Разработки уроков по теме "ТЕОРЕМА ПИФАГОРА"

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

ЛУГАНСКОЙ НАРОДНОЙ РЕСПУБЛИКИ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ЛУГАНСКОЙ НАРОДНОЙ РЕСПУБЛИКИ

«НАУЧНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ ЦЕНТР РАЗВИТИЯ ОБРАЗОВАНИЯ

ЛУГАНСКОЙ НАРОДНОЙ РЕСПУБЛИКИ»

Отдел методики преподавания

учебных дисциплин

МАСТЕРСКАЯ ТЕОРЕМЫ ПИФАГОРА

ТВОРЧЕСКИЙ ПРОЕКТ

Максимовой Ларисы Яковлевны,

слушателя курсов повышения квалификации учителей математики,

учителя ГОУ ЛНР «Краснодонская городская гимназия»

Краснодон

2017

Пояснительная записка

Трудно найти человека, у которого имя Пифагор не ассоциировалась бы с его теоремой.

Пожалуй, даже те, кто в своей жизни навсегда распрощался а математикой, сохраняют воспоминания о «Пифагоровых штанах». Причина такой популярности теоремы Пифагора триедина: это простота – красота – значимость. В самом деле, теорема Пифагора проста, но не очевидна. Это сочетание двух противоречивых начал придает ей особую притягательную силу, делает ее более красивой.

На изучение темы «Теорема Пифагора» геометрии 8 класса по программе отводится не более 4 часов. А тема настолько увлекательна, интересна, широкая по спектру применения в курсе естественно-научных дисциплин, что нею хочется заинтересовать и увлечь каждого ученика на уроках геометрии.

Поэтому основная задача на уроках геометрии – это в относительно небольшой промежуток времени охватить достаточно обширный интервал, который обеспечил бы эмоциональное включение учащихся в урок и создал условия для организации деятельности учащихся на различном уровне сложности.

Целью моей работы является:

- углубление, расширение математических знаний по теореме Пифагора;

- расширение круга геометрических задач, решаемых школьниками;

- осуществление межпредметной связи геометрии с алгеброй, географией, историей;

- формирование представления о математике как части общечеловеческой культуры.

Теорема Пифагора имеет огромное значение: она применяется в геометрии буквально на каждом шагу, и тот факт, что существует сотни различных доказательств этой теоремы свидетельствует о гигантском числе её конкретных реализаций. Теорема Пифагора – это документ, основа всех математических вычислений, расчетов и многих изобретений.

Считаю, что данная теорема до сих пор актуальна, т.к. находит свое применение во многих отраслях науки и жизнедеятельности всего человека.

Данные разработки в 8-х классах станут дополнительным фактором формирования положительной мотивации в изучении геометрии, а также понимания учащимися практического применения теоремы Пифагора.

«Мастерская теоремы Пифагора» поможет сформировать аппарат решение прямоугольных треугольников, необходимый для вычисления элементов геометрических фигур на плоскости и в пространстве, и ориентирована на применение в 8-х классах.

Уроки 1-2

Мастерская теоремы Пифагора

Цель: изучить некоторые исторические сведения о Пифагоре и его теореме.

Доказать теорему Пифагора и отрабатывать умения и навыки применения данной теоремы к решению задач.

Показать практическое применение теоретического материала при

решении прикладных задач.

Способствовать развитию речи, познавательного интереса и

творческого мышления.

На примере жизни Пифагора воспитывать требовательность к себе,

добросовестность и трудолюбие.

Воспитывать отношение к математике, как к части общечеловеческой

культуры.

Оборудование: портрет Пифагора; пентаграммы с иголками; карта

Средиземного моря; карточки с заданием на дом.

Ход урока:

I. Математическая разминка

Доказать: КМNР - квадрат.

II. Сказка «Дом»

«Далеко-далеко, куда не летают даже самолеты, находится страна Геометрия. В этой необычной стране был один удивительный город Теорем. Однажды в этот город пришла красивая девочка по имени Гипотенуза. Она попробовала снять комнату, но куда бы она ни обращалась, ей всюду отказывали. Наконец она подошла к покосившемуся домику и постучала. Ей открыл мужчина, назвавший себя Прямым Углом, и он предложил Гипотенузе поселиться у него.

Гипотенуза осталась в доме, в котором жили Прямой Угол и два его маленьких сына по имени Катеты. С тех пор жизнь в доме Прямого Угла пошла по-новому. На окошке Гипотенуза посадила цветы, а в палисаднике развела красные розы. Дом принял форму прямоугольного треугольника. Обоим катетам Гипотенуза очень понравилась и они попросили ее остаться навсегда в их доме. По вечерам эта дружная семья собирается за семейным столом. Иногда Прямой Угол играет со своими детишками в прятки. Чаще всего искать приходиться ему, а Гипотенуза прячется так искусно, что найти ее бывает очень трудно.

Однажды во время игры Прямой Угол подметил интересное свойство: если ему удается найти катеты, то отыскать Гипотенузу не составляет труда. Так Прямой Угол пользуется этой закономерностью, надо сказать, очень успешно. На свойстве этого прямоугольного треугольника и основана теорема Пифагора».

Нарисуйте прямоугольный треугольник, обозначьте его стороны а, b, с.

III. Работа в парах. 5-7 минут обсуждение вопросов:

• Почему сумма катетов больше гипотенузы?

• Почему прямоугольный треугольник не может быть равносторонним?

• Остается ли треугольник прямоугольным, если увеличить или уменьшить одну из его сторон?

• Может ли катет быть длиннее гипотенузы?

• Любые ли три отрезка могут быть сторонами прямоугольного треугольника?

• Можно ли, зная длину одной стороны, имея один отрезок, построить прямоугольный треугольник?

• Можно ли в прямоугольном треугольнике, зная длину двух сторон, найти третью?

IV. А чтобы ответить на последний вопрос, нам придется, используя машину времени, совершить путешествие на остров Самос, расположенный в Эгейском море. Мы узнаем, чем интересен этот остров и какие «математические события» там происходили. Путешествовать будем на сверхскоростном самолёте, ведь время у нас ограничено - 40 минут. Итак, в путь. Наш самолёт находится на высоте 6км. На земле мы проделали расстояние тоже 6км. Какой путь пролетел самолёт в воздухе с момента взлёта?

а)

6 км

Решение задачи в четвёрках. Через 3-4 минуты обсуждение на доске.

V. А если самолёт на высоте 8 км, на земле мы преодолели 6 км, какой путь пролетел самолёт в воздухе с момента взлёта?

Обсуждение в четвёрках.

VI. Сформулируем задачу в общем виде: известны катеты прямоугольного треугольника. Необходимо найти длину его гипотенузы.

Давайте возьмем прямоугольный треугольник с катетами а и в и гипотенузой с и достроим его до квадрата со стороной (а+в).

SABCD = (а + b)²

= ?

SABCD = 4 Sтр.+ SКМNР = 4  ab + с² =2аb+с²

(а + b)² = 2аb+с²

а² + b² = с²

VII. Вывод: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Вернёмся к рассмотренной ранее задаче. Применим данный вывод для вычисления длины гипотенузы.

VIII. Мы с вами прибыли на остров Самос, и нас встречают экскурсоводы.

Экскурсоводы рассказывают о жизни Пифагора, пифагорейской школе и истории открытия теоремы.

1-й экскурсовод. Здравствуйте, ребята! На нашем острове в VI в. до н. э. жил величайший древнегреческий математик Пифагор. Известно, что родился он на острове Самос, расположенном в Эгейском море. По совету Фалеса 22 года Пифагор набирался мудрости в Египте. В Вавилон он попал не по своей воле. Во время завоевательных походов на Египет войска полководца Камбиза взяли Пифагора в плен и продали в рабство. Он более 10 лет жил в Вавилоне, изучал древнюю культуру и достижения науки разных стран.

2-й экскурсовод. Вернувшись на родину, Пифагор орга­низовал пифагорейский орден и школу философов и математиков. Туда принимались с большими церемониями после долгих испытаний. В школе существовал декрет, по которому авторство всех математических работ приписывалось самому Пифагору. В школе была очень серьезная дисциплина. Главным безоговорочным аргументом в научных спорах были слова «сам сказал». После этого дискуссия прекращалась.

1-й экскурсовод. Некоторые историки отмечают, что Пифагор составил подробный список табу для членов своего ордена. Вот некоторые из них:

1) делай лишь то, что впоследствии не омрачит тебя и не заставит раскаиваться;

2) не делай никогда того, чего не знаешь, но научись всему, что нужно знать;

3) не пренебрегай здоровьем своего тела;

4) научись жить просто и без роскоши;

5) либо молчи, либо говори то, что ценнее молчания;

6) не закрывай глаза, когда хочешь спать, не разобравши всех своих поступков за день.

2-й экскурсовод. Излюбленной геометрической фигурой пифагорейцев была пентаграмма или пифагорейская звезда. При встрече они рисовали ее на песке, тем самым приветствуя друг друга. Пентаграмма служила им паролем и была символом здоровья и счастья.

1-й экскурсовод. Наконец, последний штрих к портрету ученого. Он был четыре раза подряд олимпийским чемпионом. В пятисотых годах до нашей эры Пифагор был убит в уличной схватке во время народного восстания. После смерти его ученики окружили имя своего учителя множеством легенд, так что правду о Пифагоре установить невозможно.

IХ. По традиции острова Самос всякий прибывающий на него сдает экзамен на право быть пифагорейцем.

1. Выполните устно следующие упражнения.

D

D

2) Решение задач 483(г); 484 (д); 487, 490 (б, в)

3) Между двумя фабричными зданиями построен покатый желоб для транспортировки материалов. Расстояние между зданиями равно 10 м, а концы желоба расположены на высоте 8 м и 4 м над землей.

Найдите длину желоба.

Х. Итог урока

Экскурсоводы (обращаясь к классу). Вы становитесь членами нашего ордена. Теперь каждый из вас носит почетное имя пифагорейца и получает пентаграмму, как символ здоровья и счастья. Всем раздаются пентаграммы.

Итак, возвращаемся домой. Подведем итог нашего, путешествия. Теорема Пифагора - одна из главных теорем геометрии. Значение ее состоит в том, что из нее или с ее помощью можно вывести большинство теорем геометрии и решить множество задач. Этой теореме даже посвящены стихи.

(Один из учеников читает стихотворение Шамиссо.)

О теореме Пифагора

Суть истины вся в том, что нам она - навечно,

Когда хоть раз в прозрении ее увидим свет,

И теорема Пифагора через столько лет

Для нас, как для него, бесспорна, безупречна.

На радостях богам был Пифагором дан обет:

За то, что мудрости коснулся бесконечной,

Он сто быков заклал, благодаря предвечных;

Моленья и хвалы вознес он жертве вслед.

С тех пор быки, когда учуят, тужась,

Что к новой истине людей опять подводит след,

Ревут остервенело, так что слушать мочи нет,

Такой в них Пифагор вселил навеки ужас.

Быкам, бессильным новой правде противостоять,

Что остается? - Лишь глаза закрыв, реветь, дрожать.

ХI. Домашнее задание на дом.

Выучить §3; п. 63; решить задачи 486 (в), 493 (Л.С. Атанасян. Геометрия 7-9. Учебник для общеобразовательных организаций.-М.: Просвещение, 2016.- стр. 132-133), индивидуальные задания.

Уроки 3 – 4

Деловая Игра «Пифагор и его теорема»

Цель: Обобщить и систематизировать полученные знания по данной теме. Доказать теорему, обратную теореме Пифагора. Отрабатывать умения и навыки применения доказанной теоремы при решении задач.

Развивать умения: применять теоретические знания на практике; формировать выводы при наблюдениях; работать с дополнительной литературой.

Воспитывать творческую активность, дисциплинированность и собранность, чувство товарищества и ответственности.

Оборудование: «Заповеди Пифагора», индивидуальные карточки, «бечёвки с 12-ю узлами»

Подготовка к уроку

«Теоретики» - получают задание изучать литературу и найти другие способы доказательства теоремы Пифагора.

«Практики» - получают задание найти в научно-популярной литературе задачи с практическим содержанием, приводящие к теореме Пифагора.

«Исследователи» - доказывают теорему; обратную теореме Пифагора и рассматривают «Египетский треугольник».

Ход урока:

I. Класс разбивается на группы.

Учитель: Сегодня мы проводим деловую игру по теме «Пифагор и его теорема». Для участия в этой игре к нам приглашены «теоретики», «практики», «исследователи», которые и помогут мне в проведении этой игры.

II. Конкурс: «Разминка»

III. Конкурс «Домашнее задание»

1. На листочках 3 ученика из каждой группы — доказательство теоремы Пифагора;

2. На доске «теоретик» по подготовленным чертежам доказывает «без слов»;

3-й ученик. Действительно, в Древней Индии существовал способ доказательства теоремы Пифагора без слов. Слушателям представляли чертеж, на котором изображены два равных квадрата со стороной а + b, после чего писали одно слово «Смотри».

«Смотри»

Пояснение к чертежу. Из каждого из равных квадратов мы отнимаем по 4 равных треугольника. Если отнимать от равных величин поровну, то и остатки получаются равные. Эти остатки на рисунке заштрихованы. На чертеже слева заштрихованы два квадрата, построенные на катетах данного треугольника, а на чертеже справа - это квадрат, построенный на гипотенузе, т.е. сумма площадей квадратов, построенных на катетах прямоугольного треугольника, равна площади квадрата, построенного на гипотенузе.

3. Проверка домашних задач по подготовленным чертежам.

IV. Конкурс «Специалисты»

Выступают «практики» и предлагают две задачи, кто из команд решит первой — получает 2 балла

В Древней Индии был обычай предлагать задачи в стихах:

Над озером тихим

С полфута размером

Высился лотоса цвет.

Он рос одиноко,

И ветер порывом

Отнес его в сторону. Нет

Боле цветка над водой.

Нашел же рыбак его

Ранней весною

В двух футах от места, где рос.

Итак, предложу я вопрос:

«Как озера вода здесь глубока?»

Решение. Обозначим глубину озера АС = х, тогда

АD = АВ = х + ½.

Из ∆АСВ по теореме Пифагора имеем:

АВ² - АС² = ВС²,

(х + 1/2)² - х² = 2²

х² + х + ¼ - х² = 4

х = 3 ¼

Таким образом, глубина озера 3 ¾ фута.

Примечание. Фут - единица длины в системе русских и английских мер. 1 фут ≈ 0,3 м, поэтому 3 ¾ фута ≈ 112,5 см.

2-й ученик предлагает задачу из рассказа Л. Толстого «Много ли человеку земли нужно» (читает отрывок из рассказа и изображает схему движения Пахома на чертеже).

Решение. Неизвестный катет находим по теореме Пифагора:

х == = ≈ 13 (верстам)

S_{участка} = (2 + 10) * 13 = 78 (кв. верст);

Примечание: 1 верста (русская мера длины) — 1,0668 км,

78 кв. верст = 78 кв. км = 7800 га.

V. Итак, мы снова на несколько минут окунемся в историю.

Мы с Вами в Древнем Египте. Вот на верфях египтяне строят свои знаменитые корабли. А вот землемеры, они измеряют участки земли, границы которых смылись после разлива Нила. Строители строят грандиозные пирамиды, которые до сих пор поражают нас своим великолепием. Во всех этих видах деятельности египтянам необходимо было использовать прямые углы.

Они умели строить их с помощью веревки с 12-ю завязанными на одинаковом расстоянии друг от друга узелками. Попробуйте и вы, рассуждал как древние египтяне, построить с помощью своих веревок прямоугольные треугольники.

«Исследователи» доказывают, что если треугольник имеет стороны а, в и с и а² + b² = с², то треугольник прямоугольный.

Задание по группам: задачи 498 (а - г), 499 (а)

VI. Самостоятельная работа (по индивидуальным карточкам)

На прошлом уроке мы говорили о том, что Пифагор был разносторонней личностью. Он занимался и медициной, и музыкой, и астрономией, а так же был спортсменом и участвовал в олимпийских играх. А еще Пифагор был философом. Многие его афоризмы и сегодня актуальны для нас. Сейчас вы будете выполнять самостоятельную работу. К каждому заданию дано несколько вариантов ответов, рядом с которыми фрагменты высказываний Пифагора. Ваша задача – решив все задания, составить из полученных фрагментов высказывание и записать его.

Карточка для В-I

Катеты прямоугольного треугольника равны 10 и 24 см. Вычислите его гипотенузу.

Диагонали прямоугольника АВСD пересекаются в точке О.

СО = 10 см. СD = 12 см. Вычислите сторону ВС.

Является ли треугольник со сторонами 15, 39 и 36 см. прямоугольным? Ответ обоснуйте.

26 не гоняйся за счастьем 32 оно присутствует «Да» в тебе самом

676 не бегай за счастьем 16 оно всегда находится «Нет» около тебя

Ответ: Не гоняйся за счастьем, оно всегда находится в тебе самом

Карточка для В-II

Вычислите катет прямоугольного треугольника если, две другие его стороны равны 8 и 17 см.

Диагонали ромба АВСD пересекаются в точке О. ВD = 16 см. ОС = 6 см. Вычислите длину стороны ромба.

Является ли треугольник со сторонами 15, 20 и 27 см. прямоугольным? Ответ обоснуйте.

225 формулы 10 управляют «Нет» миром

15 числа 14 правят «Да» всем

Ответ: Числа управляют миром

Карточка для В-III

Вычислите катет прямоугольного треугольника если, две другие его стороны равны 15 и 17 см.

В ромбе АВСD диагонали пересекаются в точке О. АС = 12 см. ВО = 8 см. Вычислите длину стороны ромба.

Является ли треугольник со сторонами 18, 30 и 21 см. прямоугольным? Ответ обоснуйте.

8 либо молчи 10 либо говори то «Да» что интересно всем

64 хочешь молчи 14 или говори о том «Нет» ценнее молчания

Ответ: Либо молчи, либо говори то, что ценнее молчания

Ответ: Числа управляют миром

Карточка для В-IV

Катеты прямоугольного треугольника равны 12 и 9 см. Вычислите его гипотенузу.

В прямоугольнике АВСD диагонали пересекаются в точке О. АО = 10 см. АД = 16 см. Вычислите сторону АВ.

Является ли треугольник со сторонами 14, 48 и 50 см. прямоугольным? Ответ обоснуйте.

15 из двух спорящих 26 прав тот «Да» кто умнее

225 в споре 12 не прав тот «Нет» кто глупее

Ответ: Из двух спорящих не прав тот, кто умнее.

Ответ: Числа управляют миром

VII. Итоги уроков

Что нового узнали на уроке?

Как в Египте использовали обратную теорему Пифагора?

При решении каких задач она применяется?

Что больше всего запомнилось и понравилось?

VIII. Домашнее задание

Выучить § 3, п. 56; решить задачи 498 (д, е); 499 (б)

Придумать задачу с практическим содержанием, в которой используется теорема Пифагора.