Разработка открытого практического занятия:СВОЙСТВА АРИФМЕТИЧЕСКОГО КВАДРАТНОГО КОРНЯ

открытого урока по теме:

«Решение системы линейных уравнений на смеси и сплавы.

Подготовка к ОГЭ»

Разработала

учитель математики

Билецкая Светлана Васильевна

Урок «Решение текстовых задач на смеси и сплавы».

Если хотите научиться плавать,
то смело входите в воду, а если хотите
научиться решать задачи, то решайте их.
Дьёрдь Пойа

Дисциплина: математика

Тема раздела: элементы линейной алгебры

Тема урока: Решение систем уравнений на смеси и сплавы. Подготовка к ОГЭ

Тип урока: обобщающий урок

Вид урока: урок обобщения и систематизация знаний

Класс 9

Цели:

Образовательные:

• Создание условий для систематизации, обобщения и углубления знаний учащихся при решении текстовых задач.

• Повышение практической направленности предмета через решение практических задач.

Воспитательные:

• Формирование математической грамотности учащихся.

Развивающие:

• Развитие навыков логического, творческого мышления, сообразительности и наблюдательности.

Оборудование:

• Раздаточный материал;

• компьютерная презентация в программе Power Point;

• мультимедиапроектор;

• ПК;

• экран.

• Презентация 1 слайд 1

• Итак, ребята, сегодня на уроке мы с вами рассмотрим задачи, решение которых связано с понятиями «концентрация», «процентное содержание». В условиях таких задач речь идет, чаще всего, о сплавлении каких-либо металлов, растворении друг в друге различных веществ или переливании жидкостей, состоящих из нескольких компонентов. Эти задачи входят в различные сборники заданий по подготовке к итоговой аттестации по математике за курс основной школы и включаются в варианты ЕГЭ. Презентация 1 слайд 5

• 

• Долей (концентрацией, процентным содержанием) α основного вещества в смеси будем называть отношение массы основного вещества m в смеси к общей массе смеси M:

• 

• Эта величина может быть выражена либо в долях единицы, либо в процентах. В большинстве случаев задачи на смеси и сплавы становятся нагляднее, если при их решении использовать схемы, рисунки, таблицы. Современные психологи утверждают, что решение одной задачи несколькими способами часто бывает более полезным, чем решение одним способом нескольких задач.

• Поэтому мы с вами рассмотрим несколько способов решения задач на смеси и сплавы.
  Презентация 1 слайд 6

• I. Рассмотрим решения задач с применением таблицы.

• Таблица для решения задач имеет вид.

• Презентация 1 слайд 7

  Наименование веществ, растворов, смесей, сплавов	% содержание вещества (доля содержания вещества)	Масса раствора (смеси, сплава)	Масса вещества

• Презентация 1 слайд 8

• Задача №1 Имеется два сплава меди и свинца. Один сплав содержит 15% меди, а другой 65% меди. Сколько нужно взять каждого сплава, чтобы получилось 200г сплава, содержащего 30% меди?

• Наименование веществ, растворов, смесей, сплавов	% содержание меди (доля содержания вещества)	Масса раствора (смеси, сплава)	Масса вещества
  Первый сплав	15%=0,15	хг	0,15*х
  Второй раствор	65%=0,65	(200 – х)г	0,65*(200–х)=130–0,65х
  Получившийся раствор	30%=0,3	200 г	200*0,3=60

• Сумма масс меди в двух первых сплавах (то есть в первых двух строчках) равна массе меди в полученном сплаве (третья строка таблицы):

• 

• Решив это уравнение, получаем х=140. При этом значении х выражение
  200 – х=60. Это означает, что первого сплава надо взять140г, а второго 60г.

• Ответ:140г. 60г.

• Презентация 1 слайд 9-10

• II. Рассмотрим решение этой же задачи с помощью следующей модели. Изобразим каждый из растворов в виде прямоугольника, разбитого на два фрагмента (по числу составляющих элементов). Для того, чтобы показать, что происходит смешивание веществ поставим знак «+» между первым и вторым прямоугольниками, а знак «=» между вторым и третьим прямоугольниками показывает, что третий раствор получен в результате смешивания первых двух. Полученная схема имеет следующий вид:

• 

• Рассматриваемый в задаче процесс можно представить в виде следующей модели- схемы:

• медь

  медь

  медь

  

• 65%

  =

  +

  30%

  15%

• 200г

• Решение.презен1 слайд 16

• Пусть хг – масса первого сплава. Тогда, (200-х)г – масса второго сплава. Дополним последнюю схему этими выражениями. Получим следующую схему:

• 

• Сумма масс меди в двух первых сплавах (то есть слева от знака равенства) равна массе меди в полученном третьем сплаве (справа от знака равенства):

• 

• Решив это уравнение, получаем х=140. При этом значении х выражение 200-х=60. Это означает, что первого сплава надо взять140г, а второго-60г.

• Ответ:140г. 60г.

• 

• III. Старинный способ решения задач на смеси, сплавы и растворы. Впервые о нем было упомянуто в первом печатном учебнике математики Леонтия Магницкого.

• Ввиду большой простоты предложенный способ применялся купцами и ремесленниками при решении различных практических задач. Но в задачниках и различных руководствах для мастеров и торговцев никаких обоснований и разъяснений не приводилось. Просто давался рецепт решения: либо, как в предыдущей задаче, рисовалась схема, либо словесно описывалась последовательность действий — поступай так и получишь ответ.

• Дополнительно - по желанию Теория метода.

• (рассматривается только в профильном классе или в классе с достаточным уровнем подготовки)

• М₁ – масса первого раствора

• α₁ концентрация первого раствора

• М₂ – масса второго раствора

• α₂ концентрация второго раствора

• М₁+ М₂ – масса конечного раствора

• α₃ - концентрация конечного раствора

• α_{1 3 2}

• m₁ = α₁ М₁ – масса основного вещества в первом растворе

• m₂ = α₂ М₂ – масса основного вещества во втором растворе

• m₃ = α₃ (М₁+М₂) – масса основного вещества в конечном растворе

• с другой стороны m₃ = m₁+ m_2, получаем

• α₃ (М₁+М₂) = α₁ М₁ + α₂ М₂;

• α₃ М₁ + α₃ М₂ = α₁ М₁ + α₂ М₂;

• α₃ М₁ – α₁ М₁ = α₂ М₂ – α₃ М₂;

• М₁( α₃ – α₁) = М₂( α₂ – α₃);

• 
  
  

• Задача №2 (смешивание двух веществ, предлагалась на экзамене в 2006 году). Имеется два сплава с разным содержанием золота. В первом сплаве содержится 35%, а во втором 60% золота. В каком отношении надо взять первый и второй сплавы, чтобы получить из них новый сплав, содержащий 40% золота?

• Задача №3 (8.21 Сборник для подготовки к ГИА под ред. Л.В.Кузнецовой) Влажность свежих грибов 90%, а сухих 15%. Сколько сухих грибов получится из 1,7 кг свежих?

• Задача №4. Имеется склянка 20%-го раствора кислоты и склянка 40%-го раствора кислоты. Смешали 200 г раствора из первой склянки и 300 г из второй. Определите массу кислоты и её концентрацию.

• Задача №5. Имеется два раствора поваренной соли разной концентрации. Если слить вместе 100г первого раствора и 200 г второго, то получится 50% раствор. Если слить 300 г первого раствора и 200 г второго, то получится 42% раствор. Определить концентрации первого и второго растворов.

• Задача №6 (для самостоятельного решения) (Сборник заданий для подготовки к государственной итоговой аттестации в 9 классе, 8.22). Сколько граммов воды нужно добавить к 180 г сиропа, содержащего 25% сахара, чтобы получить сироп, концентрация которого равна 20%?

• Первый способ:

• Наименование веществ, растворов, смесей, сплавов	% содержание вещества (доля содержания вещества)	Масса раствора (смеси, сплава)	Масса вещества
  Сироп	25%=0,25	180 г.	0,25180=45 (г.)
  Вода	0%	х г.	-
  Новый сироп	20%=0,2	(180+х) г.	0,2(180+х)=36+0,2х (г.)

• 45 = 36 + 0,2х;

• 0,2х = 9;

• х=45.

• Ответ: 45 г.

• Второй способ:

• 

  вода

  сахар

  сахар

  вода

  вода

• 180 г.

• 0,75180+х=0,8(180+х);

• 135+х=144+0,8х;

• 0,2х=9;

• х=45.
  Ответ: 45 г.

• Третий способ.

• Дополнительные задачи:

• Задача №5. Смешали некоторое количество 12% раствора соляной кислоты с таким же количеством 20 % раствора этой же кислоты. Найти концентрацию получившейся соляной кислоты. Ответ: 16 %.

• Задача №6. В 4кг сплава меди и олова содержится 40% олова. Сколько килограммов олова надо добавить к этому сплаву, чтобы его процентное содержание в новом сплаве стало равным 70%? Ответ:4кг.

• Подведение итогов урока.

• Выставление оценок

• Домашнее задание

• Морская вода содержит 5% соли по массе. Сколько пресной воды нужно добавить к 30 кг морской воды, чтобы концентрация соли составляла 1,5%?

• Литература :

• 1.Галицкий М.Л. Сборник задач по алгебре

• 2. Алгебра : сб. заданий для подгот. к гос. итоговой аттестации в 9кл. /[Л.В.Кузнецова, С.Б.Суворова, Е.А.Бунимович и др.].

• 3.Алгебра 9-й класс. Подготовка к государственной итоговой аттестации : учебно –методическое пособие /Под ред. Ф.Ф. Лысенко – Ростов-на-Дону: Легион-М.,

• 4.Сикорский К.П. Дополнительные главы по курсу математики 7-8 классов для

• факультативных занятий.

• Дидактические материалы для тренировки: