Презентация "Производная"

производная

Определение производной, ее геометрический и физический смысл

Определение производной

Пусть на некотором интервале (a, b) определена функция y= f(x). Возьмем любую точку x 0 из этого интервала и зададим аргументу x в точке x 0 произвольное приращение ∆ x такое, что точка x 0 + ∆ x принадлежит этому интервалу. Функция получит приращение

Производной функции y= f(x) в точке x =x 0 называется предел отношения приращения функции ∆y в этой точке к приращению аргумента ∆x , при стремлении приращения аргумента к нулю.

Геометрический смысл производной

y

Пусть функция y= f(x) определена на некотором промежутке (a, b). Тогда тангенс угла наклона секущей МР к графику функции.

Где  - угол наклона касательной функции f(x) в точке (x 0 , f(x 0 )).

͢͢

Угол между кривыми может быть определен как угол между касательными, проведенными к этим кривым в какой- либо точке.

β

α

Уравнение касательной к кривой:

Уравнение нормали к кривой:

Физический смысл производной 1. Задача об определении скорости движения материальной частицы

Пусть вдоль некоторой прямой движется точка по закону s= s(t), где s- пройденный путь, t- время, и необходимо найти скорость точки в момент t 0 .

К моменту времени t 0 пройденный путь равен s 0 = s(t 0 ), а к моменту (t 0 + ∆t) – путь s 0 + ∆s=s(t 0 +∆t).

Тогда за промежуток ∆t средняя скорость будет

Чем меньше ∆t, тем лучше средняя скорость характеризует движение точки в момент t 0 . Поэтому под скоростью точки в момент t 0 следует понимать предел средней скорости за промежуток от t 0 до t 0 +∆t, когда ∆t⇾0 , т.е.

2. ЗАДАЧА О СКОРОСТИ ХИМИЧЕСКОЙ РЕАКЦИИ

Пусть некоторое вещество вступает в химическую реакцию. Количество этого вещества Q изменяется в течение реакции в зависимости от времени t и является функцией от времени. Пусть за время ∆t количество вещества изменяется на ∆Q , тогда отношение будет выражать среднюю скорость химической реакции за время ∆t, а предел этого отношения

- скорость химической реакции в данный момент

времени t.

3. ЗАДАЧА ОПРЕДЕЛЕНИЯ СКОРОСТИ РАДИОАКТИВНОГО РАСПАДА

Если m- масса радиоактивного вещества и t- время, то явление радиоактивного распада в момент времени t при условии, что масса радиоактивного вещества с течением времени уменьшается, характеризуется функцией m= m(t).

Средняя скорость распада за время ∆t выражается отношением

а мгновенная скорость распада в момент времени t

.

Правая и левая производные

Определение. Правой (левой) производной функции f(x) в точке x = x 0 называется правое (левое) значение предела отношения при условии, что это отношение существует.

Если функция f(x) имеет производную в некоторой точке x = x 0 , то она имеет в этой точке односторонние производные. Однако, обратное утверждение неверно. Во- первых функция может иметь разрыв в точке x 0 , а во- вторых, даже если функция непрерывна в точке x 0 , она может быть в ней не дифференцируема.

Например: f( x ) =  x  - имеет в точке x = 0 и левую и правую производную, непрерывна в этой точке, однако, не имеет в ней производной.

Теорема. (Необходимое условие существования производной) Если функция f(x) имеет производную в точке х 0 , то она непрерывна в этой точке.

Понятно, что это условие не является достаточным.

АЛГОРИТМ вычисления производной

Производная функции y= f(x) может быть найдена по следующей схеме:

1. Дадим аргументу x приращение ∆x≠0 и найдем наращенное значение функции y+∆y= f(x+∆x).

2. Находим приращение функции ∆y= f(x+∆x) - f(x).

3. Составляем отношение

4. Находим предел этого отношения при ∆x⇾0, т.е.

( если этот предел существует).

Основные правила дифференцирования

Пусть u=u(x) и v=v(x) – дифференцируемые функции в точке x.

1) (u  v)  = u   v 

2) (uv)  = u  v +uv 

• (cu)  = cu 

3) , если v  0

Эти правила могут быть легко доказаны на основе теорем о пределах.

Производные основных элементарных функций

Производная сложной функции

Теорема. Если функция дифференцируема в точке x, а функция

дифференцируема в соответствующей точке , то сложная функция дифференцируема в точке x, причем:

или в других обозначениях

т.е. производная сложной функции равна произведению производной функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по x.

Доказательство: Аргументу x дадим приращение ∆x. Приращение x+ ∆x соответствует приращение функции ∆u, которое в свою очередь вызывает приращение ∆y, которое в силу дифференцируемости функции y= f(u) можно представить в виде ∆ y=f ̓(u)∆u+α(∆u)∆u ( 1 ), где

Равенство (1) справедливо и для случая, когда ∆u=0. В этом случае α(∆u) ≡0.

Деля (1) на ∆x и переходя к пределу, получим:

В последнем выражении

Окончательно получаем

Производная обратной функции

Пусть требуется найти производную функции у = f(x) при условии, что обратная ей функция x = g(y) имеет производную, отличную от нуля в соответствующей точке.

Для решения этой задачи дифференцируем функцию x = g(y) по x :

т.к. g  (y)  0 , то

т.е. производная обратной функции равна обратной величине производной данной функции.

Логарифмическое дифференцирование

Рассмотрим функцию

.

Тогда ( ln   )  = , т.к. .

Учитывая полученный результат, можно записать

Отношение называется логарифмической производной функции f(x).

Способ логарифмического дифференцирования состоит в том, что сначала находят логарифмическую производную функции, а затем производную самой функции по формуле

Способ логарифмического дифференцирования удобно применять для нахождения производных сложных, особенно показательных функций, для которых непосредственное вычисление производной с использованием правил дифференцирования представляется трудоемким.

Литература

• Высшая математика : Учеб. для вузов/ В. С. Шипачев.- М.: Высш. школа,2005.
• Высшая математика : Учеб.- 2-е изд., перераб. и доп./ Ильин В.А., Куркина А. – М.:ТК Велби, Изд-во Проспект, 2006.
• Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов/ Кремер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин И.М., Фридман М.Н; под ред. проф. Кремера Н.Ш.-2-е изд., перераб. и доп. –М.: ЮНИТИ, 2000.
• Математика: Учебник (Серия «Профессиональное образование»)/ Дадаян А.А.- М.: ФОРУМ: ИНФА-М,2004.
• Математический анализ: задачи и решения : учебное пособие/ Г.И. Просветов. -М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2008.