Рекомендации по подготовке к выполнению задания № 18 (задачи с параметром)

Рекомендации по подготовке к выполнению задания №18 (задачи с параметром) ЕГЭ профильного уровня

Характеристика задания 18 ЕГЭ профильный уровень

Спецификация КИМ

35

минут

2.1. Решать рациональные, иррациональные, показательные, тригонометрические и логарифмические уравнения, их системы.

2.2. Решать уравнения, простейшие системы уравнений, используя свойства функций и их графиков ; использовать для приближенного решения уравнений и неравенств графический метод .

2.3. Решать рациональные, показательные и логарифмические неравенства, их системы.

5.1. Моделировать реальные ситуации на языке алгебры, составлять уравнения и неравенства по условию задачи; исследовать построенные модели с использованием аппарата алгебры.

Что можно ожидать в качестве задания 18 на экзамене?

Критерии проверки задания №18

Как правило критерии пишутся под определенную задачу. Содержание может быть следующим.

Содержание критерия

Баллы

Обоснованно получен верный ответ

С помощью верного рассуждения получены все верные значения параметра, но

4

– или в ответ включены также и одно-два неверных значения (исключено одно-два верных значения);

С помощью верных рассуждений получен верный ответ для одной возможной в задаче ситуации

3

2

Задача сведена к исследованию:

– или решение недостаточно обосновано.

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

1

– или взаимного расположения фигур на плоскости (прямых, окружностей и др.);

– или совокупности уравнений (неравенств) с параметром

0

Пример решения задания 18 из демоверсии ЕГЭ 2018 (профильный уровень)

1

Основу решения составляет теорема о касающихся окружностях.

Алгебраический метод

Как правило, к алгебраическим методам относят методы решения уравнений, неравенств и систем с параметром при всех допустимых значениях параметра, основанные на алгебраических преобразованиях (равносильные переходы, замены, использование необходимых и достаточных условий) и применении формул и приемов для решения простейших уравнений (линейных, дробно-рациональных, квадратичных, показательных, логарифмических, тригонометрических).

Алгебраический метод (теоремы о корнях квадратного трехчлена)

1 выполняется для любого значения х ? б) 4 x – ( a – 3 ) . 2 x +1 + 2 a + 2 не имеет решений? Ответ: а) 1 а б) – 1 ≤ а ≤ 7. 10 " width="640"

● 13.46. При каких значениях параметра а

неравенство:

а) 9 x – 4 ( a – 1 ) . 3 x + a 1 выполняется для

любого значения х ?

б) 4 x – ( a – 3 ) . 2 x +1 + 2 a + 2 не имеет

решений?

Ответ: а) 1 а

б) – 1 ≤ а ≤ 7.

10

Задачи, сводящиеся к исследованию квадратного трехчлена

10

Задачи, сводящиеся к исследованию квадратного трехчлена

10

Алгебраический метод

1 8

Решение аналогичного примера участником экзамена.

10

10

Функциональный метод

Функциональный метод решения уравнений и неравенств (в том числе и с параметрами) является составной частью и естественным развитием функциональной линии обучения математике.

Рассмотрение функционального метода в программе средней школы на базовом уровне носит эпизодический характер.

Наиболее часто используются следующие свойства функций:

• свойства ограниченности области определения или области значения функции (в частности, методы оценки и минимакса );
• свойства четности и нечетности входящих в уравнение или неравенство функций;
• кусочная монотонность большинства алгебраических и элементарных трансцендентных функций входящих в уравнение или неравенство (в частности, на этом основан метод рационализации );
• периодичность функций и др..

В отличие от графического метода, знание этих свойств функций позволяет находить точные корни уравнения без построения графиков функций .

10

ЕГЭ профильный уровень (кодификатор)

10

Классификация задач,

решаемых функциональными методами

1. К первому типу отнесем задачи, в условии которых непосредственно требуется исследовать свойства функции y = f ( x, a ) (область определения, монотонность и т.д.) в зависимости от значений параметра a , принимающего допустимые числовые значения.

2. Ко второму типу задач отнесем такие, в которых формулировки свойств функции в точке или на промежутке позволяют рассматривать параметр не только в формуле, но и при задании области существования функции. Например, исследовать на монотонность функцию на промежутке [ t ; t+ 2] при всех значениях t .

3. Третий тип задач связан с постановкой дополнительных условий на свойства функции (количество нулей функции, ограничение на наибольшее значение функции и т.д.).

4. Решение задач четвертого типа опирается на определение свойства функции (непрерывность, дифференцируемость, экстремум, …). Подобные задачи можно переформулировать и свести к уравнению, неравенству или системе уравнений (неравенств), для решения которых используют аналитический или функционально-графический способы (графическую интерпретацию).

Область значений функции

Полезно знать и уметь находить область значений функций на всей области определения и на отрезке.

1

2

3

4

5

Использование ограниченности функции Метод оценки (минимаксные задачи)

Идея метода минимаксов .

Иначе говоря, уравнение можно переписать в виде

min f ( x ) = max g ( x ) , то есть нужно найти такие значения чтобы они одновременно являлись точками минимума для функции и точками максимума для функции g ( x ) .

Поэтому подобные уравнения называют «минимаксными задачами».

Наиболее часто этот метод можно применить в случаях, когда функции, стоящие в левой и правой частях уравнения – разного типа (степенная и логарифмическая, степенная и тригонометрическая и т.д.)

Функциональный метод Метод оценки (минимаксные задачи)

Четность, нечетность функции

Функциональный метод ( монотонность функции)

Пример из пособия

О функционально-графическом методе решения задач с параметрами

В задачах (уравнение, неравенство, система уравнений или неравенств)

вида (1)

где символ заменяет один из знаков часто ставится вопрос исследовать (1) на: – наличие решений или их отсутствие, – единственность решения или наличие определенного количества решений, – наличие решений определенного типа и т.д.

Для решения подобных задачи можно применять графический метод решения ( метод наглядной графической интерпретации ), основанный на использовании графических образов, входящих в (1) выражений .

Графиком функции y = f ( x ), x ∈ D ( f ) называется множество всех точек координатной плоскости Oxy вида ( x, f ( x )), где x ∈ D ( f ) .

О функционально-графических методах решения задач с параметрами

Графический метод применительно к рассматриваемым задачам допускает несколько интерпретаций, имеющих общее название метод сечений . В зависимости от того, какая роль отводится параметру при решении задачи с параметрами с использованием этого метода можно выделить два основных графических приема.

• Построение графического образа на координатной плоскости Oxy .

В этом случае (1) приводится, если это возможно, к виду

• построение графического образа на координатной плоскости Ox a .

В этом случае (1) приводится, если это возможно, к виду

24

Часто используемые семейства функций

Рассмотрим часто встречающиеся в подобных задачах семейства функций или уравнения и их графики.

1. Семейство линейных функций графики которых - прямые, проходящие через точку и имеющие угловой коэффициент, равный (« пучок прямых » – так обычно называют это семейство графиков).

2. Семейство функций , графики которых получаются из графика параллельным переносом на вектор

(семейство « уголков »).

3. Семейство окружностей с центром в точке , радиуса .

При решении уравнения (неравенства) вида на плоскости

строятся график функции (назовем его « неподвижным ») и прямые параллельные оси Далее в соответствии с условием задачи исследуется расположение построенных графиков.

Соответствие формул и геометрических образов

ЕГЭ прошлых лет

Уравнение «пучка» прямых,

проходящих через точку (4; 2).

Плюсы и минусы графических методов в сравнении с аналитическими методами

Применение графических методов оправдано в случаях, когда в условии задачи ставится вопрос о количестве решений в зависимости от значений параметра или нахождения значений параметра, при которых решение отсутствует или единственно.

Плюсы графических методов :

• во-первых, построив графический образ, можно определить, как влияет на

них и, соответственно, на решение изменение параметра;

• во-вторых, иногда график дает возможность сформулировать аналитически необходимые и достаточные условия для решения поставленной задачи;
• в-третьих, ряд теорем позволяет на основании графической информации делать вполне строгие и обоснованные заключения о количестве решений, об их границах и т.д.

Минусы графических методов : при использовании графических методов возникает вопрос о строгости решения. Требования к строгости должны определяться здравым смыслом. Если результат, полученный графическим методом, вызывает сомнения, его необходимо подкрепить аналитически.

Геометрический метод

Требуется знание соответствия формул и геометрических образов, и величин ( формулы расстояний между точками на прямой и на плоскости ).

Геометрический метод

Метод областей

1 8

ЕГЭ 2017

На помощь приходит производная

1 8

Комбинированный метод

1 8

ЕГЭ 2016

Задание №18 ЕГЭ 201 7 (профильный уровень)

18

Задание №18 (тренировочная работа)

18

Задание №18 (ЕГЭ 2018)

18

34

Решение задание №18 (ЕГЭ 2018)

34

Подготовительные задания 18

34

34

Ответы к подготовительным заданиям 18

34

Зачетные задания 18

34

34

Ответы к зачетным заданиям 18

34

Задание №18 ЕГЭ 201 7 (профильный уровень)

18

18

18

18

34

Задание №18 ЕГЭ 201 7 (профильный уровень)

18

18

18

34