Пробный ЕГЭ. База

Вариант 1

1. Найдите зна­че­ние вы­ра­же­ния 

2. Найдите зна­че­ние выражения .

3.Одна таб­лет­ка лекарства весит 60 мг и со­дер­жит 8% ак­тив­но­го вещества. Ребёнку в воз­расте до 6 ме­ся­цев врач про­пи­сы­ва­ет 1,2 мг ак­тив­но­го вещества на каж­дый килограмм веса в сутки. Сколь­ко таблеток этого ле­кар­ства следует дать ребёнку в воз­расте четырёх ме­ся­цев и весом 8 кг в те­че­ние суток?

4. Мощность по­сто­ян­но­го тока (в ваттах) вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле P = I²R, где I — сила тока (в амперах), R — со­про­тив­ле­ние (в омах). Поль­зу­ясь этой формулой, най­ди­те мощ­ность P (в ваттах), если со­про­тив­ле­ние со­став­ля­ет 14 Ом, а сила тока равна 4 А.

5.Найдите значение выражения .

6. На бензоколонке один литр бензина стоит 35 рублей. Водитель залил в бак 20 литров бензина и взял бутылку воды за 43 рубля. Сколько рублей сдачи он получит с 1000 рублей?

7. Найдите корень уравнения 

Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

8. Какой наи­мень­ший угол (в гра­ду­сах) об­ра­зу­ют ми­нут­ная и ча­со­вая стрел­ки в че­ты­ре часа утра?

9. Установите со­от­вет­ствие между ве­ли­чи­на­ми и их воз­мож­ны­ми значениями: к каж­до­му эле­мен­ту пер­во­го столб­ца под­бе­ри­те со­от­вет­ству­ю­щий эле­мент из вто­ро­го столбца.

10. При ар­тил­ле­рий­ской стрельбе ав­то­ма­ти­че­ская система де­ла­ет выстрел по цели. Если цель не уничтожена, то си­сте­ма делает по­втор­ный выстрел. Вы­стре­лы повторяются до тех пор, пока цель не будет уничтожена. Ве­ро­ят­ность уничтожения не­ко­то­рой цели при пер­вом выстреле равна 0,4, а при каж­дом последующем — 0,6. Сколь­ко выстрелов по­тре­бу­ет­ся для того, чтобы ве­ро­ят­ность уничтожения цели была не менее 0,98?

В ответе укажите наименьшее необходимое количество выстрелов.

11. На диа­грам­ме по­ка­за­но ко­ли­че­ство по­се­ти­те­лей сайта РИА «Новости» в те­че­ние каж­до­го часа 8 де­каб­ря 2009 года. По го­ри­зон­та­ли ука­зы­ва­ет­ся час, по вер­ти­ка­ли — ко­ли­че­ство по­се­ти­те­лей сайта на про­тя­же­нии этого часа. Опре­де­ли­те по диаграмме, в те­че­ние ка­ко­го часа на сайте РИА «Новости» по­бы­ва­ло мак­си­маль­ное ко­ли­че­ство посетителей.

12. Строительная фирма планирует купить 70 м³ пеноблоков у одного из трех поставщиков. Цены и условия доставки приведены в таблице. Сколько рублей будет стоить самая дешевая покупка с доставкой?

13. Основанием пря­мой треугольной приз­мы служит пря­мо­уголь­ный треугольник с ка­те­та­ми 6 и 8, вы­со­та призмы равна 10. Най­ди­те площадь ее поверхности.

14. Установите соответствие между графиками линейных функций и угловыми коэффициентами прямых.

ГРАФИКИ УГЛОВЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ

1) 

2) 

3) 

4) 

Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам: 

15. Основания пря­мо­уголь­ной трапеции равны 12 и 4. Ее пло­щадь равна 64. Най­ди­те острый угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

16. В пра­виль­ной шестиугольной приз­ме  все ребра равны 1. Най­ди­те расстояние между точ­ка­ми  и .

17. Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

 Впишите в приведённую в ответе таблицу под каждой буквой соответствующий решению номер.

18. Среди жи­те­лей дома № 23 есть те, кто работает, и есть те, кто учится. А также есть те, кто не ра­бо­та­ет и не учится. Не­ко­то­рые жи­те­ли дома № 23, ко­то­рые учатся, ещё и работают. Вы­бе­ри­те утверждения, ко­то­рые верны при ука­зан­ных условиях.

 1) Хотя бы один из ра­бо­та­ю­щих жи­те­лей дома № 23 учится.

2) Все жи­те­ли дома № 23 работают.

3) Среди жи­те­лей дома № 23 нет тех, кто не ра­бо­та­ет и не учится.

4) Хотя бы один из жи­те­лей дома № 23 работает.

 В от­ве­те за­пи­ши­те но­ме­ра вы­бран­ных утвер­жде­ний без пробелов, за­пя­тых и дру­гих до­пол­ни­тель­ных символов.

19. Приведите при­мер трёхзначного на­ту­раль­но­го числа, крат­но­го 4, сумма цифр ко­то­ро­го равна их произведению. В от­ве­те ука­жи­те ровно одно такое число.

20. Клетки таблицы 3×7 раскрашены в чёрный и белый цвета так, что получилось 17 пар соседних клеток разного цвета и 11 пар соседних клеток чёрного цвета. (Клетки считаются соседними, если у них есть общая сторона.) Сколько пар соседних клеток белого цвета?

Вариант № 5878569

1. Найдите зна­че­ние вы­ра­же­ния 

Пояснение.

Преобразуем выражение:

Ответ: 45

Ответ: 45

2.

Найдите зна­че­ние выражения .

Пояснение.

Выполним преобразования:

Ответ: 1.

Ответ: 1

3.

Одна таб­лет­ка лекарства весит 60 мг и со­дер­жит 8% ак­тив­но­го вещества. Ребёнку в воз­расте до 6 ме­ся­цев врач про­пи­сы­ва­ет 1,2 мг ак­тив­но­го вещества на каж­дый килограмм веса в сутки. Сколь­ко таблеток этого ле­кар­ства следует дать ребёнку в воз­расте четырёх ме­ся­цев и весом 8 кг в те­че­ние суток?

Пояснение.

В одной таб­лет­ке ле­кар­ства со­дер­жит­ся 60  0,08 = 4,8 мг ак­тив­но­го вещества. Су­точ­ная норма ак­тив­но­го ве­ще­ства для ре­бен­ка весом 8 кг составит: 1,2  8 = 9,6 мг. Тем самым, ре­бен­ку сле­ду­ет дать 2 таблетки.

Ответ: 2.

Ответ: 2

4. Мощность по­сто­ян­но­го тока (в ваттах) вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле P = I²R, где I — сила тока (в амперах), R — со­про­тив­ле­ние (в омах). Поль­зу­ясь этой формулой, най­ди­те мощ­ность P (в ваттах), если со­про­тив­ле­ние со­став­ля­ет 14 Ом, а сила тока равна 4 А.

Пояснение.

Под­ста­вим зна­че­ния ве­ли­чин и вы­чис­лим 

Ответ: 224.

Ответ: 224

5.

Найдите значение выражения .

Пояснение.

Выполним преобразования:

.

Ответ: −16.

Ответ: -16

6. На бензоколонке один литр бензина стоит 35 рублей. Водитель залил в бак 20 литров бензина и взял бутылку воды за 43 рубля. Сколько рублей сдачи он получит с 1000 рублей?

Пояснение.

Стоимость бен­зи­на со­ста­ви­ла 35 · 20 = 700 руб, цена бен­зи­на и воды 700 + 43 = 743 руб. По­это­му во­ди­тель по­лу­чит 1000 − 743 = 257 руб. сдачи.

Ответ: 257.

Ответ: 257

7. Найдите корень уравнения 

Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

Пояснение.

Решим уравнение:

Меньший корень равен 2.

Ответ: 2.

Ответ: 2

8. Какой наи­мень­ший угол (в гра­ду­сах) об­ра­зу­ют ми­нут­ная и ча­со­вая стрел­ки в че­ты­ре часа утра?

Пояснение.

Угол между двумя ча­со­вы­ми де­ле­ни­я­ми на ци­фер­бла­те равен 360°/12 = 30°. В че­ты­ре часа утра между ми­нут­ной и ча­со­вой стрел­кой че­ты­ре ча­со­вых деления, значит, угол (наименьший) между ними равен 30° · 4 = 120°.

Ответ: 120.

Ответ: 120

9. Установите со­от­вет­ствие между ве­ли­чи­на­ми и их воз­мож­ны­ми значениями: к каж­до­му эле­мен­ту пер­во­го столб­ца под­бе­ри­те со­от­вет­ству­ю­щий эле­мент из вто­ро­го столбца.

Пояснение.

Рост ребёнка может быть равен 110 см, тол­щи­на листа бу­ма­ги может со­став­лять 0,2 мм, длина ав­то­бус­но­го марш­ру­та — 32 км, вы­со­та жи­ло­го дома — 30 м.

Ответ: 4312.

Ответ: 4312

10. При ар­тил­ле­рий­ской стрельбе ав­то­ма­ти­че­ская система де­ла­ет выстрел по цели. Если цель не уничтожена, то си­сте­ма делает по­втор­ный выстрел. Вы­стре­лы повторяются до тех пор, пока цель не будет уничтожена. Ве­ро­ят­ность уничтожения не­ко­то­рой цели при пер­вом выстреле равна 0,4, а при каж­дом последующем — 0,6. Сколь­ко выстрелов по­тре­бу­ет­ся для того, чтобы ве­ро­ят­ность уничтожения цели была не менее 0,98?

В ответе укажите наименьшее необходимое количество выстрелов.

Пояснение.

Найдем ве­ро­ят­ность противоположного события, со­сто­я­ще­го в том, что цель не будет уни­что­же­на за n выстрелов. Ве­ро­ят­ность промахнуться при пер­вом выстреле равна 0,6, а при каж­дом следующем — 0,4. Эти со­бы­тия независимые, ве­ро­ят­ность их про­из­ве­де­ния равна про­из­ве­де­нию вероятности этих событий. По­это­му вероятность про­мах­нуть­ся при n вы­стре­лах равна: 

Осталось найти наи­мень­шее натуральное ре­ше­ние неравенства

Последовательно про­ве­ряя значения , рав­ные 1, 2, 3 и т. д. находим, что ис­ко­мым решением яв­ля­ет­ся . Следовательно, не­об­хо­ди­мо сделать 5 выстрелов.

Ответ: 5.

Примечание.

Можно ре­шать задачу «по действиям», вы­чис­ляя вероятность уце­леть после ряда по­сле­до­ва­тель­ных промахов:

Р(1) = 0,6.

Р(2) = Р(1)·0,4 = 0,24.

Р(3) = Р(2)·0,4 = 0,096.

Р(4) = Р(3)·0,4 = 0,0384;

Р(5) = Р(4)·0,4 = 0,01536.

Последняя ве­ро­ят­ность меньше 0,02, по­это­му достаточно пяти вы­стре­лов по мишени.

Приведем дру­гое решение.

Вероятность по­ра­зить мишень равна сумме ве­ро­ят­но­стей поразить ее при первом, втором, тре­тьем и т. д. выстрелах. По­это­му задача сво­дит­ся к на­хож­де­нию наименьшего на­ту­раль­но­го решения неравенства

В нашем слу­чае неравенство ре­ша­ет­ся подбором, в общем слу­чае понадобится фор­му­ла суммы гео­мет­ри­че­ской прогрессии, ис­поль­зо­ва­ние которой све­дет задачу к про­стей­ше­му логарифмическому неравенству.

Ответ: 5

11. На диа­грам­ме по­ка­за­но ко­ли­че­ство по­се­ти­те­лей сайта РИА «Новости» в те­че­ние каж­до­го часа 8 де­каб­ря 2009 года. По го­ри­зон­та­ли ука­зы­ва­ет­ся час, по вер­ти­ка­ли — ко­ли­че­ство по­се­ти­те­лей сайта на про­тя­же­нии этого часа. Опре­де­ли­те по диаграмме, в те­че­ние ка­ко­го часа на сайте РИА «Новости» по­бы­ва­ло мак­си­маль­ное ко­ли­че­ство посетителей.

Пояснение.

Из диа­грам­мы видно, что мак­си­маль­ное количество по­се­ти­те­лей было в 13 часов (см. рисунок).

Ответ: 13.

Ответ: 13

12. Строительная фирма планирует купить 70 м³ пеноблоков у одного из трех поставщиков. Цены и условия доставки приведены в таблице. Сколько рублей будет стоить самая дешевая покупка с доставкой?

Пояснение.

Рассмотрим все варианты.

При покупке у поставщика A стоимость пеноблоков составит 2700  70 = 189 000 руб., стоимость доставки составит 9900 руб. Всего 189 000 + 9900 = 198 900 руб.

При покупке у поставщика Б стоимость пеноблоков составит 2900  70 = 203 000 руб. Так как стоимость заказа больше 150 000 руб., то доставка бесплатно. Таким образом, стоимость 203 000 руб.

При покупке у поставщика В стоимость заказа складывается из стоимости пеноблоков 2800  70 = 196 000 руб. и стоимости доставки и равна 196 000 + 7900 = 203 900 руб.

Стоимость самой дешевой покупки будет составлять 198 900. рублей.

Ответ: 198 900.

Ответ: 198900

13. Основанием пря­мой треугольной приз­мы служит пря­мо­уголь­ный треугольник с ка­те­та­ми 6 и 8, вы­со­та призмы равна 10. Най­ди­те площадь ее поверхности.

Пояснение.

Третья сто­ро­на треугольника в ос­но­ва­нии равна 10 и его пло­щадь  Пло­щадь боковой по­верх­но­сти призмы с пе­ри­мет­ром основания  равна

.

Пол­ная площадь поверхности:

Ответ: 288.

Ответ: 288

14. Установите соответствие между графиками линейных функций и угловыми коэффициентами прямых.

ГРАФИКИ

УГЛОВЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ

1) 

2) 

3) 

4) 

Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам: 

Пояснение.

Если пря­мая за­да­на урав­не­ни­ем  то при k  0 функ­ция возрастает, при k 

Ответ: 1243.

Ответ: 1243

15. Основания пря­мо­уголь­ной трапеции равны 12 и 4. Ее пло­щадь равна 64. Най­ди­те острый угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

Пояснение.

.

Рассмотрим пря­мо­уголь­ный треугольник . . , значит, тре­уголь­ник  — равнобедренный. Тогда .

Ответ: 45.

Ответ: 45

16. В пра­виль­ной шестиугольной приз­ме  все ребра равны 1. Най­ди­те расстояние между точ­ка­ми  и .

Пояснение.

рассмотрим пря­мо­уголь­ный треугольник  По тео­ре­ме Пифагора

Угол между сто­ро­на­ми правильного ше­сти­уголь­ни­ка равен  По тео­ре­ме косинусов

Значит, 

Ответ: 2.

Ответ: 2

17. Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

Впишите в приведённую в ответе таблицу под каждой буквой соответствующий решению номер.

Пояснение.

Решим неравенства:

А) 

Б) 

В) 

Г) 

Ответ: 1432

Ответ: 1432

18. Среди жи­те­лей дома № 23 есть те, кто работает, и есть те, кто учится. А также есть те, кто не ра­бо­та­ет и не учится. Не­ко­то­рые жи­те­ли дома № 23, ко­то­рые учатся, ещё и работают. Вы­бе­ри­те утверждения, ко­то­рые верны при ука­зан­ных условиях.

1) Хотя бы один из ра­бо­та­ю­щих жи­те­лей дома № 23 учится.

2) Все жи­те­ли дома № 23 работают.

3) Среди жи­те­лей дома № 23 нет тех, кто не ра­бо­та­ет и не учится.

4) Хотя бы один из жи­те­лей дома № 23 работает.

В от­ве­те за­пи­ши­те но­ме­ра вы­бран­ных утвер­жде­ний без пробелов, за­пя­тых и дру­гих до­пол­ни­тель­ных символов.

Пояснение.

Рассмотрим пред­став­лен­ные утверждения:

1) Хотя бы один из ра­бо­та­ю­щих жи­те­лей дома № 23 учит­ся — верно, так как не­ко­то­рые жители дома №23 учат­ся и работают.

2) Все жи­те­ли дома № 23 ра­бо­та­ют — неверно, так как есть те, кто учит­ся и не работает, а есть те, кто не ра­бо­та­ет и не учится.

3) Среди жи­те­лей дома № 23 нет тех, кто не ра­бо­та­ет и не учит­ся — неверно, так как среди жи­те­лей есть те, кто не ра­бо­та­ет и не учится.

4) Хотя бы один из жи­те­лей дома № 23 ра­бо­та­ет — верно, так как есть те, кто ра­бо­та­ет и не учится, а есть те, кто учит­ся и работает.

Ответ: 14.

Ответ: 14

19. Приведите при­мер трёхзначного на­ту­раль­но­го числа, крат­но­го 4, сумма цифр ко­то­ро­го равна их произведению. В от­ве­те ука­жи­те ровно одно такое число.

Пояснение.

Пусть число имеет вид . Тогда усло­вие за­пи­сы­ва­ет­ся так: . Можно заметить, что если , то ра­вен­ство ни­ко­гда не выполняется. Когда есть хотя бы две единицы, оно так же не выполняется. Значит, среди дан­ных чисел может быть лишь одна единица. Тогда дру­гие две цифры — 2 и 3. Из этого на­бо­ра можно со­ста­вить толь­ко два числа, ко­то­рые де­лят­ся на 4: 132 и 312.

Ответ: 132 или 312.

Ответ: 132|312

20. Клетки таблицы 3×7 раскрашены в чёрный и белый цвета так, что получилось 17 пар соседних клеток разного цвета и 11 пар соседних клеток чёрного цвета. (Клетки считаются соседними, если у них есть общая сторона.) Сколько пар соседних клеток белого цвета?

Пояснение.

Угловые клетки имеют по 2 соседа, таких клеток в таблице 4, значит, всего пар 2 · 4 = 8. Крайние клетки (не угловые) имеют по 3 пары, таких клеток 12, значит, всего пар 12 · 3 = 36. Все остальные клетки имеют по 4 пары, таких клеток 21 − 4 − 12 = 5, то есть 20 пар. Всего имеем пар 8 + 36 + 20 = 64. В приведенных расчетах все пары взяты дважды (так как учитывались все клетки). Таким образом, уникальных пар 64 : 2 = 32. Поэтому пар белого цвета 32 − 17 − 11 = 4.

Ответ: 4.

Ответ: 4