Презентация "Задачи на делимость чисел в вариантах ЕГЭ"

Решение задач на делимость чисел

Учитель математики

МБОУ «Октябрьская СОШ»

Курского района

Барыбина Н.А.

Признаки делимости натуральных чисел известные уже с 6 класса, например, признаки делимости на 2, на 3, на 5, на 9, на 10. Мы знаем теоремы:

• Теорема 1. Если каждое слагаемое суммы делится на одно и то же число, то и сумма делится на это число.

• Теорема 2. Если уменьшаемое и вычитаемое делятся на одно и то же число, то и разность делится на это число.

• Теорема 3. Если в произведении нескольких натуральных чисел хотя бы один из сомножителей делится на какое-то число, то и все произведение делится на это число.

• Теорема 4. Если некоторое целое число делится на другое, а это другое – на третье, то и первое число делится на третье.

При решении задач на делимость часто бывают полезными свойства, связанные с последовательным расположением целых чисел

• Одно из п последовательных целых чисел делится на п;
• Одно из двух последовательных четных чисел делится на 4;
• Произведение трех последовательных целых чисел делится на 6;
• Произведение двух последовательных четных чисел делится на 8.

«Чётность» является как бы введением в более общую тему «Делимость и остатки», которая близко примыкает к школьной программе. Но, несмотря на простоту ряда задач, их решение требует каких-то логических умозаключений, что тоже позволяет развить математическую культуру.

Восьмая книжка серии «Школьные математические кружки» посвящена основным понятиям и фактам, которые связаны с делимостью целых чисел: признакам делимости, простым и составным числам, алгоритму Евклида, основной теореме арифметике и т. п. Она предназначена для занятий со школьниками 6-9 классов. В книжку вошли разработки восьми занятий математического кружка с подробно изложенным теоретическим материалом, примерами задач различного уровня трудности, задачами для самостоятельного решения и методическими указаниями для учителя.

Эта книга поможет научить школьников

6-8 классов и старше применять свои математические знания далеко за пределами обычной программы своих классов. Если традиционная «горизонтальная» математика пополняет знания вширь, то «вертикальная» ведет ввысь и вглубь, прививая навыки анализа в нестандартных ситуациях. Собранные в книге задачи и приёмы позволяют начать такое обучение заранее и на материале, близком к школьной программе и доступном широкому кругу учащихся. В итоге путающая многих задача ЕГЭ №19 становится несложным упражнением.

Эта книга рассчитана на то, чтобы познакомить читателя с основами теории чисел, причем основной упор делается на целые числа и делимость целых чисел (то есть, собственно, те самые темы, задачи по которым составляют львиную долю от всех ныне опубликованных задач типа «№19»).

В данном учебном пособии представлен материал для подготовки к решению задачи 19.

Пособие предназначено для учащихся старшей школы, учителей математики, родителей.

Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС).

Пособие посвящено одному из самых трудных заданий ЕГЭ по математике — заданию 19 профильного уровня (бывшее задание С6). В большом количестве представлены и примеры выполнения заданий, и упражнения для самостоятельной работы. Ко всем заданиям даны ответы, а в некоторых случаях приведены указания.

Издание адресовано выпускникам, сдающим ЕГЭ по математике профильного уровня, а также учителям и методистам.

Книга дополняет учебно-методический комплекс

«Математика. Подготовка к ЕГЭ».

Данная книга посвящена задачам, при решении которых используются свойства целых чисел. На примере задач, аналогичных задачам из вариантов ЕГЭ, а также заданий, предлагавшихся на различных математических олимпиадах, предпринята попытка систематизировать их по типам и изложить основные методы решения.

Задачи из вариантов ЕГЭ

№ 1. Найдите наименьшее четырехзначное число, кратное 15, произведение цифр которого больше 40, но меньше 50

Пусть число имеет

вид abcd

Произведение цифр кратно 5, а значит равно 45

Так как число кратно 15,

значит кратно 3 и кратно 5

Последняя цифра :

d= 0 или d= 5

d= 0 не подходит, иначе произведение цифр =0

1

3

3

5

В 19

х

3

х

1

0

№ 2.Вычеркните в числе 123456 три цифры так, чтобы получившееся трехзначное число было кратно 35

Выполним подбор

35·3=105

35·5=175

35·7=245

Т.к. число кратно 35,

то кратно 5, оканчивается либо 0, либо 5

Вычеркиваем цифру 6, цифру 5 оставляем

Вычеркнем цифры 1 и 3

2

5

4

В 19

х

3

х

1

0

Задачи из вариантов ЕГЭ

Задача №1. а) Можно ли вычеркнуть несколько цифр из числа 123456789 так, чтобы получилось число, кратное 72?

б) Можно ли вычеркнуть несколько цифр из числа 846927531 так, чтобы получилось число, кратное 72?

в) Какое наибольшее количество цифр можно вычеркнуть из числа 124875963 так, чтобы получилось число, кратное 72?

144

216

288

360

432

504

576

648

720

792

864

936

1008

1080

1152

1224

1296

1368

Задача №2. На доске написано несколько различных натуральных чисел, произведение любых двух из которых больше 40 и меньше 100.

а) Может ли на доске быть 5 чисел?

б) Может ли на доске быть 6 чисел?

в) Какое наибольшее значение может принимать сумма чисел на доске, если их четыре?

Задача №3. За прохождение каждого уровня игры на планшете можно получить от одной до трёх звёзд. При этом заряд аккумулятора планшета уменьшается на 3 пункта при получении трёх звёзд, на 6 пунктов при получении двух звёзд и на 9 пунктов при получении одной звезды. Витя прошёл несколько уровней игры подряд.

а) Мог ли заряд аккумулятора уменьшиться ровно на 32 пункта?

б) Сколько уровней игры было пройдено, если заряд аккумулятора уменьшился на 33 пункта и суммарно было получено 17 звёзд?

в) За пройденный уровень начисляется 9000 очков при получении трёх звёзд, 5000 — при получении двух звёзд и 2000 — при получении одной звезды. Какое наибольшее количество очков мог получить Витя, если заряд аккумулятора уменьшился на 33 пункта и суммарно было получено 17 звёзд?

Задача №4. На доске написано 30 различных натуральных чисел, десятичная запись каждого из которых оканчивается или на цифру 2, или на цифру 6. Сумма написанных чисел равна 2454.

а) Может ли на доске быть поровну чисел, оканчивающихся на 2 и на 6.

б) Может ли ровно одно число на доске оканчивается на 6?

в) Какое наименьшее количество чисел, оканчивающихся на 6, может быть записано на доске?

Задача №5. Есть синие и красные карточки. Всего карточек 50 штук. На каждой написаны натуральные числа, среднее арифметическое которых равно 16. Все числа на синих карточках разные. При этом любое число на синей карточке больше, чем любое на красной. Числа на синих увеличили в 2 раза, после чего среднее арифметическое стало равно 31,2 .

а) Может ли быть 10 синих карточек?

б) Может ли быть 10 красных карточек?

в) Какое наибольшее количество синих карточек может быть?

Задача №6. Дано трёхзначное натуральное число (число не может начинаться с нуля), не кратное 100.

а) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 82?

б) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 83?

в) Какое наибольшее натуральное значение может иметь частное данного числа и суммы его цифр?

Задача №7. Даны  n  различных натуральных чисел, составляющих арифметическую прогрессию

  а) Может ли сумма всех данных чисел быть равной 14?

б) Каково наибольшее значение  n , если сумма всех данных чисел меньше 900?

в) Найдите все возможные значения  n , если сумма всех данных чисел равна 123.

Применение признаков делимости чисел в изучении математики является эффективным. Знание их значительно ускоряет решение многих заданий. А также будет полезно и для учеников, участвующих в олимпиадах.

И последняя задача на ЕГЭ решается применением признаков делимости .