Проект Геометрия вокруг нас

МОУ «С(к)ОШ №24» г. Магнитогорска

Исследовательский проект

Тема: Геометрия вокруг нас

Автор работы: Кучанов Владислав, ученик 7в класса

Руководитель: Тихонова Г.И., учитель математики

2022 год

1. Введение

«Геометрия является самым могущественным средством

                                             для изощрения наших умственных способностей и дает

                                          нам возможность правильно мыслить и рассуждать».

(Г. Галилей)

Многие думают, что геометрия – это сложная, скучная, абстрактная и далекая от реальной жизни наука, поэтому вы будете удивлены, что геометрия появилась для того чтобы решать практические задачи. Считается, что ее придумали египтяне, которым нужно было измерять землю, потому что река Нил часто размывала границы. В самом деле,  с точки зрения этимологии геометрия переводится как «измерение земли» или «землемерие». Геометрия настолько практична, что немногое из окружающего нас  может функционировать без нее. Физика, химия, медицина, электроника, архитектура и освоение космоса, а также многие другие области знаний оказались бы не жизнеспособными без геометрии.

Актуальность: в этом учебном году я начал изучать новый предмет «геометрия». Мои одноклассники считают геометрию сложным предметом и часто задаются вопросом о практическом применении геометрии. Поэтому меня заинтересовал вопрос о роли геометрии в жизни человека.

Проблема исследования: как можно применить на практике знания, полученные на уроках геометрии, есть ли связь между геометрией и другими учебными предметами.

Объект исследования: геометрия.

Предмет исследования: практическое применение геометрии.

Гипотеза исследования: геометрия необходима не только как школьная дисциплина, но и важна в повседневной жизни.

        Цель исследования: Роль геометрии в жизни человека.      

Задачи:  

• Исследовать, как можно больше  способов практического применения геометрии.

• Научиться их применять в повседневной жизни.

• Показать одноклассникам  практическое применение геометрии.

Методы исследования:

- поисковый метод с использованием научной и учебной литературы, интернета;

- исследовательский метод при решении практических задач по геометрии.

2. Основная часть

История развития геометрии

Геометрия возникла очень давно, это одна из самых древних наук. Заглянем в прошлое, когда зародилась наука геометрия....

 Первоначальные представления о геометрических формах относятся к эпохе древнего каменного века – палеолита. Уже тогда люди занимались изготовлением орудия для охоты и рыболовства в форме ромбов, треугольников, сегментов. Затем в эпоху позднего неолита люди научились плавить медь и бронзу, изготовлять орудия производства и оружие. Это повлекло оживление торговли на уровне обмена. В этот момент входят в употребление числа, возникает необходимость измерения длины и емкости тел. Единицы измерения в те времена исходили из размеров человеческого тела.

При возведении построек стали вырабатываться правила построений по прямым линиям и под прямым углом. Во многих странах людей, занимавшихся межеванием, называли «натягивателями веревки».

А ведь в переводе с греческого слово «геометрия» означает «землемерие» («гео» – земля, «метрео» – мерить). Такое название объясняется тем, что зарождение геометрии было связано с различными измерительными работами. Скорее всего, первые геометрические знания были выработаны древними египтянами. Они селились на плодородных заливаемых Нилом почвах. Налоги платили от имевшейся в распоряжении земли, а для этого нужно вычислять её площадь. Площадь квадрата и прямоугольника научились считать эмпирически, исходя из подобных фигур меньшего размера. Круг принимали за квадрат, стороны которого равны 8/9 диаметра, а число π при этом составляло примерно 3,16 (π≈3,14).

 Занимавшихся геометрией строительства египтян называли гарпедонаптами (от слова «верёвка»). Самостоятельно они работать не могли — требовались рабы-помощники, так как для разметки поверхностей нужно было растягивать верёвки разной длины. Прослеживая зарождение и становление геометрии, легко усмотреть поразительную близость математических сведений у различных народов, практически не общавшихся. Это сходство (как по форме, так и по содержанию) говорит об общности практических задач, породивших эти математические знания.

Геометрия в быту

Мы приходим домой и здесь вокруг нас сплошная геометрия. Начиная с коридора, повсюду прямоугольники: стены, потолок и пол, зеркала и фасады шкафов, даже коврик у двери и тот прямоугольный. А сколько кругов! Это рамки фотографий, крышка стола, подносы и тарелки.

Любой предмет изготовленный человеком берёшь в руки и видишь, что в нём «живёт» геометрия.

Стены, пол и потолок являются прямоугольниками (не будем обращать внимания на проёмы окон и дверей). Комнаты, кирпичи, шкаф, железобетонные блоки, напоминают своей формой прямоугольный параллелепипед. Посмотрим на паркетный пол. Планки паркета - прямоугольники или квадраты. Плитки пола в ванной, метро, на вокзалах чаще бывают правильными шестиугольниками или восьмиугольниками, между которыми уложены небольшие квадратики.

Многие вещи напоминают окружность - обруч, кольцо, дорожка вдоль арены цирка. Арена цирка, дно стакана или тарелки имеют форму круга. Фигура, близкая к кругу, получится, если разрезать поперек арбуз. Нальем в стакан воду. Её поверхность имеет форму круга. Если наклонить стакан, чтобы вода не выливалась, тогда край водной поверхности станет эллипсом. А у кого-то есть столы в виде круга, овала или очень плоского параллелепипеда.

Со времени изобретения гончарного круга люди научились делать круглую посуду - горшки, вазы. На геометрический шар похожи арбуз, глобус, разные мячи (футбольный, волейбольный, баскетбольный, резиновый). Поэтому, когда у футбольных болельщиков до матча спрашивают, с каким счетом он кончится, они часто отвечают: "Не знаем - мяч круглый".
Ведро имеет форму усеченного конуса, у которого верхнее основание больше нижнего. Впрочем, ведро бывает и цилиндрической формы. Вообще, цилиндров и конусов в окружающем нас мире очень много: трубы парового отопления, кастрюли, бочки, стаканы, абажур, кружки, консервная банка, круглый карандаш, бревно и др.

Геометрия в архитектуре

Конечно, говорить о соответствии архитектурных форм геометрическим фигурам можно только приближенно, отвлекаясь от мелких деталей. В архитектуре используются почти все геометрические фигуры. Выбор использования той или иной фигуры в архитектурном сооружении зависит от множества факторов: эстетичного внешнего вида здания, его прочности, удобства в эксплуатации. Эстетические особенности архитектурных сооружений изменялись в ходе исторического процесса и воплощались в архитектурных стилях. Стилем принято называть совокупность основных черт и признаков архитектуры определенного времени и места. Геометрические формы, свойственные архитектурным сооружениям в целом и их отдельным элементам, также являются признаками архитектурных стилей. 

Современная архитектура

Архитектура в наши дни имеет все более необычный характер. Здания становятся самых разных форм. Многие здания украшаются колоннами и лепнинами. Геометрические фигуры различной формы можно увидеть в постройке конструкциях мостов. Самые «молодые» здания - это небоскребы , подземные сооружения с модернизированным дизайном. Такие здания проектируются с использованием архитектурных пропорций.

Дом приблизительно имеет вид прямоугольного параллелепипеда. В современной архитектуре смело используются самые разные геометрические формы. Многие жилые дома, общественные здания украшаются колоннами.

Окружность как геометрическая фигура всегда привлекала к себе внимание художников, архитекторов. В неповторимом архитектурном облике Санкт-Петербурга восторг и удивление вызывает "чугунное кружево" - садовые ограды, перила мостов и набережных, балконные решетки и фонари. Четко просматриваемое на фоне фасада зданий летом, в изморози зимой, оно придает особое очарование городу. Особую воздушность придают воротам Таврического дворца (созданного в конце ХIII в. архитектором Ф.И. Волковым) окружности сплетенные в орнамент. Торжественность и устремленность ввысь - такой эффект в архитектуре зданий достигается использованием арок, представляющих дуги окружностей. Это видим на здании Главного штаба. (Санкт-Петербург). Архитектура православных церквей включает в себя как обязательные элементы купола, арки, округлые своды, что зрительно увеличивает пространство, создает эффект полета, легкости.

А как красив Московский Кремль. Прекрасны его башни! Сколько интересных геометрических фигур положено в их основу! Например, Набатная башня. На высоком параллелепипеде стоит параллелепипед поменьше, с проемами для окон, а ещё выше воздвигнута четырехугольная усечённая пирамида. На ней расположены четыре арки, увенчанные восьмиугольной пирамидой. Геометрические фигуры различной формы можно узнать и в других замечательных сооружениях, возведенных русскими зодчими.

 Геометрическая форма сооружения настолько важна, что бывают случаи, когда в имени или названии здания закрепляются названия геометрических фигур. Так, здание военного ведомства США носит название Пентагон, что означает пятиугольник. Связано это с тем, что, если посмотреть на это здание с большой высоты, то оно действительно будет иметь вид пятиугольника. На самом деле только контуры этого здания представляют пятиугольник. Само же оно имеет форму многогранника.

Геометрия в транспорте

По улице движутся автомобили, трамваи, троллейбусы. Их колеса с геометрической точки зрения – круги. В окружающем нас мире встречается много различных поверхностей, сложных по форме, не имеющих специальных названий. Паровой котел напоминает цилиндр. В нем находится пар под высоким давлением. Поэтому стенки цилиндра слегка (незаметно для глаза) изгибаются, образуя поверхность очень сложной и неправильной формы, которую инженеры должны знать, чтобы суметь правильно рассчитать котел на прочность. Сложную форму имеет и корпус подводной лодки. Он должен быть хорошо обтекаемым, прочным и вместительным. От формы корабельного корпуса зависит и прочность корабля, и его устойчивость и скорость. Результат работы инженеров над формой современных автомобилей, поездов, самолетов - высокие скорости движения. Если форма будет удачной, обтекаемой, сопротивление воздуха значительно уменьшается, за счет чего увеличивается скорость. Сложную форму имеют и детали машин – гайки, винты, зубчатые колеса и т.д. Рассмотрим ракеты и космические корабли. Корпус ракеты состоит из цилиндра (в котором находятся двигатель и горючее), а в конической головной части помещается кабина с приборами или с космонавтом

Природные творения в виде геометрических фигур

До сих пор рассматривали некоторые геометрические формы, созданные руками человека. Но ведь в самой природе очень много замечательных геометрических форм. Необыкновенно красивы и разнообразны многоугольники, созданные природой.

Кристалл соли имеет форму куба. Кристаллы горного хрусталя напоминают отточенный с двух сторон карандаш. Алмазы чаще всего встречаются в виде октаэдра, иногда куба. Существуют и многие микроскопические многоугольники. В микроскоп можно увидеть, что молекулы воды при замерзании располагаются в вершинах и центрах тетраэдров. Атом углерода всегда соединен с четырьмя другими атомами тоже в форме тетраэдра. Одна из самых изысканных геометрических фигур падает на нас с неба в виде снежинок.

Обычная горошина имеет форму шара. И это неспроста. Когда стручок гороха созреет и лопнет, горошины упадут на землю и благодаря своей форме покатятся во все стороны, захватывая всё новые территории. Горошины кубической или пирамидальной формы так и остались бы лежать возле стебля. Шаровую форму принимают капельки росы, капли ртути из разбитого градусника, капли масла, оказавшиеся в толще воды… Все жидкости в состоянии невесомости обретают форму шара. Отчего шар так популярен? Это объясняется одним замечательным свойством: на изготовление шара расходуется значительно меньше материала, чем на сосуд любой другой формы того объёма. Поэтому, если вам нужен вместительный мешок, а ткани не хватает, шейте его в форме шара. Шар - единственное геометрическое тело, у которого наибольший объём заключен в наименьшую оболочку.

Геометрия у животных

Принцип экономии хорошо «усвоили» животные. Сохраняя тепло, на холоде они спят, свернувшись в клубочек, поверхность тела уменьшается, и тепло лучше сохраняется. По этим же причинам северные народы строили круглые дома. Животные, конечно, же геометрию не изучали, но природа наделила их талантом строить себе дома в форме геометрических тел. Многие птицы — воробьи, крапивники, лирохвосты — строят свои гнёзда в форме полу шара.

Есть архитекторы и среди рыб: в пресных водах живет удивительная рыба колюшка. В отличие от многих своих соплеменников она живет в гнезде, которое имеет форму шара. Но самые искусные геометры — пчёлы. Они строят соты из шестиугольников. Любая ячейка в сотах окружена шестью другими ячейками. А основание, или донышко, ячейки представляет собой трехгранную пирамиду. Такая форма выбрана неспроста. В правильный шестиугольник поместится больше меда, а зазоры между ячейками будут наименьшими! Разумная экономия усилий и строительных материалов.

Геометрия в природе

Фигура, близкая к кругу, получится, если разрезать пополам апельсин, арбуз. Дугу можно увидеть после дождя на небе - радугу.

Некоторые деревья, одуванчики, отдельные виды кактусов имеют сферическую форму. В природе многие ягоды имеют форму шара, например, смородина, крыжовник, черника.

Двойной спиралью закручена молекула ДНК. Ураган закручивается по спирали, спирально плетёт свою паутину паук.

3. Практическое применение геометрии

Сделав вывод о том, что природа всегда останавливает выбор на самых стабильных формах, минимально расходующих энергию, я подумал о том,  чем мне может помочь геометрия в жизни.  Не зря ли я трачу время на изучение данного предмета? Возможно они мне пригодятся только для того, чтобы измерить расстояние от точки до точки, вычислить площадь или объём предмета и только?

Нет, конечно. Законы геометрии применимы буквально на каждом шагу. Просто нужно знать, как ими воспользоваться.

Задача №1.

Перед нами стеклянные чайники четырёх моделей одинаковой вместимости. В каком чайнике заваренный чай останется тёплым дольше? 

Решение. 

Из курса физики известно, что время охлаждения пропорционально площади поверхности тела. Значит, чем меньше поверхность чайника, тем дольше остывает чай. Самая маленькая площадь поверхности у четвёртого чайника, так как его форма близка к сфере (S = d²).

Задача №2.

Часто в рецептуре того или иного блюда требуется взять четверть (или половину) стакана жидкости, муки либо какого-либо другого продукта. Как отмерить такой объём с наибольшей точностью, не прибегая к дополнительным измерительным средствам?

 Решение.

 Воспользуемся стаканом цилиндрической формы — это важно для точности измерений. Чтобы отмерить четверть стакана жидкости, надо из наполненного стакана вылить столько, чтобы оставшаяся в нём жидкость закрыла половину дна. Она займёт примерно четверть объёма стакана-цилиндра.

Аналогично поступаем, если надо отмерить половину стакана. Наклоняем стакан так, чтобы оставшаяся в нём жидкость закрыла всё дно.

 Задача№3.

Прямоугольная калитка со временем расшатывается и становится похожей на параллелограмм. Этого можно избежать, прибив к ней ещё одну планку. Только надо знать, как это сделать. 

Решение. 

Выбор такого положения планки, как показано справа, основан на свойстве жёсткости треугольника. Оно гласит: существует единственный треугольник с заданными длинами сторон. Планка и есть гипотенуза такого треугольника.

Задача №4. 

На какой табурет  можно сесть без риска оказаться на полу, на тот у которого ножки и сиденье образуют треугольник или квадрат?

Решение. Безопасный табурет тот, у которого сиденье и ножки образуют треугольник (более устойчив).

Задача №5. 

Известен старинный способ построения прямого угла на поверхности земли. Его использовали ещё древние египтяне. Они строили прямой угол с помощью обычной верёвки, на которой через равные расстояния завязаны тринадцать узелков. Чтобы отрезки на верёвке были одинаковые, узелки завязывали вокруг колышков, вбитых в землю на равном расстоянии друг от друга. В чём состоит этот «верёвочный» способ? 

Решение. 

В древности при закладке храма такую верёвку с узелками использовали для определения направлений его стен. Концы верёвки на месте крайних узелков связывали, а затем натягивали её на три колышка. Стороны при этом имели соотношение 3:4:5. В таком треугольнике один из углов получается прямым. Впоследствии этот факт был доказан в теореме Пифагора. Поэтому первых геометров называли ещё «натягивателями верёвок». Нужно отметить, что таким способом построения прямого угла на местности пользуются и сегодня, например при закладке фундамента небольшого строения.

Задача №6. 

Как без всяких измерений найти середину негнущегося прута, доски или металлического стержня?

 Решение. 

Можно отмерить размеры стержня на шнуре, затем сложить его пополам и отложить полученную длину. А можно воспользоваться геометрическим построением середины отрезка с помощью циркуля и линейки, если, конечно, размеры позволяют это сделать. Ещё более рациональное решение даёт физика. Середину однородного стержня легко найти, используя понятие центра тяжести.

Задача №7.

Один из вопросов, который меня всегда мучил – почему крышки люков круглые?

Решение:

Один из ответов я знал: люки круглой формы никогда не провалятся в колодец. А все потому, что диаметр покрывающего круга всегда больше диаметра самого колодца, а квадратные крышки могут войти в него, например, под углом.

Еще одна практическая сторона: крышка люка круглая, поскольку ее удобно переносить. Вес одной крышки варьирует от 50 до 110 кг. Одному человеку перенести крышку люка с одного места на другое довольно тяжело, а благодаря круглой форме его можно перекатить.

Не квадратные, а именно люки круглой формы удобно монтировать и демонтировать, поскольку точки концентрации нагрузки идут по всей окружности крышки, в то время как у люков квадратной или прямоугольной формы такими точками будут только углы. Именно поэтому горлышки и, соответственно, крышки к банкам изготавливают круглыми.

3. Заключение.

На сегодняшний день мы не знаем сфер жизнедеятельности человека, где не нужна геометрия. Без неё не обходится ни одно новое открытие, не работает ни одно изобретение, не функционирует ни одно предприятие и государство, следовательно, диапазон всего того, где нужна геометрия, достаточно широк.

Когда мы приступаем в школе к изучению этой дисциплины, мы не знаем, сделаем ли мы открытие в физике, информатике, астрономии или другой науке. А может, будем инженером или архитектором, авиаконструктором или фармацевтом, т.е. специалистом той профессии, где геометрия будет нужна именно нам.

Я убедился, что каждый должен знать и изучать эту величайшую из всех наук, без которой нельзя представить своей жизни, поскольку геометрия является своеобразным проездным билетом, без которого невозможно отправиться в путь. Она развивает логическое мышление, целеустремлённость, воображение, умение находить выход из любых ситуаций.

Я убедилась, что геометрия просто необходима в жизни, быту и профессиях. В связи с этим я решил познакомить как можно больше учащихся с результатами моего исследования с целью развития интереса к предмету геометрия, расширения знаний  и кругозора в целом.

Выдвинутая гипотеза о том, что геометрия необходима не только как школьная дисциплина, но и важна в повседневной жизни – подтвердилась.

4. Литература

1. Глейзер Г.И. История математики в школе: Пособие для учителей. – М.: Просвещение, 2005 г.

2. Шарыгин И.Ф., Ерганжиева Л.Н. Математика. Наглядная геометрия: Учебник – М.: Дрофа, 2015г.

Интернет-ресурсы

1. http://otvetprost.com/387-pochemu-lyuki-kruglye.html

2. http://lomonosov-fund.ru/enc/ru/encyclopedia:0157:article 

3. https://bigpicture.ru/?p=395519

4. https://www.nkj.ru/archive/articles/19307/

5. https://100-faktov.ru/istoriya-geometrii/

9