Планируемые результаты освоения учебной дисциплины «Алгебра и начала анализа».
При изучении курса алгебры на профильном уровне продолжаются и получают развитие содержательные линии: «Алгебра», «Функции», «Уравнения и неравенства», «Элементы комбинаторики, теории вероятностей, статистики и логики», вводится линия «Начала математического анализа». В рамках указанных содержательных линий решаются следующие задачи:
систематизация сведений о числах; изучение новых видов числовых выражений и формул; совершенствование практических навыков и вычислительной культуры, расширение и совершенствование алгебраического аппарата, сформированного в основной школе, и его применение к решению математических и нематематических задач;
расширение и систематизация общих сведений о функциях, пополнение класса изучаемых функций, иллюстрация широты применения функций для описания и изучения реальных зависимостей;
развитие представлений о вероятностно-статистических закономерностях в окружающем мире, совершенствование интеллектуальных и речевых умений путем обогащения математического языка, развития логического мышления.
Результаты освоения курса
1) в направлении личностного развития:
Формирование представлений о математике как части общечеловеческой культуры, о значимости математики в развитии цивилизации и современного общества;
Развитие логического и критического мышления, культуры речи, способности к умственному эксперименту;
Формирование интеллектуальной честности и объективности, способности к преодолению мыслительных стереотипов, вытекающих из обыденного опыта;
Воспитание качеств личности, обеспечивающих социальную мобильность, способность принимать самостоятельные решения;
Формирование качеств мышления, необходимых для адаптации в современном информационном обществе;
Развитие интереса к математическому творчеству и математических способностей;
2) в метапредметном направлении:
Развитие представлений о математике как форме описания и методе познания действительности, создание условий для приобретения первоначального опыта математического моделирования;
Формирование общих способов интеллектуальной деятельности, характерных для математики и являющихся основой познавательной культуры, значимой для различных сфер человеческой деятельности;
3) в предметном направлении:
Овладение математическими знаниями и умениями, необходимыми для продолжения образования, изучения смежных дисциплин, применения в повседневной жизни;
Создание фундамента для математического развития, формирования механизмов мышления, характерных для математической деятельности.
знать:
понятие рационального числа, бесконечной десятичной периодической дроби;
определение корня п-й степени, его свойства;
свойства степени с рациональным показателем;
свойства функций;
схему исследования функции;
определение степенной функции;
понятие иррационально уравнения;
определение показательной функции и её свойства;
методы решения показательных уравнений и неравенств и их систем;
понятие логарифма, основное логарифмическое тождество и свойства логарифмов;
формулу перехода;
определение логарифмической функции и её свойства;
понятие логарифмического уравнения и неравенства;
методы решения логарифмических уравнений;
алгоритм решения логарифмических неравенств;
понятия синуса, косинуса, тангенса, котангенса произвольного угла; радианной меры угла;
как определять знаки синуса, косинуса и тангенса простого аргумента по четвертям;
основные тригонометрические тождества;
доказательство основных тригонометрических тождеств;
формулы синуса, косинуса суммы и разности двух углов;
формулы двойного угла;
вывод формул приведения;
определение арккосинуса, арксинуса, арктангенса и формулы для решения простейших тригонометрических уравнений;
методы решения тригонометрических уравнений;
область определения и множество значений элементарных тригонометрических функций;
тригонометрические функции, их свойства и графики;
уметь:
приводить примеры, определять понятия, подбирать аргументы, формулировать выводы, приводить доказательства, развёрнуто обосновывать суждения;
представлять бесконечную периодическую дробь в виде обыкновенной дроби;
находить сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии;
выполнять преобразования выражений, содержащих радикалы;
решать простейшие уравнения, содержащие корни п-й степени;
находить значения степени с рациональным показателем.
строить графики степенных функций при различных значениях показателя;
исследовать функцию по схеме (описывать свойства функции, находить наибольшие и наименьшие значения);
решать простейшие уравнения и неравенства стандартными методами;
изображать множество решений неравенств с одной переменной;
приводить примеры, обосновывать суждения, подбирать аргументы, формулировать выводы;
решать рациональные уравнения, применяя формулы сокращённого умножения при их упрощении;
решать иррациональные уравнения;
составлять математические модели реальных ситуаций;
определять значения показательной функции по значению её аргумента при различных способах задания функции;
строить график показательной функции;
проводить описание свойств функции;
использовать график показательной функции для решения уравнений и неравенств графическим методом;
решать простейшие показательные уравнения и их системы;
решать показательные уравнения, применяя комбинацию нескольких алгоритмов;
решать простейшие показательные неравенства и их системы;
решать показательные неравенства, применяя комбинацию нескольких алгоритмов;
устанавливать связь между степенью и логарифмом;
вычислять логарифм числа по определению;
применять свойства логарифмов;
выражать данный логарифм через десятичный и натуральный;
применять определение логарифмической функции, её свойства в зависимости от основания;
определять значение функции по значению аргумента при различных способах задания функции;
решать простейшие логарифмические уравнения, их системы;
применять различные методы для решения логарифмических уравнений;
решать простейшие логарифмические неравенства
выражать радианную меру угла в градусах и наоборот;
вычислять синус, косинус, тангенс и котангенс угла;
используя числовую окружность определять синус, косинус, тангенс, котангенс произвольного угла;
определять знаки синуса, косинуса, тангенса, котангенса по четвертям;
выполнять преобразование простых тригонометрических выражений;
упрощать выражения с применением тригонометрических формул;
решать простейшие тригонометрические уравнения по формулам;
решать квадратные уравнения относительно sin, cos, tg и ctg;
определять однородные уравнения первой и второй степени и решать их по алгоритму, сводя к квадратным;
применять метод введения новой переменной, метод разложения на множители при решении тригонометрических уравнений;
аргументировано отвечать на поставленные вопросы; осмысливать ошибки и устранять их;
находить область определения и множество значений тригонометрических функций;
множество значений тригонометрических функций вида kf(x) m, где f(x)- любая тригонометрическая функция;
доказывать периодичность функций с заданным периодом;
исследовать функцию на чётность и нечётность;
строить графики тригонометрических функций;
совершать преобразование графиков функций, зная их свойства;
решать графически простейшие тригонометрические уравнения и неравенства
Содержание предмета
Глава I. Действительные числа ( 21 час, из них контрольных работ 1 час).
Целые и рациональные числа. Действительные числа. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма. Корень степени n1 и его свойства. Степень с рациональным показателем и его свойства. Понятие о степени с действительным показателем. Свойства степени с действительным показателем.
Основные цели: знакомство учащихся с действительными числами как с бесконечными десятичными дробями. Научить сравнивать действительные числа. Познакомить с арифметическими действиями над действительными числами. Знакомство с периодическими и непериодическими бесконечными десятичными дробями. Научить переводить обыкновенную дробь в бесконечную десятичную дробь и наоборот. Показать, что иррациональные числа можно представить в виде непериодических бесконечных десятичных дробей.
Глава II. Степенная функция (13часов, из них контрольных работ 1 час).
Функции. Область определения и множество значений. График функции. Построение графиков функций, заданных различными способами. Преобразования графиков: параллельный перенос, симметрия относительно осей координат Свойства функции: монотонность, четность и нечетность, ограниченность. Степенная функция с натуральным показателем, ее свойства и график.
Обратная функция. Область определения и область значений обратной функции. График обратной функции. Равносильность уравнений и неравенств. Решение иррациональных уравнений.
Основные цели:
формирование представлений о степенной функции, о монотонной функции;
формирование умений выполнять преобразование данного уравнения в уравнение-следствие, расширения области определения, проверки корней;
овладение умением решать иррациональные уравнения методом возведения в квадрат обеих частей уравнения, проверки корней уравнения; выполнять равносильные преобразования уравнения и определять неравносильные преобразования уравнения.
Глава III. Показательная функция (14 часов, из них контрольных работ 1 час).
Показательная функция, ее свойства и график. Решение показательных уравнений и неравенств и их систем. Основные приемы решения систем уравнений: подстановка, алгебраическое сложение, введение новых переменных.
Основные цели: формирование понятий о показательной функции, о степени с произвольным действительным показателем, о свойствах показательной функции, о графике функции, о симметрии относительно оси ординат, об экспоненте;
формирование умения решать показательные уравнения различными методами: уравниванием показателей, введением новой переменной;
овладение умением решать показательные неравенства различными методами, используя свойства равносильности неравенств;
овладение навыками решения систем показательных уравнений и неравенств методом замены переменных, методом подстановки.
Глава IY. Логарифмическая функция (19 часов, из них контрольных работ 1 час).
Логарифм числа. Основное логарифмическое тождество. Логарифм произведения, частного, степени; переход к новому основанию. Десятичный и натуральный логарифмы, число e. Преобразование простейших выражений, включающих арифметические операции, операцию возведение в степень и операцию логарифмирования.
Логарифмическая функция, ее свойства и график. Решение логарифмических уравнений и неравенств.
Основные цели:
формирование представлений о логарифме, об основании логарифма, о логарифмировании, о десятичном логарифме, о натуральном логарифме, о формуле перехода от логарифма с одним основанием к логарифму с другим основанием;
формирование умения применять свойства логарифмов: логарифм произведения, логарифм частного, логарифм степени, при упрощении выражений, содержащих логарифмы;
овладение умением решать логарифмические уравнения; переходя к равносильному логарифмическому уравнению, метод потенцирования, метод введения новой переменной, овладение навыками решения логарифмических неравенств.
Глава Y. Тригонометрические формулы (22 часа, из них контрольных работ 2 часа)
Радианная мера угла. Синус, косинус, тангенс, котангенс произвольного угла и числа. Основные тригонометрические тождества. Формулы приведения. Синус, косинус и тангенс суммы и разности двух углов. Синус и косинус двойного угла. Формулы половинного угла. Преобразования суммы тригонометрических функций в произведение и произведения в сумму. Выражение тригонометрических функций через тангенс половинного аргумента. Преобразования простейших тригонометрических выражений.
Основные цели: формирование представлений о радианной мере угла, о переводе радианной меры в градусную и наоборот, градусной - в радианную; о числовой окружности на координатной плоскости; о синусе, косинусе, тангенсе, котангенсе, их свойствах; о четвертях окружности;
формирование умений упрощать тригонометрические выражения одного аргумента; доказывать тождества; выполнять преобразование выражений посредством тождественных преобразований;
овладение умением применять формулы синуса и косинуса суммы и разности, формулы двойного угла для упрощения выражений;
овладение навыками использования формул приведения и формул преобразования суммы тригонометрических функций в произведение.
Глава YI. Тригонометрические уравнения (20 часов, из них контрольных работ 1 ч).
Простейшие тригонометрические уравнения. Решение тригонометрических уравнений. Простейшие тригонометрические неравенства. Арксинус, арккосинус, арктангенс числа. формирование представлений о решении тригонометрических уравнений на числовой окружности, об арккосинусе, арксинусе, арктангенсе, арккотангенсе числа.
Основные цели:
формирование умений решения простейших тригонометрических уравнений, однородных тригонометрических уравнений;
овладение умением решать тригонометрические уравнения методом введения новой переменной, методом разложения на множители;
расширение и обобщение сведений о видах тригонометрических уравнений.
Глава VII. Тригонометрические функции (13 часов, из них контрольных работ 1ч)
Область определения и множество значений тригонометрических функций. Чётность, нечётность, периодичность тригонометрических функций. Свойства и графики функций y = cos x, y = sin x, y = tg x.
Основные цели:
формирование представлений об области определения и множестве значений тригонометрических функций, о нечётной и чётной функциях, о периодической функции, о периоде функции, о наименьшем положительном периоде;
формирование умений находить область определения и множество значений тригонометрических функций сложного аргумента, представленного в виде дроби и корня;
овладение умением свободно строить графики тригонометрических функций и описывать их свойства;
В результате изучения темы учащиеся должны:
знать:
область определения и множество значений элементарных тригонометрических функций;
тригонометрические функции, их свойства и графики;
уметь:
находить область определения и множество значений тригонометрических функций;
множество значений тригонометрических функций вида kf(x) m, где f(x)- любая тригонометрическая функция;
доказывать периодичность функций с заданным периодом;
исследовать функцию на чётность и нечётность;
строить графики тригонометрических функций;
совершать преобразование графиков функций, зная их свойства;
решать графически простейшие тригонометрические уравнения и неравенства
Повторение курса 10 класса (10 часов, из них контрольных работ 2 часа).
Основная цель: обобщить и систематизировать курс алгебры и начала анализа за 10 класс, решая тестовые задания по сборникам тренировочных заданий по подготовке к ЕГЭ; создать условия для плодотворного участия в работе в группе; формировать умения самостоятельно и мотивированно организовывать свою деятельность.
ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ
№ п/п |
Наименование разделов и тем |
Максимальная нагрузка учащегося, ч. |
Из них |
Контрольная работа, ч. | Самостоятельная работа, ч |
1 | Повторение | 4 | 1 | |
2 | Действительные числа | 21 | 1 | 3 |
3 | Степенная функция | 13 | 1 | 2 |
4 | Показательная функция | 14 | 1 | 2 |
5 | Логарифмическая функция | 19 | 1 | 3 |
6 | Тригонометрические формулы | 22 | 2 | 4 |
7 | Тригонометрические уравнения | 20 | 1 | 3 |
8 | Тригонометрические функции | 13 | 1 | 2 |
9 | Повторение | 10 | 1 | 2 |
| Итого | 136 | 10 | 22 |
Календарно - тематический план
№ п/п |
Наименование разделов и тем |
Всего часов | | | Дата проведения занятия |
Вид занятия | Самостоятельные работы |
планируем | фактичес |
Повторение (4часов) |
1 | Линейные уравнения и неравенства. | 1 | Урок повторения и применения знаний и умений | | | |
2 | Квадратные уравнения и неравенства. | 1 | Урок повторения и применения знаний и умений | | | |
3 | Решение задач с помощью уравнений и систем уравнений. | 1 | Урок повторения и применения знаний и умений | | | |
4 | Входная контрольная работа. | 1 | Урок контроля знаний и умений | | | |
Глава 1. Действительные числа ( 21 часов ) |
5 | Целые и рациональные числа | 1 | Комбинированный урок | | | |
6 | Действительные числа. | 1 | Комбинированный урок | | | |
7 | Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма. | 1 | Урок объяснения нового материала | | | |
8 | Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма. | 1 | Урок закрепления изученного, применения знаний и умений | 1 | | |
9 | Арифметический корень натуральной степени | 1 | Урок объяснения нового материала | | | |
10-11 | Решение задач по теме «Арифметический корень натуральной степени» | 2 | Урок закрепления изученного | | | |
12 | Решение задач по теме «Арифметический корень натуральной степени» | 1 | Урок применения знаний и умений | 1 | | |
13 | Степень с рациональным показателем и ее свойства | 1 | Урок объяснения нового материала | | | |
14 | Степень с действительным показателем и ее свойства | 1 | Урок объяснения нового материала | | | |
15-16 | Решение задач на применение свойств степени с рациональным показателем. | 2 | Уроки закрепления изученного | | | |
17-20 | Преобразование выражений, содержащих корни и степени. | 4 | Урок применения знаний и умений. | | | |
21-22 | Сравнение чисел | 2 | Урок закрепления изученного | | | |
23-24 | Обобщающий урок по теме «Действительные числа» | 2 | Урок обобщения и систематизации знаний и умений | | | |
25 | Контрольная работа №1 по теме «Действительные числа» | 1 | Урок контроля знаний и умений | | | |
Глава 2. Степенная функция ( 13 часов ) |
26-27 | Степенная функция, её свойства и график | 2 | Комбинированный урок | | | |
28 | Свойства степенной функции | 1 | Урок закрепления изученного | | | |
29-30 | Взаимно обратные функции | 2 | Комбинированный урок | | | |
31-32 | Равносильные уравнения и неравенства | 2 | Комбинированный урок | | | |
33 | Иррациональные уравнения | 1 | Урок объяснения нового материала | | | |
34 | Решение задач по теме «Иррациональные уравнения» | 1 | Урок закрепления изученного | | | |
35 | Решение задач по теме «Иррациональные уравнения» | 1 | Урок применения знаний и умений | 1 | | |
36 | Иррациональные неравенства | 1 | Урок объяснения нового материала | | | |
37 | Решение задач по теме «Иррациональные неравенств» | 1 | Урок закрепления изученного | | | |
38 | Контрольная работа №2 по теме «Степенная функция» | 1 | Урок контроля знаний и умений | | | |
Глава 3 Показательная функция ( 14 часов ) |
39 | Анализ контрольной работы. Показательная функция, ее свойства и график. | 1 | Урок объяснения нового материала | | | |
40 | Показательная функция, ее свойства и график. | 1 | Урок закрепления изученного | | | |
41 | Показательные уравнения | 1 | Урок объяснения нового материала | | | |
42-43 | Решение задач по теме « Показательные уравнения» | 2 | Урок закрепления изученного, применения знаний, умений. | 1 | | |
44 | Показательные неравенства | 1 | Урок объяснения нового материала | | | |
45-46 | Решение задач по теме « Показательные неравенства» | 2 | Уроки закрепления изученного | | | |
47-48-49 | Системы показательных уравнений и неравенств | 3 | Комбинированные уроки | 1 | | |
50 | Решение задач по теме «Показательная функция» | 1 | Урок обобщения и систематизации знаний и умений | | | |
51 | Контрольная работа№3 по теме «Показательная функция.» | 1 | Урок контроля знаний и умений | | | |
52 | Анализ контрольной работы и работа над ошибками. | 1 | Урок анализа контрольной работы | | | |
Глава 4 Логарифмическая функция ( 19 часов ) |
53 | Анализ контрольной работы. Логарифмы | 1 | Урок объяснения нового материала | | | |
54 | Решение задач по теме «Логарифмы» | 1 | Урок закрепления изученного | | | |
55 | Свойства логарифмов | 1 | Урок объяснения нового материала | | | |
56-57 | Решение задач по теме «Свойства логарифмов» | 2 | Уроки закрепления изученного, применения знаний, умений. | 1 | | |
58 | Десятичные и натуральные логарифмы | 1 | Урок объяснения нового материала | | | |
59 | Десятичные и натуральные логарифмы | 1 | Урок закрепления изученного | | | |
60 | Логарифмическая функция, её свойства и график | 1 | Урок объяснения нового материала | | | |
61 | Логарифмическая функция, её свойства и график | 1 | Урок закрепления изученного | | | |
62 | Логарифмические уравнения | 1 | Урок объяснения нового материала | | | |
63- 64-66 | Решение задач по теме «Логарифмические уравнения» | 3 | Урок закрепления изученного, применения знаний и умений | 1 | | |
66 | Логарифмические неравенства | 1 | Урок объяснения нового материала | | | |
67-68-69 | Решение задач по теме «Логарифмические неравенства» | 3 | Уроки закрепления изученного, применения знаний и умений | 1 | | |
70 | Контрольная работа№4 по теме «Логарифмическая функция» | 1 | Урок контроля знаний и умений | | | |
71 | Анализ контрольной работы и работа над ошибками. | | | | | |
Глава 5 Тригонометрические формулы ( 22 часов ) |
72 | Анализ контрольной работы. Радианная мера угла | 1 | Урок объяснения нового материала | | | |
73 | Поворот точки вокруг начала координат | 1 | Комбинированные уроки | | | |
74 | Определение синуса, косинуса и тангенса угла | 1 | Комбинированные уроки | 1 | | |
75 | Знаки синуса, косинуса и тангенса | 1 | Комбинированый урок | | | |
76 | Зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла | 1 | Комбинированные уроки | | | |
77 | Тригонометрические тождества | 1 | Урок объяснения нового материала | | | |
78 | Решение задач по теме «Тригонометрические тождества» | 1 | Уроки закрепления изученного, применения знаний и умений | 1 | | |
79 | Контрольная работа по теме «Основные тригонометрические формулы» | 1 | Урок контроля знаний и умений | | | |
80 | Анализ контрольной работы. Синус, косинус и тангенс углов α и –α. | 1 | Комбинированные уроки | | | |
81 | Формулы сложения | 1 | Урок объяснения нового материала | | | |
82, 83 | Решение задач по теме «Формулы сложения» | 2 | Урок закрепления изученного | | | |
84 | Синус, косинус и тангенс двойного угла | 1 | Урок объяснения нового материала | | | |
85,86 | Синус, косинус и тангенс двойного угла | 2 | Урок закрепления изученного, применения знаний и умений | 1 | | |
87 | Синус, косинус и тангенс половинного угла | 1 | Комбинированный урок | | | |
88 | Формулы приведения | 1 | Урок объяснения нового материала | | | |
89,90 | Решение задач по теме «Формулы приведения» | 2 | Уроки закрепления изученного. | | | |
91,92 | Сумма и разность синусов. Сумма и разность косинусов | 2 | Комбинированные уроки | 1 | | |
93,94 | Решение задач по теме «Тригонометрические формулы» | 2 | Урок обобщения и систематизации знаний и умений | | | |
95 | Контрольная работа №5 по теме «Тригонометрические формулы» | 1 | Урок контроля знаний и умений | | | |
96 | Анализ контрольной работы и работа над ошибками | 1 | Урок анализа контрольной работы | | | |
Глава 6 Тригонометрические уравнения (20 часов ) |
97 | Уравнение cos х=a | 1 | Урок объяснения нового материала | | | |
98,99 | Решение задач по теме «Уравнение cos х=a» | 2 | Урок закрепления изученного, применения знаний и | 1 | | |
100 | Уравнение sin х=a | 1 | Урок объяснения нового материала | | | |
101,102 | Решение задач по теме «Уравнение sin х=a» | 2 | Урок закрепления изученного, применения знаний и | 1 | | |
103,104 | Уравнение tg х=a | 2 | Урок объяснения нового материала , урок закрепления изученного | | | |
105,106 | Решение тригонометрических уравнений. Уравнения, сводящиеся к квадратным. | 2 | Урок объяснения нового материала | | | |
107,108 | Решение тригонометрических уравнений. | 2 | Комбинированные уроки | | | |
109,110 | Решение тригонометрических уравнений. | 2 | Комбинированные уроки | 1 | | |
111,112 | Простейшие тригонометрические неравенства | 2 | Комбинированный урок | | | |
113,114 | Решение задач по теме «Тригонометрические уравнения» | 2 | Урок обобщения и систематизации знаний и умений | | | |
115 | Контрольная работа №6 по теме «Тригонометрические уравнения» | 1 | Урок контроля знаний и умений | | | |
116 | Анализ контрольной работы и работа над ошибками | 1 | Урок анализа контрольной работы | | | |
Глава 7 Тригонометрические функции (13 часов ) | |
117,118, 119 | Область определения и множество значений тригонометрических функций | 3 | Комбинированные уроки | | | |
120, 121 | Чётность, нечётность, периодичность тригонометрических функций | 2 | Комбинированные уроки | 1 | | |
122,123 | Свойства функции y=cos x и её график | 2 | Комбинированные уроки | | | |
124,125 | Свойства функции y=sin x и её график | 2 | Комбинированные уроки | | | |
126,127 | Свойства функции y=tg x и её график | 2 | Комбинированные уроки | 1 | | |
128 | Решение задач по теме «Тригонометрические функции» | 1 | Урок закрепления изученного | | | |
129 | Контрольная работа №7по теме «Тригонометрические функции» | 1 | Урок контроля знаний и умений | | | |
130 | Анализ контрольной работы и работа над ошибками. | 1 | Урок анализа контрольной работы. | | | |
131,132, 133, 134, 135 | Повторение | 5 | Уроки обобщения и систематизации знаний и умений | 2 | | |
136 | Итоговая контрольная работа | 1 | Урок контроля знаний и умений | | | |
| Итого | 136 | | 22 | | |