Программа элективного курса "Построение графиков функций"

Программа элективного курса.

«Графики функций содержащих модуль».

Пояснительная записка

Навыки построения графиков элементарных функций, содержащих модуль, совершенно необходимы любому ученику, желающему не только успешно выступать на математических конкурсах и олимпиадах, но и хорошо подготовится к поступлению в дальнейшем в высшие учебные заведения. Материал данного курса содержит «нестандартные» методы, которые позволяют более эффективно решать широкий класс заданий, содержащих модуль, и, безусловно, может использоваться учителем как на уроках математики в 8-9 классах, так и на факультативных и дополнительных занятиях. Наряду с основной задачей обучения математики – обеспечением прочного и сознательного овладения учащимся системой математических знаний и умений данный курс предусматривает формирование устойчивого интереса к предмету, выявление и развитие математических способностей, ориентацию на профессии, существенным образом связанные с математикой.

Цель: создание учащимся условий для обоснованного выбора профиля обучения в старшей школе через оценку собственных возможностей в усвоении математического материала на основе расширения представлений о графиках основных функций.

Данный курс рассчитан на 8 часов, предполагает компактное и четкое изложение теории вопроса, решение типовых задач, самостоятельную работу и итоговую домашнюю практическую работу.

Занятие 1. Графики функций вида y=| k₁x + b₁ | +| k₂x + b₂ |

Цель: научиться строить графики функций вида y=| k₁x + b₁ | + | k₂x + b₂ |

Объяснение:

Для построения графиков функций, содержащих выражения под знаком модуля, сначала находят корни выражений, стоящих под знаком модуля (нули модуля). Эти корни разбивают числовую прямую на промежутки. График строят в каждом промежутке отдельно.

ПРИМЕР: построить график функции y=| 2x - 4 | + | 6 + 3x|

Решение: находим корни каждого выражения, стоящего под знаком модуля:

2x – 4=0; 6 +3x=0

x = 2 x = -2

В результате ось OX разбиваем на три промежутка. В каждом промежутке выражение, стоящее под знаком модуля, имеет определенный знак, т. к.

x, если x ≥ 0

|x|=

-x, если x ≤ 0

Опускаем знаки модуля, беря выражения в каждом промежутке с соответствующим знаком.

1. x

2. -2 ≤ x ≤ 2, y = -(2x - 4) + (6 + 3x) = x + 10

3. x 2, y = 2x – 4 + 6 + 3x = 5x + 2

Строим графики полученных

функций в каждом промежутке. При правильном построении в области определения график должен представлять непрерывную линию.

2 способ (метод вершин).

Функция y=| 2x - 4 | + | 6 + 3x| определена на всей числовой прямой. Графиком функции является ломаная линия с вершинами в точках x = 2; x = -2.

Найдем ординаты этих точек.

y(2) = 0 + |6 + 6| = 12;

y(-2) = |-8| + 0 = 8

Значит, вершинами ломаной являются точки (2; 12) и (-2; 8). Используем еще две дополнительные точки :

x = -3, y(-3) = |-6 - 4| + |6 - 9| = 10 + 3 = 13

x = 2.5, y(2.5) = |5 - 4| + |6 + 7.5| = 1 + 13.5 = 14.5

т. е. точки (-3; 13) и (2.5; 14.5) и построим график функции.

Закрепление.

Построить графики функций:

1) y = |x - 1| + |x + 3|

2) y = |1/2x - 2| - |1/2x + 2|

3) y = |1/3x - 2| + |3 + 2/3x| - 3

Домашнее задание.

Построить графики функций:

1) y = |x + 1| + |x - 1|

2) y = |x + 3| - |0.5x - 1| + |0.5x + 2|

Занятие 2 (лекция). Построение графиков функций, содержащих модули.

Цель: научиться строить графики функций вида y = |f(x)|, y = f(|x|), |y| = f(x)

Объяснение.

ПРАВИЛО 1: График функции y = |f(x)| получается из графика функции y = f(x) следующим образом:

часть графика y = f(x), лежащая над осью ОХ, сохраняется, а часть его, лежащая под осью ОХ, отображается симметрично относительно оси ОХ.

Пример: y = |x² - 4|

ПРАВИЛО 2: График функции y = f(|x|) получается из графика функции y = f(x) следующим образом:

при x 0 график функции y = f(x) сохраняется, и построенная часть графика отображается симметрично относительно оси OY.

Примеры: 1) y = x² - |x| - 6 2) y = x² – 5|x| + 6

ПРАВИЛО 3: Т. к.

y = f(x), для x, где y ≥ 0

|y| = f(x) =

y = -f(x), для x, где y

Для построения графика функции |y| = f(x) достаточно построить часть графика y = f(x) для тех х из области определения функции, при которых y 0 и отобразить полученную часть графика симметрично оси ОХ.

Примеры: 1) |y| = x 2) |y| = x²

y = x, при y ≥ 0

|y| = x =

y = -x, при y

Домашнее задание.

Выучить правила построения графиков и привести примеры на каждое правило.

Занятия 3 – 4 (практикумы). Построение графиков функций, содержащих модули (по правилам).

Цель: закрепить построение графиков с применением правил.

Проверка выполнения домашнего задания.

1) Устный опрос: рассказать правила построения графиков, содержащих модули, привести примеры.

2) Какими способами можно выполнить построение графиков функций: а) y = 2|x| - 1

б) y = |2x - 1|

Выполнение упражнений.

1) y = |1/x| 2) y = x² – 5|x| + 6

3) y = |x² – 5x + 6| 4) |y| = x² – 5x + 6

5)|y| = -x² + 5x – 6

Домашнее задание.

Построить графики функций:

1) y = |1/(x - 3) + 2|

2) y = x² – 4|x| + 1

3) |y| = x² – 4x + 1

Занятие 5. Построение графиков различных функций, содержащих модули.

Цель: научить строить графики функций, содержащих модули, не подчиняющихся правилам.

Повторение изучаемого материала.

1) Как построить графики функций y = |f(x)|, y = f(|x|), |y| = f(x)

2) Построить график функции |y| = 2x – 1 – двумя способами.

Выполнение упражнений.

1) а) y = x|x| - 2x и б) y = x|x| + 2x

Заметим, предварительно, что обе функции нечетные. Вопрос: как располагаются графики этих функций?

а) x ≥ 0, значит y = x² – 2x б) x ≥ 0, значит y = x² + 2x

x y = -x² – 2x x y = -x² + 2x

2) y + |y| = x, то x = 2y, т. е. y = x/2, если y 0 и x = 0, если y

3) y = x|y|, то x = y/|y|, тогда

x = 1, если y 0

x = -1, если y

x – любое число, если y = 0, т. к. 0 = x∙0

x², если x

4) y = x|x| =

-x², если x

x², если x 0

5) y = x³/|x| = -x², если x

не существует, при x = 0

Домашнее задание.

Построить графики функций:

1) y = 3x + |x|

2) y = |- x² – x + 2|

3) y = 2x - |x - 3|

4) y = x² – 4|x| + 3

Занятия 6 – 7. Построение графиков функций, содержащих несколько модулей.

Цель: Научить строить графики функций, подчиняющимся сразу нескольким правилам построения. Контроль усвоения темы: «Построение графиков функций содержащих модули».

Выполнение упражнений.

1) |y| = 2|x| - 4

Рассмотрим, что является графиком

уравнения в каждой их четвертей.

В I четверти будем иметь: y = 2x – 4;

Во II четверти: y = -2x – 4;

В III четверти: -y = -2x – 4, y = 2x + 4;

В IV четверти: -y = 2x – 4, y = -2x + 4;

Строим график уравнения.

Этот прием можно использовать для решения неравенств.

2) На координатной плоскости отметьте множество точек,

для которых |x| + |y| ≤ 4.

В I четверти будем иметь: x + y ≤ 4, y ≤ -x + 4;

Во II четверти: -x + y ≤ 4, y ≤ x + 4;

В III четверти: -x - y ≤ 4, y ≤ -x - 4;

В IV четверти: x - y ≤ 4, у≥х-4.

Используя это, получим:

3) На координатной плоскости отметьте множество точек,

для которых |x| + x = |y| + y

В I четверти будем иметь: 2x = 2y, y = x;

Во II четверти: -x + x = y + y, 2y = 0, y = 0;

В III четверти: -x + x = y + y, 0 = 0, т. е.

каждая точка III четверти удовлетворяет

данному соотношению

В IV четверти: x + x = -y + y, x = 0.

Изобразим все это на координатной плоскости.

4) На координатной плоскости отметьте множество точек,

координаты которых x и y удовлетворяют соотношению

|x - 2| + |y + 1| ≥ 1.

Начертим оси координат и проведем прямые x = 2 и y = -1.

Прямые разбили плоскость на 4 части,

каждую из которых назовем четвертью;

пронумеруем их против часовой стрелки

В I четверти будем иметь: x – 2 + y + 1 ≥ 1,

y ≥ -x + 2;

Во II четверти: -x + 2 + y + 1 ≥ 1, y ≥ x - 2;

В III четверти: -x + 2 - y - 1 ≥ 1, y ≤- x ;

В IV четверти: х-2-у-1≥1, у≤х-4.

Изобразим все это на координатной плоскости.

Самостоятельная работа.

Построить графики функций.

1 вариант 2 вариант

1) y = |2x + 1| + |x - 1| 1) y = |x - 2| - |x - 3|

2) y = -x² + 6|x| - 8 2) y = |-x² + 6x - 8|

3) |y| = x² - 2x 3) |y| = 6x - 2x²

Дополнительное задание

y = |x² – 4|x| + 3| y = |0.5x² – 2|x||

Домашнее задание.

Учащиеся, которые делали 1 вариант, записывают задания 2 варианта, а те, которые делали 2 вариант – задания 1 варианта.

Занятие 8. Обобщающий урок по теме «Графики функций содержащих модуль».

Цель: обобщить и углубить знания по данной теме.

1) Повторение теоретического материала

2) Повторение способов построения графиков

Выполнение упражнений.

Построить графики:

1) y = x|x - 4| 2) y = (x - 3)(|x| + 1)

3) y = |x - 3|(x + 1) 4) y = (|x - 2|/(2 - x))(x² – 2x)

5) y = |||x| - 2| - 1| 6) y = 4x² – 4x²|x| + x⁴

Домашнее задание – практическая работа.

Выполнить на альбомных листах построение графиков функций:

1) |y| = ||x² – 2x| - 7| 2) y = |x² +4|x| -5|

3) y = |1/|x| - 3| 4) y = x² + 2x - |2x + 4|

5) y = x|x - 3| - 3x + 8 6) |y| = 4/|x + 1|

7) y = |x² – 4|x|| 8) |y| = x² – 4|x| + 3

9) |y| = x² – 2|x| + 1 10) y = ||x - 3|(x + 1)|

11) |y| = |x² - 5x + 6| 12) y = |x| - x²

13) |y| = x² + 3|x| 14) y = x|x| + 2x

15) y = |x|x – 2x 16) |y| = |0.5x² -2|x||

Тематическое планирование

учебного материала.