Презентация по информатике и ИКТ "Логика"

Логика

Логика – наука, изучающая законы и формы мышления.

Историческая справка

1 этап.

формальная логика

Основатель – Аристотель (384 -322гг. до н.э. )

Ввёл основные формулы абстрактного мышления

Историческая справка

2 этап.

математическая логика

Основатель – немецкий ученый и философ Готфрид Лейбниц

(1642 -1716).

Предпринял попытку логических вычислений.

Историческая справка

3 этап.

Алгебра высказываний (Булева алгебра)

Основатель - английский математик Джордж Буль (1815 – 1864).

Ввёл алфавит, орфографию и грамматику для математической логики.

Формы мышления:

• Понятие
• Умозаключение
• Высказывание

Понятие

Понятие - это форма человеческого мышления, где фиксируются основные, существенные признаки объекта.

Любое понятие состоит из двух составляющих:

• объём понятия
• содержание понятия

Понятие

Объем понятия - это совокупность (множество) предметов, на которое оно распространяется.

Содержание понятия - это совокупность основных, существенных признаков объекта.

Умозаключение - это форма мышления, с помощью которой из одной или нескольких суждений (посылок) может быть получено новое суждение (заключение).

Высказывание - это форма мышления, в которой что-либо утверждается или отрицается о свойствах реальных объектов и отношениях между ними.

Высказывание может быть либо истинным , либо ложным .

Высказывание не может быть выражено повелительным или вопросительным предложением, т. к. оценка их истинности или ложности невозможна.

Высказывания бывают общими, частными или единичными.

Общее высказывание начинается со слов: все, всякий, каждый, ни один .

Частное высказывание начинается со слов: некоторые, большинство и т.п.

В остальных случаях высказывание является единичным.

Высказывания могут быть простыми или составными .

Простое высказывание содержит одну простую мысль .

Составные высказывания состоят из простых высказываний и логических операций.

2 + 2 = 4 – это пример простого высказывания.

На улице солнечно и у меня хорошее настроение – это пример составного высказывания.

Какие из приведенных предложений являются высказываниями?

• Здравствуй!
• Аксиома не требует доказательств.
• Идёт дождь.
• Какая температура на улице?
• Число 2 является делителем числа 9.
• Число х не больше двух.
• Уходя гасите свет.
• Внимание!
• У каждой лошади есть хвост.

30 Графическое изображение векторной графики формируется из точек (пикселей). Графическое изображение растровой графики формируется из точек (пикселей). " width="640"

Определите истинность или ложность высказывания.

• Информатика изучается в курсе средней школы.
• «Е»- шестая буква алфавита.
• Квадрат является ромбом.
• Ромб является квадратом.
• Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
• Сумма углов треугольника равна 190 0 .
• 12 + 14 30
• Графическое изображение векторной графики формируется из точек (пикселей).
• Графическое изображение растровой графики формируется из точек (пикселей).

Какие из приведенных высказываний являются общими, какие – частными, какие - единичными?

• Все солдаты храбрые.
• Мой кот страшный забияка.
• Любой неразумный человек ходит на руках.
• Некоторые медведи – бурые.
• Тигр – хищное животное.
• Многие растения обладают целебными свойствами.
• Некоторые ученики двоечники.
• Все ананасы приятны на вкус.
• А – первая буква в алфавите.

Алгебра высказываний

Математический аппарат логики:

Вводятся вместо простых высказываний логические переменные (величины):

А, В, С и т.д.

Значения высказываний обозначаются следующим образом:

Истина - 1

Ложь - 0

Название

Обозначение

Логическое умножение, конъюнкция

Математическое обозначение

Логическое сложение, дизъюнкция

Логическое отрицание, инверсия

Импликация, следование

Эквивалентность, равносильность

Название

Обозначение

Логическое умножение, конъюнкция

Математическое обозначение

и

Логическое сложение, дизъюнкция

или

Логическое отрицание, инверсия

не

Импликация, следование

если, то

Эквивалентность, равносильность

тогда и только тогда

Название

Обозначение

Логическое умножение, конъюнкция

Математическое обозначение

и

Логическое сложение, дизъюнкция

или

& Ÿ ∧

Логическое отрицание, инверсия

Импликация, следование

+ ∨

не

если, то

` Ø

Эквивалентность, равносильность

® Þ

тогда и только тогда

º Û « ~

Логическая формула (логическое выражение) -

формула, содержащая лишь логические величины и знаки логических операций.

Результатом вычислений логических формул является ИСТИНА или ЛОЖЬ.

Пример 1.

«Число 6 делится на 2, и число 6 делится на 3» – это сложное логическое высказывание.

Обозначим:

А = «Число 6 делится на 2»

В = «Число 6 делится на 3»

Тогда логическая формула имеет вид:

А ∧ В или А & В.

Её значение – истина.

Пример 2.

«Летом я поеду в деревню или в туристическую поездку» – это сложное логическое высказывание.

Обозначим:

А = «Летом я поеду в деревню»

В = «Летом я поеду в туристическую поездку»

Тогда логическая формула имеет вид: А ∨ В .

Пример 3.

«Неверно, что 4 делится на 3» .

Обозначим:

А = «4 делится на 3»

Тогда логическая формула имеет вид:

¬ А или А .

Таблица истинности

А

В

1

не А

1

1

А и В

0

0

А или В

1

0

0

Таблица истинности

А

В

1

не А

1

1

0

А и В

0

0

0

А или В

1

0

0

1

1

Таблица истинности

А

В

1

1

1

не А

А и В

0

0

0

А или В

1

0

1

0

0

0

1

0

1

0

Таблица истинности

А

В

1

не А

1

1

А и В

0

0

0

0

1

0

1

А или В

0

0

1

1

1

0

1

0

1

0

Порядок выполнения операций: отрицание, конъюнкция, дизъюнкция.

Задание. Вычислить значение логической формулы: F = не Х и У или Х и Z, если Х = ложь, У = истина, Z = истина.

Х

0

У

Z

1

не Х

1

не Х и У

Х и Z

F

Задание. Вычислить значение логической формулы: F = не Х и У или Х и Z, если Х = ложь, У = истина, Z = истина.

Х

0

У

Z

1

не Х

1

не Х и У

1

Х и Z

F

Задание. Вычислить значение логической формулы: F = не Х и У или Х и Z, если Х = ложь, У = истина, Z = истина.

Х

0

У

Z

1

не Х

1

не Х и У

1

1

Х и Z

F

Задание. Вычислить значение логической формулы: F = не Х и У или Х и Z, если Х = ложь, У = истина, Z = истина.

Х

0

У

Z

1

не Х

1

не Х и У

1

1

Х и Z

F

0

Задание. Вычислить значение логической формулы: F = не Х и У или Х и Z, если Х = ложь, У = истина, Z = истина.

Х

0

У

Z

1

не Х

1

не Х и У

1

1

Х и Z

F

0

1

Ответ: истина.

Определите истинность или ложность высказывания.

• Приставка есть часть слова, и она пишется раздельно со словом.
• Суффикс есть часть слова, и он стоит после корня.
• Буква «а» – первая буква в слове «аист» или «сова».
• Две прямые на плоскости параллельны или пересекаются.
• Луна – планета или 2 + 3 = 5.

5 . Неверно, что 0 и У 5 . Верно, что 0 или У 5 . Неверно, что 0 или У 5 . Только одно из чисел Х, У, Z отрицательно. Хотя бы одно из чисел Х, У, Z отрицательно. " width="640"

Чему равны значения переменных, если данное высказывание истинно?

• Верно, что 0 и У 5 .
• Неверно, что 0 и У 5 .
• Верно, что 0 или У 5 .
• Неверно, что 0 или У 5 .
• Только одно из чисел Х, У, Z отрицательно.
• Хотя бы одно из чисел Х, У, Z отрицательно.

Z) и не (Х = У), если Х = 3, У = 5, Z = 2; Х = 0, У = 1, Z = 19; Х = 5, У = 0, Z = –8; Х = 9, У = –9, Z = 9. " width="640"

Определите значение выражения:

не (Х Z) и не (Х = У), если

• Х = 3, У = 5, Z = 2;
• Х = 0, У = 1, Z = 19;
• Х = 5, У = 0, Z = –8;
• Х = 9, У = –9, Z = 9.

Логические схемы

Конъюнкция

Дизъюнкция

1

Отрицание

0

0

1

1

1

0

0

и

0

и

0

и

1

и

0

Логические схемы

Конъюнкция

Дизъюнкция

1

Отрицание

0

1

0

0

0

1

1

1

1

1

1

0

0

0

0

и

или

1

0

и

или

1

0

и

или

1

1

или

и

0

0

Логические схемы

Конъюнкция

Дизъюнкция

1

1

Отрицание

0

0

1

0

0

1

1

0

1

1

1

1

0

0

0

0

и

или

1

0

не

0

или

и

0

1

не

1

или

и

1

1

или

и

0

0

Логические схемы

Пример.

Вычислить значение логического выражения:

1 или 0 и 1.

1

и

или

0

1

Логические схемы

Пример.

Вычислить значение логического выражения:

1 или 0 и 1.

1

0

и

или

0

1

Логические схемы

Пример.

Вычислить значение логического выражения:

1 или 0 и 1.

1

0

или

и

0

1

1

Задание.

Выполните вычисления по логическим схемам. Запишите соответствующие логические выражения:

1)

2)

1

и

или

0

0

или

1

1

и

или

не

0

1

Задание.

Дана логическая схема. Построить соответствующее ей логическое выражение. Вычислить значение выражения для:

• Х 1 = Х 2 = 1, Х 3 = Х 4 = 0;
• Х 4 = 1 и любых Х 1 , Х 2 , Х 3 ;
• Х 1 = 0, Х 4 = 0, и любых Х 2 , Х 3

Х 1

и

и

Х 2

Х 3

или

или

не

не

Х 4

Таблица истинности

А

В

1

1

А → В

1

А ≡ В

0

0

1

0

0

Таблица истинности

А

1

В

1

1

А → В

А ≡ В

1

0

0

1

0

0

1

0

1

Таблица истинности

А

В

1

1

А → В

1

А ≡ В

1

0

0

1

1

0

0

1

0

0

0

1

1

Порядок выполнения операций:

отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквивалентность.

Задание. Определить истинность формулы F = ((С ∨ В) → В) & (А & В) → В.

А

В

0

0

С

0

0

С ∨ В

0

0

1

1

(С ∨ В) → В

0

А & В

0

1

1

0

1

1

((С ∨ В) → В) & (А & В)

1

F

0

0

1

1

1

0

1

1

Задание. Определить истинность формулы F = ((С ∨ В) → В) & (А & В) → В.

А

0

В

0

0

С

0

С ∨ В

0

0

1

0

1

(С ∨ В) → В

0

А & В

1

1

1

0

0

1

1

((С ∨ В) → В) & (А & В)

1

F

0

0

1

1

0

1

1

1

1

1

0

1

1

1

Задание. Определить истинность формулы F = ((С ∨ В) → В) & (А & В) → В.

А

В

0

0

0

С

С ∨ В

0

0

0

1

0

1

0

(С ∨ В) → В

1

0

1

1

А & В

1

1

0

((С ∨ В) → В) & (А & В)

0

1

1

1

0

1

0

F

1

1

0

1

1

1

1

1

0

1

1

0

1

1

1

1

Задание. Определить истинность формулы F = ((С ∨ В) → В) & (А & В) → В.

А

В

0

0

С

0

С ∨ В

0

0

0

1

0

0

(С ∨ В) → В

1

0

1

1

А & В

1

1

0

1

0

1

1

0

((С ∨ В) → В) & (А & В)

F

1

1

0

1

0

0

1

0

0

1

1

1

0

0

1

1

1

0

1

0

1

1

0

1

1

1

1

Задание. Определить истинность формулы F = ((С ∨ В) → В) & (А & В) → В.

А

В

0

0

0

С

С ∨ В

0

0

0

1

0

1

0

(С ∨ В) → В

1

1

1

1

А & В

0

0

1

0

1

1

((С ∨ В) → В) & (А & В)

0

1

0

1

1

0

0

F

0

1

0

0

1

1

0

1

0

1

1

0

1

0

1

0

0

0

1

0

0

1

1

1

0

1

1

1

1

Задание. Определить истинность формулы F = ((С ∨ В) → В) & (А & В) → В.

А

0

В

0

С

0

С ∨ В

0

0

0

1

0

(С ∨ В) → В

1

0

0

1

1

1

1

А & В

0

0

1

1

0

((С ∨ В) → В) & (А & В)

1

0

1

0

1

0

0

1

F

1

1

0

0

0

1

1

1

1

1

0

1

1

0

0

0

1

1

1

0

0

0

1

0

1

1

1

1

0

1

1

1

1

1

1

1

• Кто является основателем формальной логики? Математической логики?
• Дайте определение логики как науки. Каково её назначение?
• Какие существуют основные формы мышления?
• Что такое высказывание? Приведите примеры высказываний и предложений, не являющихся ими.
• Какими бывают высказывания?
• Какие существуют логические операции?

2) & ¬(X3) ? 1) 1; 2) 2; 3) 3; 4) 4. Для какого из указанных значений числа Х истинно выражение (X2)) ? 1) 1; 2) 2; 3) 3; 4) 4. Для какого из указанных значений числа X ложно выражение (X 2) ИЛИ НЕ (X 1) ? 1) 1; 2) 2; 3) 3; 4) 4. " width="640"

Задание 1.

• Для какого из указанных значений числа Х истинно выражение (X2) & ¬(X3) ?

1) 1; 2) 2; 3) 3; 4) 4.

• Для какого из указанных значений числа Х истинно выражение (X2)) ?

1) 1; 2) 2; 3) 3; 4) 4.

• Для какого из указанных значений числа X ложно выражение (X 2) ИЛИ НЕ (X 1) ?

1) 1; 2) 2; 3) 3; 4) 4.

60 И Информатика 55» ? Фамилия Пол Аганян ж Математика Воронин м Химия 52 Григорчук 43 м Роднина Информатика 92 ж Сергеенко 66 75 82 Биология 69 74 ж 93 Черепанова 73 ж 81 55 51 51 83 68 40 94 92 83 64 41 71 20 " width="640"

Задание 2.

Ниже в табличной форме представлен фрагмент базы данных о результатах тестирования учащихся (используется стобалльная шкала):

Сколько записей в данном фрагменте удовлетворяют условию

«Математика 60 И Информатика 55» ?

Фамилия

Пол

Аганян

ж

Математика

Воронин

м

Химия

52

Григорчук

43

м

Роднина

Информатика

92

ж

Сергеенко

66

75

82

Биология

69

74

ж

93

Черепанова

73

ж

81

55

51

51

83

68

40

94

92

83

64

41

71

20

Биология» ? Фамилия Аганян Пол ж Воронин Математика м Химия 82 Григорчук м 46 Информатика 43 Роднина Биология 45 32 ж 54 Сергеенко 70 68 ж Черепанова 74 71 56 75 33 23 ж 83 74 82 18 79 38 83 46 28 61 " width="640"

Задание 3.

Ниже в табличной форме представлен фрагмент базы данных о результатах тестирования учащихся (используется стобалльная шкала):

Сколько записей в данном фрагменте удовлетворяют условию

«Пол = ’м’ ИЛИ Химия Биология» ?

Фамилия

Аганян

Пол

ж

Воронин

Математика

м

Химия

82

Григорчук

м

46

Информатика

43

Роднина

Биология

45

32

ж

54

Сергеенко

70

68

ж

Черепанова

74

71

56

75

33

23

ж

83

74

82

18

79

38

83

46

28

61

Задание 4.

В таблице приведены запросы к поисковому серверу. Расположите обозначения запросов в порядке возрастания количества страниц, которые найдет поисковый сервер по каждому запросу.

Для обозначения логической операции “ ИЛИ ” в запросе используется символ | , а для логической операции “ И ” – & .

А

Б

Литература & Экзамен

В

Литература | Экзамен | Билеты

Литература | Билеты

Г

Литература & Экзамен & Билеты

Задание 5.

Дана логическая схема. Построить соответствующее ей логическое выражение. Вычислить значения для:

• Х 1 = Х 2 = Х 3 = 1;
• Х 1 = Х 2 = Х 3 = 0;
• Х 1 = 0, Х 3 = 1, и любых Х 2

и

Х 1

или

не

или

Х 2

и

Х 3

не

и

Задание 6.

Определите истинность формулы:

• ((А ∨ В) → В) ∧ (А ∨ В);
• А ∧ В ≡ (А ∨ В);
• (А → В) ≡ (В → А)

Преобразование логических выражений

Формула имеет нормальную форму , если в ней отсутствуют знаки эквивалентности, импликации, двойного отрицания, при этом знаки отрицания находятся только при переменных.

Основные формулы преобразования логических выражений

• ¬¬ А ≡ А
• ¬ (А & В) ≡ ¬ А ∨ ¬ В
• ¬ (А ∨ В) ≡ ¬ А & ¬ В
• ¬ (А → В) ≡ А & ¬ В
• А → В ≡ ¬ А ∨ В

• А ↔ В ≡ (А & В) ∨ (¬ А & ¬ В) ≡

≡ (¬ А ∨ В) & (А ∨ ¬ В)

• А & (А ∨ В) ≡ А
• А ∨ А & В ≡ А
• ¬ А & (А ∨ В) ≡ ¬ А & В
• А ∨ ¬ А & В ≡ А ∨ В

• Законы коммутативности:

А & В ≡ В & А; А ∨ В ≡ В ∨ А.

• Законы ассоциативности:

(А ∨ В) ∨ С ≡ А ∨ (В ∨ С);

(А & В) & С ≡ А & (В & С).

• Законы идемпотентности:

А & А ≡ А; А ∨ А ≡ А.

• Законы дистрибутивности:

А & (В ∨ С) ≡ (А & В) ∨ (А & С);

А ∨ (В & С) ≡ (А ∨ В) & (А ∨ С).

• А ∨ 1 ≡ 1, А & 1 ≡ А, ¬А ∨ А ≡ 1.
• А & 0 ≡ 0, А & ¬А ≡ 0.

Задание 1.

Упростите логическую формулу:

(А ∨ В) → (В ∨ С);

Задание 2.

Кто из учеников А, В, С, и D играет, а кто не играет в шахматы, если известно следующее:

• если А или В играет, то С не играет;
• Если В не играет, то играют С и D;
• С играет?

Задание 3.

Определите, кто из подозреваемых участвовал в преступлении, если известно:

• если Иванов не участвовал или Петров участвовал, то Сидоров участвовал;
• если Иванов не участвовал, то Сидоров не участвовал.

Задание 4.

Упростите логическую формулу и определите ее истинность:

(А → В) & (В → (С ∨ А)) & (D → (А & С)) & (D → А)