Разработка интегрированного урока по алгебре и геометрии в 8 классе "Квадратичная функция"

Интегрированный урок алгебры и информатики в 8 классе.

Тема урока: «Квадратичная функция».

Цели урока:

- обобщить знания по теме «Функция y=ax²+bx+c, её свойства и график»;

- совершенствовать навыки работы с программой Excel;

- развивать мышление, умение применять полученные знания при решении задач различной направленности;

- воспитывать познавательный интерес к предмету.

Тип урока: интегрированный, обобщающий

Продолжительность: 45 минут

Место проведения: компьютерный класс

Оборудование:

- компьютеры с операционной системой Windows XP;

- программное обеспечение Microsoft Excel;

- мультимедийный проектор;

- экран.

План урока:

1. Организационный момент (2 мин)

2. Актуализация знаний учащихся (4 мин)

3. Проверка знаний в форме тестирования (7 мин)

4. Построение графиков квадратичной функции (7 мин)

5. Отчёт творческой группы (5 мин)

6. Решение прикладной задачи ( 15 мин)

7. Подведение итогов ( 3 мин)

8. Задание на дом (2 мин)

Ход урока

1. Организационный момент.

Объявление темы, целей и плана урока.

2. Актуализация знаний учащихся.

Устная работа по рисункам на слайдах презентации.

1. Найдите координаты вершины параболы y=x²+4x – 1

Ответ: (-2;-5)

2. Укажите множество значений функции y= -(x-7)² – 1

Ответ:

3. Укажите график функции

4

Ответ: 3

4. На рисунке изображён график функции

Определите знаки а, с и D

Ответ acD

3. Проверка знаний в форме тестирования.

А теперь, ребята, вам предстоит выполнить на компьютерах небольшой тест.

(Предлагаются задания на 2 варианта, но количество вариантов, безусловно, можно увеличить.)

Вариант 1

1. Какая из функций является квадратичной?

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5)

2. Найдите нули функции

1) Нулей нет; 2) -1 и 0; 3)1 и ; 4) – 1 и ; 5) 3 и 2

3. Найдите координаты точек пересечения параболы и прямой

1) (1;1) и ; 2) (1;1) и ; 3) (1;1) и ;

4) (-1;1) и ; 5) (-1;1) и ;

4. Найдите сумму наибольшего и наименьшего значений функции

y ;

1) 4; 2) 5; 3) 1; 4) -2; 5) другой ответ

5. Найдите область значений функции

1) определить нельзя; 2) ; 3) 4) ; 5)

Вариант 2

1. Какая из функций не является квадратичной?

1) 2) ; 3) 4) 5)

2. Найдите нули функции

1) -1 и - 2) нулей нет; 3) 0 и 1; 4) 1 и 5) -3 и -2.

3. Найдите координаты точек пересечения параболы и прямой

1) (1; -1) и ; 2) (1; -1) и ; 3) (-1; -1) и ;

4) (1; -1) и ; 5) (-1; -1) и ;

4. Найдите сумму наибольшего и наименьшего значений функции

,

1) -8; 2) -2; 3) -10; 4) 6; 5) другой ответ.

5. Найдите область значения функции

1) ; 2) ; 3) определить нельзя;

4) ; 5) ;

4. Построение графиков квадратичной функции (задача- исследование).

Следующее задание мы снова будем выполнять с помощью компьютеров.

Требуется построить график заданной функции, указать её свойства.

На индивидуальных карточках обучающиеся получают задания с указанием функции.

1.

2.

3.

4)

5)

Выслушиваются выборочно ответы.

На экран выводятся графики предложенных функций. Замечаем, что записи функций отличаются только значением b.

Учащимся предлагается, проявив наблюдательность, установить, как изменяется график квадратичной функции в зависимости от значения b.

При b=0 , графиком является парабола вершиной в точке (0;4), симметричная относительно оси у.

С изменением b вершины парабол смещаются, но все графики проходят через точку (0;4).

Если b0, то с увеличением b вершина смещается влево и вниз; если bb| вершина смещается вправо и вниз.

5. Отчёт творческой группы.

Оказывается, с параболой можно встретиться не только на уроках математики.

Уравнение координаты тела, движущегося под действием постоянной силы имеет вид ; зависимость кинетической энергии от скорости ;

электрической мощности от тока

При вращении сосуда с жидкостью вокруг вертикальной оси поверхность жидкости в сосуде и вертикальная плоскость пересекаются по параболе.

Падение баскетбольного мяча происходит также по параболе

Форма параболы иногда используется в архитектуре для строительства крыш и куполов.

Я предоставляю слово творческой группе для рассказа о параболе в школьном курсе физики.

Примерная структура отсчёта.

Вторая космическая скорость у поверхности Земли равна 11,18 км/с. Эту скорость называют также параболической, так как при такой скорости тело будет двигаться вокруг Земли по параболической траектории (орбите).

Тонкая струя, выходящая сбоку из наполненного жидкого сосуда, принимает форму параболы.

При помещении в фокус параболического зеркала источника света небольших размеров зеркало отражает свет в виде параллельного пучка. Параболическое зеркало находит применение в прожекторах, телескопах, рупорно-параболических антеннах.

6. Решение прикладной задачи

Следующая задача позволит вам побыть в роли детектива.

Задача. Водитель автомобиля «Opel Vectra», двигавшегося ночью по крайней правой полосе загородного шоссе, совершил наезд на стоявший у обочины трактор. Автомобиль двигался со скоро­стью 90 м/ч с ближним светом фар. Водитель ут­верждает, что применил экстренное торможение, но остановиться не успел. Эксперту задан вопрос: «Имел ли водитель автомобиля возможность избе­жать столкновения, применив экстренное тормо­жение?»

С условием ученики были ознакомлены на прошлом уроке, на этом уроке обсуждаются результаты «расследования».

В этой задаче рас­сматривается часто встречающаяся в экспертной практике ситуация — участник ДТП применяет торможение. Но установить, производилось ли тор­можение, по наличию тормозного следа невозмож­но, так как автомобиль «Opel Vectra» оснащен ан­тиблокировочной системой (устройством, препят­ствующим блокировке колес и вхождению автомо­биля в юз). Возможность избежать столкновения в данной ситуации определяется дальностью света фар автомобиля «Opel Vectra» и длиной остановоч­ного пути.

Решение. Сформулируем вопрос эксперту на языке физики: «На каком расстоянии автомобиль при экстренном торможении, т.е. при максималь­но возможном ускорении, может снизить скорость с 90 км/ч до 0? Больше или меньше это рассто­яние того, на котором водитель имел возможность увидеть препятствие — стоящий у обочины трак­тор?»

Выберем физическую модель движения автомо­биля во время торможения — равноускоренное дви­жение. Обратим внимание учащихся на то, что водитель не может начать торможение в тот же момент, когда он заметил опасность. С момента, когда опасность обнаружена, и до момента, когда нога водителя нажала на педаль, проходит время, называемое временем реакции (t_p). Время реак­ции зависит от многих причин: от того, насколько неожиданной была для водителя опасность, от его психофизиологических особенностей, уровня ква­лификации, времени суток, дорожной ситуации. Обычно в расчетах используют среднее значение времени реакции, равное 0,8 с. Для того чтобы полностью нажать на педаль и чтобы усилие пере­далось с педали на тормозные колодки, также тре­буется время, в течение которого тормозящая сила и вместе с нею ускорение (замедление) постепенно нарастают. Это время называется временем нарас­тания тормозного усилия (t_H). Оно также зависит от многого: от конструкции тормозной системы, качества и состояния дорожного покрытия. В технических расчетах обычно считают, что движение автомобиля начинает замедляться только после полного срабатывания тормозов. Для тормозных систем с гидравлическим приводом время нараста­ния тормозного усилия берется равным 0,2 с.

Таким образом, обнаруживается, что выбранная модель движения нуждается в уточнении. Во вре­мя, складывающееся из времени реакции и време­ни нарастания тормозного усилия, движение авто­мобиля можно считать равномерным. При этом он прошел путь s, за время t_p + t_H и имел скорость v₀. После срабатывания тормозов, с момента, когда тормозное усилие достигает максимума, движение автомобиля было равноускоренным с отрицатель­ным ускорением. А пройденный путь равнялся s_T.

Записываем уравнения равномерного и равноус­коренного движений (обращаем внимание на фи­зический смысл знака «—» во втором уравнении):

Уравнение пути, пройденного автомобилем с момента обнаружения водителем опасности до момента остановки:

(1)

Этот путь носит название остановочного пути, t — время, прошедшее с момента полного срабатыва­ния тормозов до момента остановки автомобиля.

Выясняем, какие данные необходимы для расче­та остановочного пути. Ускорение (замедление) находят в справочнике: а = 6,5 м/с², из условия задачи v₀ = 90 км/ч, t = 0,8 с, t_H = 0,2 с, а для определения времени торможения составим еще одно уравнение — изменения скорости в зависимо­сти от времени при равноускоренном движении:

v = v₀ - at. (2)

Из уравнения (2) имеем . Для вычислений приведем все данные к одной системе изме­рений:

v₀ = 90 км/ч = 25 м/с, v = 0 (в результате тор­можения автомобиль останавливается), тогда =3,8(c). Из уравнения (1) имеем

Сравнив длину остановочного пути с расстоя­нием, на котором водитель мог обнаружить пре­пятствие, т.е. с дальностью света фар, составляю­щей 30 м при ближнем свете, формулируем вы­вод: «В сложившейся ситуации водитель не мог избежать наезда с помощью торможения».

Рассмотрим графическую иллюстрацию решения данной задачи. Выяснив, что остановочный путь и время остановки после срабатывания тормозов свя­заны квадратичной зависимостью, воспользуемся графиком квадратичной функции у = Ах² + Вх + С, вид которой аналогичен виду уравнения

Независимой переменной в этом случае являет­ся время, отсчитываемое от момента срабатывания тормозной системы — момента начала снижения скорости; коэффициент А равен , коэффици­ент В равен v₀, роль параметра С играет слага­емое v₀(t_p+t_c), постоянное для каждого конкрет­ного случая (конкретной скорости движения авто­мобиля, конкретного водителя и конкретной тор­мозной системы); функция у = s(t) — пройденный путь с момента начала отсчета.

График изобразим схематически (рис. 4), оп­ределяя по значениям коэффициентов направ­ление ветвей параболы, точки пересечения кри­вой с координатными осями и абсциссу верши­ны параболы.

Рис. 4

Обратим внимание, что математическая модель в данном случае соответствует физической реаль­ности только на отрезке значений аргумента. Поскольку время не может быть отрицательным, не имеет физического смысла часть кри­вой, лежащая слева от оси ординат. А путь, прой­денный телом, не может со временем уменьшать­ся, поэтому не имеет физического смысла и та часть кривой, которая соответствует значениям .
Эти части параболы на рисунке выделены пунктирной линией. При достижении времени абсцисса вершины параболы) скорость автомобиля становится равной 0, движение прекращается, и пройденное расстояние в этот момент времени бу­дет равно длине остановочного пути.

Подставив данные задачи в построенную модель, получим уравнение

.

Так как абсцисса вершины параболы t = 3,8, находим ординату вершины у 73. Остановочный путь равен 73 м.

Полученный результат позволяет сделать тот же самый вывод: «В сложившейся ситуации водитель не мог избежать наезда с помощью торможения».

7. Подведение итогов. Рефлексия.

Учащимся предлагается завершить фразу

1. На уроке я узнал…

2. Было интересно…

3. Я понял, что…

4. Было трудно…

8. Задание на дом (раздать ученикам в распечатанном виде на карточках).

Мячик падает с высоты 20м, начальная скорость его равна нулю.

1) Запишите уравнение, которое задаёт соотношение между высотой h (в м) мячика над землёй и временем падения е (в сек).

2) Начертите график зависимости высоты от времени падения (возьмите удобный масштаб по осям).

3) определите по графику:

а) сколько времени будет падать мячик;

б) когда он падает быстрее – в первую секунду или во вторую;

в) на каком расстоянии от земли окажется мячик через 1,5 сек.

Литература

1. Математика. Тренировочные упражнения за курс 7-11 класса / Под редакцией Ф.Ф.Лысенко, С.Ю.Кулабухова .-Ростов-на-Дону: Легион-М, 2010.

2. Семенко Е.А. Прикладные курсы разных направлений // Математика в школе.-2005.-№4

3. Сычёва Е.И., Сычёв А.В. Тесты по алгебре для 8 класса // Математика в школе.-2005.-№9

Квадратичная функция

Интегрированный урок алгебры и информатики в 8 классе.

1. Найдите координаты вершины параболы y=x 2 +4x – 1

Ответ: (-2;-5)

2.Укажите множество значений функции y= -(x-7) 2 – 1

Ответ: (-∞;-1]

3. Укажите график функции

2

1

3

4

Ответ: 3

4. На рисунке изображён график функции

Ответ: a

y

x

Уравнение координаты тела, движущегося под действием постоянной силы имеет вид ;

зависимость кинетической энергии от скорости

;

электрической мощности от тока

При вращении сосуда с жидкостью вокруг вертикальной оси поверхность жидкости в сосуде и вертикальная плоскость пересекаются по параболе.

Падение баскетбольного мяча происходит по параболе

Вторая космическая скорость у поверхности Земли равна 11,18 км/с. Эту скорость называют также параболической, так как при такой скорости тело будет двигаться вокруг Земли по параболической траектории (орбите).

Тонкая струя, выходящая сбоку из наполненного жидкого сосуда, принимает форму параболы.

При помещении в фокус параболического зеркала источника света небольших размеров зеркало отражает свет в виде параллельного пучка. Параболическое зеркало находит применение в прожекторах, телескопах, рупорно-параболических антеннах.

1. На уроке я узнал…

2. Было интересно…

3. Я понял, что…

4. Было трудно…

Использованы материалы сайта

http :// ru.wikipedia.org

Программа для проведения теста

http:// mytest.klyaksa.net/htm/download/index.htm