Разработка проекта по теме: "Арифметическая и геометрическая прогрессии"

МБОУ Чупалейская ОШ

Проект:

“Арифметическая и геометрическая прогрессии”

Выполнил – ученик 9 кл. Сливин Максим

Руководитель – учитель математики Воронина В.А.

2019 г.

Прогрессия — последовательность величин, каждая последующая из них находится в некоторой, общей для всей прогрессии, зависимости от предыдущей.

 

Арифметическая прогрессия.

Арифметическая прогрессия - это ряд чисел, в котором все член получаются из предыдущего методом добавления к нему 1-го и того же числа d, которое называется разностью арифметической прогрессии.

Или другими словами: арифметическая прогрессия — численная последовательность, которая имеет вид:

 

,

 

т.е. последовательность чисел (членов прогрессии), в которой числа, начиная со 2-го, получаются из предыдущего путем добавления к нему постоянного числа  (шаг либо разность прогрессии):

 

 

Всякий (n-й) член прогрессии можно вычислить с помощью формулы общего члена:

 

 

Арифметическая прогрессия - это монотонная последовательность. При  она возрастает, а при  — убывает. Если , то последовательность - стационарная. Это следуют из соотношения  для членов арифметической прогрессии.

 

Свойства арифметической прогрессии.

1. Общий член арифметической прогрессии.

Член арифметической прогрессии с номером  можно найти с помощью формулы:

 

,

 

 где  — 1-й член прогрессии,  — разность прогрессии.

 

2. Характеристическое свойство арифметической прогрессии.

Последовательность   - это арифметическая прогрессия  для элементов этой прогрессии выполняется условие:

 

.

 

3. Сумма 1-х  членов арифметической прогрессии.

Сумму 1-х   членов арифметической прогрессии  можно найти с помощью формул:

 

,

где  — 1-й член прогрессии, 

 — член с номером , 

 — число суммируемых членов.

,

где  — 1-й член прогрессии, 

 — разность прогрессии, 

 — число суммируемых членов.

4. Сходимость арифметической прогрессии.

Арифметическая прогрессия  является расходящейся при  и сходящейся при . При этом:

 

 

5. Связь между арифметической и геометрической прогрессиями.

Есть  — арифметическая прогрессия с разностью , где число . Тогда последовательность, которая имеет вид  является геометрической прогрессией, имеющей знаменатель .

 

Примеры арифметических прогрессий.

1. Натуральный ряд 1, 2, 3, 4, 5,… является арифметической прогрессией, в которой 1-й член , а разность .

1, -1, -3, -5, -7 — первые пять членов арифметической прогрессии, в которой  и .

2. Если каждый элемент некоторой последовательности имеет такую же величину, как и остальные элементы этой системы и равен некоторому числу , тогда это является арифметической прогрессией, в которой  и . В частности,  является арифметической прогрессией с разностью .

3. Сумма 1-х  натуральных чисел выражают формулой:

 

.

 

Геометрическая прогрессия.

Геометрическая прогрессия — это последовательность чисел  (членов прогрессии), в которой каждое число, начиная со 2-го, получают из предыдущего путем умножения его на определённое число  (знаменатель прогрессии), где , : .

Или другими словами: геометрическая прогрессия - это численная последовательность, каждое из чисел равняется предыдущему, умноженному на определенное постоянное число q для данной прогрессии, которое называется знаменателем геометрической прогрессии.

 

Каждый член геометрической прогрессии можно вычислить при помощи формулы:

 

 

Когда  и , значит, прогрессия возрастает , когда , значит, прогрессия убывает, а при  — знакочередуется.

 

Название геометрическая прогрессия взяла из своего характеристического свойства:

 

 

т.е. все члены равны среднему геометрическому их соседей.

 

Свойства геометрической прогрессии.

1. Логарифмы членов геометрической прогрессии (если они определены) образуют арифметическую прогрессию:

 

 

2. Произведение 1-х n членов геометрической прогрессии рассчитывают при помощи формулы:

 

,

 

3. Произведение элементов геометрической прогрессии, начиная с k-ого члена, и заканчивая n-ым членом, рассчитывают при помощи формулы:

 

 

4. Сумма n 1-х членов геометрической прогрессии:

 

 

5. Если , то  при , и при .

 

Примеры геометрических прогрессий.

1. Последовательность площадей квадратов, в которой каждый последующий квадрат получают соединением середин сторон предыдущего — геометрическая прогрессия со знаменателем ½, не имеющая предела. Площади образующихся на каждом этапе треугольников тоже образуют нескончаемую геометрическую прогрессию со знаменателем ½, сумма которой равняется площади начального квадрата.

2. Последовательность числа зёрен на клетках в задаче о зёрнах на шахматной доске.

3. 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, 8192 — прогрессия со знаменателем 2 из 13 членов.

4. 50; −25; 12,5; −6,25; 3,125; … — нескончаемо убывающая прогрессия со знаменателем -½.

5.  — геометрическая прогрессия со знаменателем равным единице (и арифметическая прогрессия с шагом 0).

 

И как заключение:

Арифметическая прогрессия, формулы.

Формула n-го члена:

Формулы суммы n первых членов:

 

Геометрическая прогрессия, формулы.

Формула n-го члена:

Формулы суммы n первых членов:

Сумма бесконечной прогрессии:

Практическая часть:

№1

Дано: аn=-4,1 + 9,1n

Найти: a15

Решение: аn=-4,1 + 9,1n;

a15=-4,1 + 9,1*15=132,4

Ответ: a15=132,4

№2

Дано: a1=7; a7=-5

Найти: d

Решение: an= a1 + (n-1)*d;

a7= a1 + (7-1)*d;

7 + (7-1)*d=-5;

6d=-5-7;

6d=-12; d=-12:6; d=-2

Ответ: d=-2

№3

Дано: a10=4;d=0,5

Найти: a1

Решение: an= a1 + (n-1)*d;

a10= a1 + (10 – 1)*d;

a1 + (10 -1)*0,5=4; a1 + 4,5=4; a1=4-4,5;

a1=-0,5

Ответ: a1=-0,5

№4

Дано: a1=-2; a5=-6; an=-40

Найти: n

Решение: an= a1 + (n-1)*d;

a5= a1 + (5 – 1)*d;

-2 + (5 – 1)*d=-6;

4d=-6+2;

4d=-4;

d=-4:4;

d=-1; an= a1 + (n-1)*d;

-2 + (n – 1)*(-1)=-40;

-n + 1 – 2=-40;

-n=-40-1+2;

-n=-39ǀ*(-1);

n=39

Ответ: n=39

№5

Дано: bn + 1=-bn/2; b1=1024

Найти: S10

Решение: bn + 1=-bn/2;

n=1; b1 + 1=-b1/2;

b2=-1024/2;

b2=-512;

q= b2 : b1;

q= -512 : 1024;

q=-0,5;

bn=b1*q^n-1;

b10=11024*(-0,5)^10-1;

b10=1024*(-0,001953125);

b10=-2;

Sn= b1*(1 – q^n)/(1 – q);

S10= 1024*(1 – (-0,5)^10/(1 – (-0,5));

S10= 1023/1,5;

S10=682

Ответ: S10=682

№6

Дано: 2,12,22-А.П.

Найти:S5

Решение: d=a2 - a1;

d=12 – 2;

d=10;

an=a1 + (n – 1)*d;

a5=2 + (5 – 1)*10;

a5=2 + 40;

a5=42;

Sn= (a1 + an)/2*n;

S5=(2 + 42)/2*5;

S5=22*5;

S5=110

Ответ: S5=110

№7

Дано: a3=25; a10=-3

Найти: d; a1

Решение: an=a1 + (n – 1)*d;

25=a1 + (3 – 1)*d

-3= a1 + (10 – 1)*d

_{25=a1 + 2*d;

{-3= a1 + 9*d;

-28=7d;

d=-28 : 7;

d=-4;

25=a1 + 2*d;

25= a1 + (-8)

a1=25 + 8;

a1=33

Ответ: d=-4;a1=33

№8

Дано: b1=12; S3=372

Найти:q

Решение: Sn= b1*(1 – q^n)/(1 – q);

372= 12*(1 – q^3)/(1 – q);

1^3=31*(1 – q);

(q – 3)*(1 + q + q^2)=31*(q – 1);

q^2 + q – 30=0;

D=1 + 4*30=121;

q1,2=-1 ± 11/2;

q1=-6; q2=5

Ответ: q1=-6; q2=5

№9

Дано: S7=-35; S42=-1680; Г.П.

Найти: d; a1

Решение: Sn= a1 + an/2*n;

S7= a1 + a7/2*7= a1 + a1 + 6d/2*7= 2*a1 + 6d/2*7= (a1 + 3d)*7;

S42= a1 + a42/2*42= a1 + a1 + 41d/2*42= 2*a1 + 41d/2*42=(2a1 + 41d)*21;

{(a1 + 3d)*7=-35ǀ :7

{(2a1 + 41d)*21=-1680ǀ :21

{(a1 + 3d)=-5ǀ

{(2a1 + 41d)=-80

{a1 + 3d=-5

{2a1 + 41d=-80

a1 + 3d=-5; a1=-3d-5;

2*(-3d-5) + 41d=-80;

-6d – 10 + 41d=-80;

35d=-70;

d=-70:35;

d= -2;

a1=-5-3*(-2);

a1=1

Ответ: d= -2; a1=1

№10

Дано: b1=0,5; q=2; n=6; Г.П.

Найти: Sn

Решение: Sn= b1*(1 – q^n)/(1 – q);

S6= 0,5*(1 – 2^6)/(1 – 2)= -31,5/(-1)=31,5

Ответ: S6=31,5

№11

Дано: Sn=189; b1=3; q=2; Г.П.

Найти: n

Решение: Sn= b1*(1 – q^n)/(1 – q);

189= 3*(1 – 2^n)/(1 – 2);

-63=1-2^n;

-2^n=-64ǀ:(-1);

2^n=64;

2^n=2^6

n=6;

Ответ:n=6

№12

Дано: bn=-300*(0,2)^n

Найти: b4

Решение: bn=-300*(0,2)^n;

b4=-300*(0,2)^4;

b4=-0,48

Ответ: b4=-0,48