Презентация на тему: "Алгебра логики (формы мышления, логические операции, таблицы истинности, основные логические законы и правила преобразования логических выражений)"

Логика

• Цели:
• Образовательная: Закрепить понятия: логическая переменная, логические операции, сформировать умения применения логических операций, умение составлять таблицы истинности. Развивающие : развитие логического мышления у учащихся и познавательного интереса к предмету. Воспитательные: формирование устойчивого внимания у учащихся.

Афоризмы о логике

•   Человек, рассуждающий логично, приятно выделяется на фоне реального мира.
• «Американское изречение»
•  
• Найти истину при помощи логики можно лишь при условии, что она уже найдена без помощи логики.
• Гилберт Честертон
• Логикой можно напугать только логиков.
• Поль Валери
• «Нелогичное» и «невозможное» — разные вещи.
• «Принцип Стайнера»
•  
• Кто не понимает логики, обычно не понимает и того, что он ее не понимает .
• Тадеуш Котарбиньский
• Неопровержимая логика характерна для маньяка .
• Агата Кристи

Логика –наука, изучающая законы и формы мышления.

Логика изучает:

• Формы мышления
• Способы мышления

1 этап – формальная логика

Основатель – Аристотель (384 -322гг. до н.э. )

Ввёл основные формулы абстрактного мышления

• 2 этап – математическая логика
• Основатель – немецкий ученый и философ Лейбниц(1642 -1716), предпринял попытку логических вычислений.

• 3 этап - Алгебра высказываний (Булева алгебра)
• Основатель - английский математик Джордж Буль(1815 – 1864),
• ввёл алфавит, орфографию и грамматику для математической логики.

Понятие- это форма человеческого мышления, где фиксируются основные, существенные признаки объекта.

Умозаключение- это форма мышления, с помощью которой из одного или нескольких суждений (посылок) может быть получено новое суждение (заключение).

Высказывание- это форма мышления, в которой что-либо утверждается или отрицается о свойствах реальных объектов и отношениях между ними.

• Высказывание может быть либо истинным (1) , либо ложным (0).
• Высказывание не может быть выражено повелительным или вопросительным предложением, т. к. оценка их истинности или ложности невозможна.

СГАУ – крупнейший «вуз Ставрополя».

«Снег зелёный».

«Чтобы подключиться к Интернету с домашнего компьютера, необходим модем и соответствующее ПО».

Крокодилы летают очень низко.

5

• Высказывания могут быть простыми или составными .
• 2+2=4 – это пример простого высказывания.
• Простое высказывание содержит одну простую мысль .
• Составные высказывания состоят из простых высказываний и логических операций.
• “ На улице солнечно и у меня хорошее настроение. ” – это пример составного высказывания.
• Алгебра высказываний определяет истинность или ложность составных высказываний.

• Алгебра логики рассматривает любое высказывание только с одной точки зрения —является ли оно истинным или ложным. Заметим, что зачастую трудно установить истинность высказывания . Так, например, высказывание " площадь поверхности Индийского океана равна 75 млн кв. км " в одной ситуации можно посчитать ложным, а в другой — истинным. Ложным — так как указанное значение неточное и вообще не является постоянным. Истинным — если рассматривать его как некоторое приближение, приемлемое на практике

Употребляемые в обычной речи слова и словосочетания "не", "и", "или",

"если... , то", "тогда и только тогда" и другие позволяют из уже заданных

высказываний строить новые высказывания. Такие слова и словосочетания называются

логическими связками.

Чтобы обращаться к логическим высказываниям, им назначают имена. Пусть через А обозначено высказывание "Тимур поедет летом на море", а через В — высказывание "Тимур летом отправится в горы". Тогда составное высказывание "Тимур летом побывает и на море, и в горах" можно кратко записать как А и В . Здесь "и« — логическая связка, А, В — логические переменные, которые мoгут принимать только два значения — "истина" или "ложь", обозначаемые, соответственно, "1" и "0".

Математический аппарат логики:

• Вводятся вместо простых высказываний логические переменные: А, В, С и т.д.
• Значения высказываний обозначаются следующим образом:

• истина- 1 ложь- 0 .
• истина- 1
• ложь- 0 .

Название

Обозначение

Логическое умножение, КОНЪЮНКЦИЯ

Математическое обозначение

и

Логическое сложение, ДИЗЪЮНКЦИЯ

или

&,  , 

Логическое отрицание, ИНВЕРСИЯ

+, 

не

 А

Конъюнкция

Операция, выражаемая связкой "и", называется конъюнкцией (лат. conjunctio

— соединение) или логическим умножением и обозначается точкой " . " (может также обозначаться знаками или & «амперсанд»). Высказывание А . В истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания А и В истинны.

Схема И реализует конъюнкцию двух или более логических значений. Условное обозначение на структурных схемах схемы И с двумя входами представлено на рис

Дизъюнкция

Операция, выражаемая связкой "или" называется дизъюнкцией (лат. disjunctio — разделение) или логическимсложением и обозначается знаком v (или плюсом). Высказывание А v В ложно тогда и только тогда, когда оба высказывания А и В ложны. Или когда истинно хотя бы одно

Схема ИЛИ реализует дизъюнкцию двух или более логических значений. Когда хотя бы на одном входе схемы ИЛИ будет единица, на её выходе также будет единица

Инверсия

Операция, выражаемая словом "не", называется Инверсией ( отрицанием) и обозначается чертой над высказыванием (или знаком  ). Высказывание делает истинное высказывание ложным и наоборот.

Схема НЕ (инвертор) реализует операцию отрицания

Правила преобразования логических выражений

Закон двойного отрицания

Двойное отрицание исключает отрицание

Переместительный (коммутативный) закон

• Для логического сложения:
• Для логического умножения:

Сочетательный (ассоциативный) закон

• Для логического сложения:
• Для логического умножения:

При одинаковых знаках скобки можно ставить произвольно или вообще опускать, как в обычной алгебре

Распределительный (дистрибутивный) закон

• Для логического сложения:
• Для логического умножения:

Закон общей инверсии ( законы де Моргана)

• Для логического сложения:
• Для логического умножения:

Закон равносильности

• Для логического сложения:
• Для логического умножения:

Закон означает отсутствие показателей степени

Закон исключения констант

• Для логического сложения:
• Для логического умножения:

Закон противоречия

• Невозможно, чтобы противоречащие высказывания были одновременно истинными.

Закон исключения третьего

• Из двух противоречащих высказываний об одном и том же предмете одно всегда истинно, а второе ложно, третьего не дано.

Закон поглощения

• Для логического сложения:
• Для логического умножения:

Закон исключения (склеивания)

• Для логического сложения:
• Для логического умножения:

Согласно определению, таблица истинности логической формулы выражает соответствие между всевозможными наборами значений переменных и значениями формулы.

Для формулы, которая содержит две переменные, таких наборов значений переменных всего четыре:

(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1).

Если формула содержит три переменные, то возможных наборов значений переменных восемь:

(0, 0, 0), (0, 0, 1), (0, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 0), (1, 0, 1), (1, 1, 0), (1, 1, 1).

Какая связь между алгеброй логики и двоичным кодированием?

Математический аппарат алгебры логики очень удобен для описания того, как

функционируют аппаратные средства компьютера, поскольку основной системой счисления в компьютере является двоичная, в которой используются цифры 1 и 0, а значений логических переменных тоже два: “1” и “0”.

Из этого следует два вывода:

1. одни и те же устройства компьютера могут применяться для обработки и хранения как числовой информации, представленной в двоичной системе счисления, так и логических переменных;

2. на этапе конструирования аппаратных средств алгебра логики позволяет значительно упростить логические функции, описывающие функционирование

схем компьютера, и, следовательно, уменьшить число элементарных логических элементов, из десятков тысяч которых состоят основные узлы компьютера.

• Здравствуй!
• Аксиома не требует доказательств.
• Идёт дождь.
• Какая температура на улице?
• Число 2 является делителем числа 9.
• Число х не больше двух.
• Уходя гасите свет.

30 Графическое изображение векторной графики формируется из точек(пикселей). 16-битные звуковые карты точнее кодируют и воспроизводят звук, чем 8-битные. " width="640"

• Информатика изучается в курсе средней школы.
• «Е»- шестая буква алфавита.
• Квадрат является ромбом.
• Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
• Сумма углов треугольника равна 190 0 .
• 12+1430
• Графическое изображение векторной графики формируется из точек(пикселей).
• 16-битные звуковые карты точнее кодируют и воспроизводят звук, чем 8-битные.

В следующих предложениях выделите высказывания простые и составные, обозначив каждое из них буквой; Запишите с помощью букв и знаков логических операций каждое составное высказывание:

Число 376 четное и трехзначное

Зимой дети катаются на коньках или на лыжах

Неверно, что Солнце движется вокруг Земли.

Если сейчас не солнечно, то пасмурно.

Земля имеет форму шара, который из космоса кажется голубым.

Если вчера было воскресенье, то Дима вчера не был в школе и весь день гулял.

Если сумма цифр натурального числа делится на 3, то число делится на 3.

Постройте отрицания следующих высказываний:

• Сегодня в театре идет опера «Евгений Онегин».
• Каждый охотник желает знать, где сидит фазан.
• Число 1 есть простое число.
• Неверно, что число 3 не является делителем числа 198.
• Коля решил все задания контрольной работы.

2. XОн – мой друг. Он – мой враг. Большой дом. Небольшой дом. Х2. X" width="640"

Являются ли отрицаниями друг друга следующие предложения:

• Он – мой друг. Он – мой враг. Большой дом. Небольшой дом. Х2. X
• Он – мой друг. Он – мой враг.
• Большой дом. Небольшой дом.
• Х2. X

Постройте таблицы истинности и определите какие из формул являются тавтологиями?

• Постройте таблицы истинности и определите какие из формул являются тавтологиями?

 (А   А)

•  (А   А)

А и (В и А)

• А и (В и А)

Пусть:

p=Ане нравятся уроки математики;

q=Ане нравятся уроки химии. Выразите следующие формулы на обычном языке:

• Пусть: p=Ане нравятся уроки математики; q=Ане нравятся уроки химии. Выразите следующие формулы на обычном языке:

Составьте таблицы истинности

Реши задачу: На выпускной вечер Наташа надела красное платье, Таня была не в черном, не в синем и не в голубом. У Оксаны- два платья: черное и синее. У Нади есть белое платье, и синее. Ольга имеет платья всех цветов. Определите, какого цвета платья надели девушки, если на вечере все были в платьях разного цвета.

• Кто является основателем формальной логики?
• Дайте определение логики как науки. Каково её назначение?
• Какие существуют основные формы мышления?
• Что такое высказывание? Приведите примеры высказываний и предложений, не являющихся ими.

Сложение

• Джордж Буль и его необыкновенная алгебра.
• Развитие логических систем (учений) от Аристотеля.
• Тавтологии, силлогизмы и парадоксы.

• Н. Д. Угринович Информатика и информационные технологии. Учебник для 10-11 классов.
• И.А. Иванова Информатика 10 класс. Практикум.
• В.М. Казиев Информатика в примерах и задачах. Книга для учащихся 10-11 класс