Проект "Золотое сечение"

ЧАСТНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА «СВЕТЛЫЕ ГОРЫ»

Исследовательский проект

«Золотое сечение - гармоническая пропорция»

Выполнила:

учащаяся 8-А класса

Пастьян Дарья

Руководитель:

Гаенко Татьяна Александровна,

учитель математики

г. Красногорск

2020 год

Оглавление

Введение стр. 3

Основная часть

1. Золотое сечение. стр.5

2. Золотой треугольник и пентаграмма. стр.5

3. Ряд чисел Фибоначчи. стр.6

4. «Золотой прямоугольник». стр.6

5. Спираль Архимеда. стр.7

6. Золотое сечение в фотографии и правило третей. стр.8

Заключение. стр.9

Список источников информации. стр.9

Приложения стр.10

В представленной исследовательской работе по математике на тему "Золотое сечение - гармоническая пропорция" автор исследует вопрос о существовании формулы красоты, рассматривает взаимодействие двух великих сфер человеческой культуры - науки и искусства. Проект ориентирован на учеников 6, 7 классов школы.

Авторская исследовательская работа по математике посвящена расширению представлений о сферах применения математики, а также исследованию присутствия «золотого сечения» в репродукциях картин художников и фотографиях.

Предполагается, что результаты этого исследования положительно повлияют на формирование научного мировоззрения.

Актуальность: Человек различает окружающие его предметы по форме. Интерес к форме предмета изначально вызван его красотой.

Возникает вопрос: почему этот предмет красив, а другой нельзя назвать красивым?

Красота картины, красота храма, окружающей природы… Что между ними общего? Как их сравнивать? Их можно сравнивать, если будут найдены единые критерии прекрасного, открыты общие формулы красоты.

Целое всегда состоит из частей, части разной величины находятся в определенном отношении друг к другу и к целому. Ответ можно искать среди чисел, отношений, пропорций. Это уже математика.

Меня заинтересовал вопрос: как математика влияет на восприятие красоты окружающего нас мира, возможно ли средствами математических вычислений и расчетов научить людей видеть прекрасное. В своей исследовательской работе я попыталась ответить на эти вопросы с математической точки зрения.

Я считаю тему, раскрытую в работе, актуальной, поскольку красота и гармония стали важнейшими категориями познания. Зная правило «золотого сечения» художник, скульптор, строитель может обеспечить многообразие композиционных форм в своих работах.

Гипотеза: в окружающем мире «золотое сечение» является основополагающим принципом красоты, прочности, надежности и позволяет осознать связь мира искусства и мира чисел.

Целью проекта является:

1. исследовать вопрос о существовании формулы красоты;

2. рассмотреть взаимодействие двух великих сфер человеческой культуры - науки и искусства.

Задачи:

• Изучить понятие «золотое сечение»;

• Рассмотреть применение «золотого сечения» в искусстве, живописи, фотографии;

• Расширение представлений о сферах применения математики. Исследовать присутствие «золотого сечения» в репродукциях картин художников и фотографиях;

• Использовать результаты исследования для формирования научного мировоззрения.

• Проектная работа по математике на тему "Золотое сечение - гармоническая пропорция" ориентирована на обучающихся 6-х, 7-х классов школы, интересующихся математикой и искусством.

Методы исследования:

• Анализ научно-популярной и занимательной литературы;

• Использование интернета;

• Изучение и сравнение результатов исследования, рефлексивный анализ собственной деятельности.

Этапы выполнения работы:

• Подбор и изучение, необходимой для проекта литературы.

• Сбор и систематизация материала.

• Математические расчеты пропорциональных отношений.

• Оформление результатов проектной деятельности.

В данной исследовательской работе по математике "Золотое сечение - гармоническая пропорция" рассматриваются теоретические основы понятий пропорция, золотое сечение, золотой треугольник, пентаграмма, ряд чисел Фибоначчи.

Представлена историческая информация о развитии золотого сечения.

Проведена практическая работа по исследованию картин на золотое сечение, в программе PowerPoint создана презентация, в которой представлен грамотно изложенный, проиллюстрированный материал, интересный для чтения и изучения.

1. Золотое сечение

Тайну золотого сечения пытались осмыслить Платон, Евклид, Пифагор, Леонардо да Винчи, Кеплер. Созданное давно Золотое сечение до сих пор волнует умы многих ученых.

С давних времен люди стремились понять, как организован и устроен природой наш мир.

Пифагор считал, что мир устроен по строгим геометрическим законам и в основе мироздания лежит число. Есть предположения, что он свое знание золотого деления позаимствовал у египтян и вавилонян. Об этом свидетельствуют пропорции пирамиды Хеопса, храмов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона.

Одной из задач древних было деление отрезка на 2 равные части так, чтобы длина большего отрезка, относилась к длине меньшего так же, как длина всего отрезка к длине большего.

Или эту пропорцию можно перевернуть и найти отношение меньшего к большему .В результате вычислили, что отношение большего к меньшему = 1,61803…, а меньшего к большему = 0,61803…

В Древней Греции такое деление называлось гармоническим отношением. В 1509 году итальянский математик, монах Лука Пачоли написал целую книгу «О божественной пропорции».

2. Золотой треугольник и пентаграмма

«Золотой» треугольник - это равнобедренный треугольник, отношение боковой стороны к основанию равно 1,618 (приложение 1).

Золотое сечение можно увидеть и в пентаграмме - так называли греки звездчатый многоугольник.

Пятиугольник с прочерченными диагоналями, образующими пятиконечную звезду, назвался пентаграммой, которая считалась с древнейших времен почитаемой фигурой.

Это был древний магический знак добра, и братства пяти начал, лежащих в основе мира-огня, земли, воды, дерева и металла. Пентаграмма-правильный пятиугольник, на каждой стороне которого построены равнобедренные треугольники, равные по высоте.

Пятиконечная звезда очень красива, недаром ее помещают на свои флаги и гербы многие страны. Совершенная форма этой фигуры радует глаз.

Пентаграмма - звездчатый многоугольник

Пятиугольник буквально соткан из пропорций, и прежде всего золотой пропорции

3. Ряд чисел Фибоначчи

Связь ряда Фибоначчи с золотым сечением была впервые установлена И. Кеплером.

Ряд чисел 1,1,2,3,5,8,13,21,34,34,55,89,144,233,377… известен как ряд Фибоначчи. Это последовательность натуральных чисел, каждый член которой, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих членов.

Ее описал в 1202 году итальянский купец и математик Леонардо из Пизы по прозвищу Фибоначчи. С тех пор такая последовательность чисел называется рядом Фибоначчи, а ее члены-числами Фибоначчи.

Отношение смежных чисел ряда приближается к отношению золотого деления,так 21:34=0,617, а 34:55=0,618.

Последовательность Фибоначчи тесно связана с определением спирали Архимеда.

Спираль Архимеда – спираль с равномерным увеличением шага и витка. Рассмотрим «золотой прямоугольник».

4. «Золотой прямоугольник»

Как видим, части в нем располагаются согласно вышеупомянутой последовательности. К тому же, если провести линии через углы этих квадратов в порядке возрастания, то мы получим не что иное, как уже известную спираль Архимеда.

5. Спираль Архимеда

В природе существует множество примеров того, как гармонично может воплощаться последовательность Фибоначчи. (Семена подсолнуха, сосновые шишки, ячейки ананаса, лепестки цветка).

Каждый рисующий определяет отношение величин и отличает среди них «золотое сечение».

Приступая к новой работе, каждый художник начинает всегда с того, что мысленно пытается определить на холсте ту основную точку, куда должны стягиваться все сюжетные линии картины.

Эта же точка-главная и смысловая-должна присутствовать и в фотографии, как бы разворачивая действие вокруг главного объекта в кадре, поэтому скульпторы, архитекторы, художники использовали и используют их в своих произведениях. Пропорции «золотого сечения» создают впечатление гармонии красоты.

Переходя к примерам «золотого сечения» в живописи, нельзя не остановить внимания на портрете Моны Лизы (Джоконды) Леонардо да Винчи. Его личность одна из загадок истории.

Сам Леонардо да Винчи говорил: «Пусть никто, не будучи математиком, не дерзнет читать мои труды».

Портрет Моны Лизы долгие годы привлекает внимание исследователей, которые обнаружили, что композиция рисунка основана на золотых треугольниках. Все исследователи сходятся в том, что именно золотое сечение и есть главная причина красоты женского лица.

6. Золотое сечение в фотографии и правило третей

Еще в эпоху Возрождения художники открыли, что любая картина имеет определенные точки-зрительные центры.

Таких точек всего четыре, и расположены они на расстоянии 3/8 и 5/8 от соответствующих краев плоскости. Данное открытие у художников получило название «золотое сечение» картины.

Эти же точки должны присутствовать и в фотографии, как бы разворачивая действие вокруг главного объекта в кадре.

В чем главное отличие этих двух понятий? Главное отличие в соотношение сторон.

Параметры золотого сечения 1:0.618:1, а правило третей – 1:1:1.

Вывод можно сделать такой: правило третей немного более упрощенная версия правила золотого сечения, в его классическом варианте. Оно было впервые озвучено в 1797 г.

Согласно данному правилу, кадр делиться воображаемыми линиями по горизонтали и вертикали на трети, где главные композиционные детали располагаются на точках пересечения линий.

Применение данного правила создает более динамичную композицию, тем самым открывая зрителю глубокий смысл фотографии, приглашая его к активному взаимодействию во время просмотра. Чтобы понять данное правило в действие рассмотрим следующие фотографии.

Многие исследования доказали, что во время просмотра фотографии, для человеческого взгляда более естественно концентрироваться на одной из точек пересечения, чем в центре кадра.

Если на фотографии вы хотите сделать акцент, на определенном предмете, то его необходимо расположить на одной из четырех точек. Желаете сделать акцент на переднем плане фотографии?

Тогда лучше, сформировать кадр так, чтобы линия горизонта проходила вдоль верхней линии сетки (соотношение 2:1) и наоборот. Хотите показать красивый узор на небе? Тогда линия горизонта, должна проходить вдоль нижней линии сетки.

Заключение.

Наука и искусство-два высших начала культуры. Их высшая цель-быть дополняющими друг друга. Из многих искусств, допускающих математическое описание, я рассмотрела живопись и фотографию.

Красота математики среди наук недосягаема, а красота является одним из связывающих звеньев науки и искусства.

Таким образом, в ходе своей работы я познакомилась с материалами по данному вопросу, познакомилась с произведениями искусств, и пришла к выводу:

- Целое всегда состоит из частей, части разной величины находятся в определенном отношении друг к другу и к целому.

- Принцип золотого сечения-высшее проявление совершенства целого и его частей в искусстве, науке, технике и природе.

- Универсальная формула, которой подчиняются законы природы и законы красоты творений человека-формула золотого сечения.

Всегда интересно познавать что-то новое, открывать для себя то, что может быть увлекательным.

В ходе исследовательской работы гипотеза о том, что красота и гармония подчиняются математическим законам, нашла свое подтверждение, а связь науки и искусства стала очевидна.

Список источников информации

1. Энциклопедический словарь юного математика - М. 1989г.

2. Васютинский Н. Золотая пропорция, Москва «Молодая гвардия»,1990 год.

3. Источники глобальной сети интернет по теме проекта.

Приложения

1. Построение золотого треугольника

Проводим прямую АВ. От точки А откладываем на ней три раза отрезок О произвольной величины, через полученную точку Р проводим перпендикуляр к линии АВ, на перпендикуляре вправо и влево от точки Р откладываем отрезки О.

П олученные точки d и d 1 соединяем прямыми с точкой А. Отрезок dd 1 откладываем на линию Ad 1, получая точку С. Она разделила линию Ad 1 в пропорции золотого сечения. Линиями Ad 1 и dd 1 пользуются для построения «золотого» прямоугольника.

2. Построение пентаграммы

3. Построение спирали Архимеда

4. Наложение спирали Архимеда на картины известных художников я делала в программе Paint.

В живописи используется правило основанное на Золотой пропорции:

Если ключевые элементы композиции расположить по линии Золотой спирали, то композиция приобретет эффект динамики, движения, развития событий.

5. Правило третей в фотографии