следовательно, по­доб­ны по двум углам. Значит,    от­ку­да 

Ответ: 5.

Вычисление длин и площадей

1. Площадь пря­мо­уголь­но­го земельного участ­ка равна 9 га, ши­ри­на участка равна 150 м. Най­ди­те длину этого участ­ка в метрах.

Решение.

Переведем пло­щадь участка в квад­рат­ные метры: 9 га = 90 000 м 2 .

Площадь пря­мо­уголь­ни­ка равна про­из­ве­де­нию его смеж­ных сторон. Поэтому, длина участ­ка равна: 90 000 : 150 = 600 м.

  Ответ: 600.

2. Найдите пе­ри­метр прямоугольного участ­ка земли, пло­щадь которого равна 800 м 2  и одна сто­ро­на в 2 раза боль­ше другой. Ответ дайте в метрах.

Решение.

Пусть  x  м — длина одной стороны, тогда длина вто­рой стороны — 2 x . Так как пло­щадь прямоугольника равна про­из­ве­де­нию его смеж­ных сторон, имеем:  от­ку­да   

Периметр пря­мо­уголь­ни­ка равен сумме длин всех его сторон. Таким образом,

Ответ: 120.

Вычисление длин и площадей

3. Сколько досок дли­ной 3,5 м, ши­ри­ной 20 см и тол­щи­ной 20 мм вый­дет из че­ты­рех­уголь­ной балки дли­ной 105 дм, име­ю­щей в се­че­нии прямоугольник раз­ме­ром 30 см   40 см?

Решение.

Найдем объем доски : 350 · 20 · 2 = 14 000 см 3 . Най­дем объем балки: 1050 · 30 · 40 = 1 260 000 см 3 .

Поэтому ко­ли­че­ство досок равно 1 260 000 : 14 000 = 90.

Ответ: 90.

4.Определите, сколь­ко необходимо за­ку­пить пленки   для гид­ро­изо­ля­ции садовой дорожки, изоб­ра­жен­ной на рисунке, если её ши­ри­на везде одинакова.

Решение.

Разделим фигуру, изображенную на кар­тин­ке на 3 прямоугольника. Най­дем площадь пер­во­го прямоугольника: 5 · 1 = 5 м 2 . Най­дем площадь вто­ро­го прямоугольника: 4 · 1 = 4 м 2 . Най­дем площадь тре­тье­го прямоугольника: 4 · 1 = 4 м 2 . Сло­жим все площади: 5 м 2 +4 м 2  + 4 м 2  = 13 м 2 .

Таким образом, по­тре­бу­ет­ся закупить 13 м 2  пленки.

  Ответ: 13.

Вычисление длин и площадей

5. Дизайнер Павел по­лу­чи­л заказ на де­ко­ри­ро­ва­ние че­мо­да­на цвет­ной бумагой. По ри­сун­ку определите, сколь­ко бу­ма­ги (в см 2 ) не­об­хо­ди­мо за­ку­пить Павлу, чтобы окле­ить всю внеш­нюю по­верх­ность чемодана, если каж­дую грань он будет об­кле­и­вать от­дель­но (без загибов).

Решение.

Найдем пло­ща­ди всех деталей, ко­то­рые не­об­хо­ди­мо обклеить:

Так как че­мо­дан имеет по две оди­на­ко­вых детали, вся пло­щадь, ко­то­рую не­об­хо­ди­мо обклеить равна

Ответ: 17400.

Вычисление длин и площадей

6. Наклонная крыша уста­нов­ле­на на трёх вер­ти­каль­ных опорах, рас­по­ло­жен­ных на одной прямой. Сред­няя опора стоит по­се­ре­ди­не между малой и боль­шой опо­ра­ми (см. рис.). Вы­со­та сред­ней опоры 3,1 м, вы­со­та боль­шей опоры 3,3 м. Най­ди­те вы­со­ту малой опоры.

Решение.

Дан­ная за­да­ча сво­дит­ся к на­хож­де­нию од­но­го из ос­но­ва­ний трапеции. Пусть длина не­из­вест­но­го отрезка равна   По тео­ре­ме Фаллеса, получаем, что прямые, об­ра­зо­ван­ные опорами, от­се­ка­ют на крыше рав­ные отрезки. По­это­му сред­няя опора яв­ля­ет­ся сред­ней ли­ни­ей трапеции. Сред­няя линия равна по­лу­сум­ме ос­но­ва­ний трапеции    от­ку­да получаем, что 

x = 2,9

  Ответ: 2,9.

Вычисление длин и площадей

7. Картинка имеет форму пря­мо­уголь­ни­ка со сто­ро­на­ми 19 см и 32 см. Её на­кле­и­ли на белую бу­ма­гу так, что во­круг кар­тин­ки по­лу­чи­лась белая окан­тов­ка оди­на­ко­вой ширины. Площадь, ко­то­рую за­ни­ма­ет кар­тин­ка с окантовкой, равна 1080 см 2 . Ка­ко­ва ши­ри­на окантовки? Ответ дайте в сантиметрах.

Решение.

Пусть x  см — ши­ри­на окантовки. Пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка равна про­из­ве­де­нию сторон., по­лу­ча­ем уравнение:

  Корень −29,5 не под­хо­дит по усло­вию задачи, следовательно, ши­ри­на окан­тов­ки равна 4 см.

  Ответ: 4.

Вычисление длин и площадей

8. Глубина бас­сей­на со­став­ля­ет 2 метра, ши­ри­на — 10 метров, а длина — 25 метров. Най­ди­те сум­мар­ную пло­щадь бо­ко­вых стен и дна бас­сей­на (в квад­рат­ных метрах).

Решение.

Дно и стены бас­сей­на — прямоугольники, по­это­му пло­щадь дна бас­сей­на равна 10 · 25 = 250 м 2 , а пло­щадь че­ты­рех его стен равна 2 · (2 · 10 + 2 · 25) = 140 м 2 . Тем самым, общая пло­щадь равна 390 м 2 .

  Ответ: 390.

9. Пол ком­на­ты, име­ю­щей форму пря­мо­уголь­ни­ка со сто­ро­на­ми 4 м и 9 м, тре­бу­ет­ся по­крыть пар­ке­том из пря­мо­уголь­ных до­ще­чек со сто­ро­на­ми 10 см и 25 см. Сколь­ко по­тре­бу­ет­ся таких до­ще­чек?

Решение.

Площадь всей ком­на­ты равна 4 · 9 = 36 м 2 . Пло­щадь одной до­щеч­ки 0,1 · 0,25 = 0,025 м 2 . Получаем, что по­тре­бу­ет­ся 36 : 0,025 = 1440 дощечек. Ответ: 1440.

10. Задание Сколь­ко по­тре­бу­ет­ся ка­фель­ных пли­ток квад­рат­ной формы со сто­ро­ной 20 см, чтобы об­ли­це­вать ими стену, име­ю­щую форму пря­мо­уголь­ни­ка со сто­ро­на­ми 3 м и 4,4 м?

Решение.

Площадь стены равна 3 · 4,4 = 13,2 м 2 . Пло­щадь одной плит­ки равна 0,2 2  = 0,04 м 2 . Получаем, что для об­ли­цов­ки потребуется 13,2 : 0,04 = 330 плиток. Ответ: 330.

11. Какое наи­боль­шее число ко­ро­бок в форме пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да раз­ме­ром 40×80×100 (см) можно по­ме­стить в кузов ма­ши­ны раз­ме­ром 3,2×3,2×8 (м)?

Решение.

Объём одной ко­роб­ки равен 0,4 · 0,8 · 1 = 0,32  . Объём ку­зо­ва ма­ши­ны равен 3,2 · 3,2 · 8 = 81,92  . Таким образом, в кузов можно по­ме­стить 81,92/0,32 = 256 коробок.

  Ответ: 256.

Углы

1.Какой угол (в градусах) об­ра­зу­ют минутная и ча­со­вая стрелки часов в 5 ч?

Решение.

Часовыми де­ле­ни­я­ми циферблат раз­бит на 12 кру­го­вых секторов. Угол каж­до­го из них равен 360° : 12 = 30°. Между ми­нут­ной и ча­со­вой стрелкой пять ча­со­вых делений. Они об­ра­зу­ют угол 150°.

  Ответ: 150.

2. Какой угол (в градусах) опи­сы­ва­ет ми­нут­ная стрел­ка за 10 мин

Решение.

Минутными де­ле­ни­я­ми ци­фер­блат раз­бит на 60 кру­го­вых сек­то­ров. Угол каж­до­го из них равен 360° : 60 = 6°. За 10 минут ми­нут­ная стрелка про­хо­дит 10 · 6° = 60°.  Ответ: 60.

3. На какой угол (в градусах) по­во­ра­чи­ва­ет­ся минутная стрел­ка пока ча­со­вая проходит  ?

Решение.

Минутная стрел­ка движется в 12 раз быст­рее часовой, по­это­му она пройдёт 24°.

  Ответ: 24.

4.На сколь­ко гра­ду­сов по­вер­нет­ся Земля во­круг своей оси за 7 часов?

Решение.

За сутки Земля со­вер­ша­ет полный оборот, то есть по­во­ра­чи­ва­ет­ся на 360°. Следовательно, за один час Земля по­во­ра­чи­ва­ет­ся на 360° : 24 = 15°. Получаем, что за 7 часов Земля по­во­ра­чи­ва­ет­ся на 7 · 15° = 105°.

  Ответ: 105.

5. За сколь­ко часов Земля по­вер­нет­ся во­круг своей оси на 120°?

Решение.

За сутки Земля со­вер­ша­ет пол­ный оборот, то есть по­во­ра­чи­ва­ет­ся на 360°. Следовательно, за один час Земля по­во­ра­чи­ва­ет­ся на 360° : 24 = 15°. Получаем, что на 120° часов Земля по­во­ра­чи­ва­ет­ся за 120° : 15° = 8 часов.

  Ответ: 8.

Углы

6. Колесо имеет 18 спиц. Углы между соседними спицами равны. Найдите угол, который образуют две соседние спицы. Ответ дайте в градусах.

Решение.

Колесо пред­став­ля­ет собой круг, 18 спиц ко­то­ро­го делят на 18 кру­го­вых секторов. Так как развёрнутый угол равен 360° для каж­до­го из сек­то­ров имеем: 

  Ответ: 20.

7. На рисунке изображено колесо с пятью спицами.

Сколько спиц в колесе, в котором угол между любыми соседними спицами равен 18°?

Решение.

Колесо пред­став­ля­ет собой круг. Ко­ли­че­ство спиц сов­па­да­ет с ко­ли­че­ством секторов на ко­то­рые ими оно делится. Так как развёрнутый угол 360°, а угол между спи­ца­ми равен 18°, имеем:   По­это­му спиц в ко­ле­се 20 штук.

Ответ: 20.

8.  Сколь­ко спиц в ко­ле­се, если угол между со­сед­ни­ми спи­ца­ми равен 8°?

Решение.

Пусть в ко­ле­се  n спиц. Ко­ле­со пред­став­ля­ет собой круг,  n спиц ко­то­ро­го делят его на  n кру­го­вых секторов. Так как пол­ный угол равен 360°, для каж­до­го из сек­то­ров имеем:    От­ку­да 

  Ответ: 45.

Разные задачи

1. В 60 м одна от дру­гой растут две сосны. Вы­со­та одной 31 м, а дру­гой — 6 м. Най­ди­те расстояние (в метрах) между их верхушками.

Решение.

Две сосны яв­ля­ют­ся основаниями пря­мо­уголь­ной трапеции. Не пер­пен­ди­ку­ляр­ная основаниям бо­ко­вая сторона яв­ля­ет­ся расстоянием между верхушками. Най­дем это рас­сто­я­ние по тео­ре­ме Пифагора: 

  Ответ: 65.

2 . Определите вы­со­ту дома, ши­ри­на фа­са­да ко­то­ро­го равна 8 м, вы­со­та от фун­да­мен­та до крыши равна 4 м, а длина ската крыши равна 5 м.

Решение.

Крыша дома имеет форму рав­но­бед­рен­но­го треугольника. Вы­со­та этого тре­уголь­ника яв­ля­ет­ся ме­ди­а­ной и равна

Высота всего дома равна длине вы­со­ты крыши и вы­со­ты фун­да­мен­та до крыши. Таким об­ра­зом вы­со­та дома равна: 4 + 3 = 7 м.

  Ответ: 7.

Разные задачи

3. Лестница со­еди­ня­ет точки   A  и B   , рас­сто­я­ние между ко­то­ры­ми равно 25 м. Вы­со­та каж­дой сту­пе­ни равна 14 см, а длина — 48 см. Най­ди­те вы­со­ту BC   (в метрах), на ко­то­рую под­ни­ма­ет­ся лестница.

Решение.

Профиль каж­дой сту­пень­ки имеет форму пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка с ка­те­та­ми 14 и 48 см. Найдём ги­по­те­ну­зу каж­до­го из них:

  Так как рас­сто­я­ние от  A  до  B  равно 25 мет­рам можем найти ко­ли­че­ство ступеней: 25 : 0,5 = 50 шт.

По усло­вию за­да­чи вы­со­та одной сту­пе­ни равна 14 см, таким образом, най­дем вы­со­ту лестницы: 50 · 14 см = 700 см = 7 м.

  Ответ: 7.

Разные задачи

4. Обхват ство­ла секвойи равен 4,8 м. Чему равен его диа­метр (в метрах)? Ответ округ­ли­те до десятых.

Решение.

Поскольку длина окруж­но­сти выражается через её диа­метр формулой    имеем

Ответ:1,5.

5. На карте по­ка­зан путь Лены от дома до школы. Лена из­ме­ри­ла длину каж­до­го участка и под­пи­са­ла его. Ис­поль­зуя рисунок, опре­де­ли­те длину пути (в м), если мас­штаб 1 см : 10 000 см.

Решение.

Длина всего пути по карте равна 6 + 6 + 2 = 14 см. Так как мас­штаб равен 1 : 10 000, Лена про­шла 140 000 см или 1 400 метров.

  Ответ: 1400.

Заключение.

• В заключение хочется сказать, что умение выполнять несложные вычисления и расчеты необходимо каждому человеку, так как с такими задачами мы сталкиваемся в повседневной жизни постоянно. Надеюсь, что моя работа найдет практическое применение не только на уроках математики и при подготовке к экзаменам, но и поможет в жизни после школы, даже если будущая профессия не будет связана с математикой.

Литература

• Открытый банк задач http :// oge.fipi.ru

• Решу ОГЭ https ://oge.sdamgia.ru /

• Ященко И.В. ОГЭ: 3000 задач с ответами по математике / Под ред. И.В. Ященко. – М. Издательство «Экзамен». МЦНМО, 2017. – 479 с.
• Смирнова И.М., Смирнов В. А.: Геометрические задачи с практическим содержанием.—М.: МЦНМО, 2015—2-е изд., доп.—216 с.