Решение дробных рациональных уравнений. Урок 2. Алгебра 8 класс

Решение дробных рациональных уравнений (урок 2)

Алгебра 8 класс

Романенко С.Н.,

учитель математики

МАОУ СОШ № 79 г.Перми

V

Алгоритм решения дробного рационального уравнения.

1) Найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;

2) Умножить обе части уравнения на общий знаменатель;

3) Решить полученное целое уравнение;

4) Исключить из его корней те, которые обращают в нуль

общий знаменатель.

Решим дробное рациональное уравнение

Алгоритм решения дробного рационального уравнения:

1) найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;

2) умножить обе части уравнения на общий знаменатель;

0

0

3) решить получившееся целое уравнение;

3) решить получившееся целое уравнение;

Если x= 5, то

4) исключить из его корней те, которые обращают в нуль общий знаменатель.

Если x= - 2, то

Ответ: - 2

№ 600 (д)

№ 600 (д)

 (х+7)(х–1)

Общий знаменатель дробей ( х + 7)( х – 1).

Умножим обе части на общий знаменатель

 (х+7)(х–1)

(х+7)(х–1) 

№ 600 (д)

 (х+7)(х–1)

Общий знаменатель дробей ( х + 7)( х – 1).

Умножим обе части на общий знаменатель

( х – 1)(2 х – 1) = (3 х + 4)( х + 7)

 (х+7)(х–1)

(х+7)(х–1) 

№ 600 (д)

 (х+7)(х–1)

Общий знаменатель дробей ( х + 7)( х – 1).

Умножим обе части на общий знаменатель

( х – 1)(2 х – 1) = (3 х + 4)( х + 7)

2 х 2 – 2 х – х + 1 = 3 х 2 + 21 х + 4 х + 28 = 0

2 х 2 – 2 х – х + 1 – 3 х 2 – 21 х – 4 х – 28 = 0

– х 2 – 28 х – 27 = 0 ∙(-1)

х 2 + 28 х + 27 = 0

 (х+7)(х–1)

(х+7)(х–1) 

№ 600 (д)

 (х+7)(х–1)

Общий знаменатель дробей ( х + 7)( х – 1).

Умножим обе части на общий знаменатель

( х – 1)(2 х – 1) = (3 х + 4)( х + 7)

2 х 2 – 2 х – х + 1 = 3 х 2 + 21 х + 4 х + 28 = 0

2 х 2 – 2 х – х + 1 – 3 х 2 – 21 х – 4 х – 28 = 0

– х 2 – 28 х – 27 = 0

х 2 + 28 х + 27 = 0

По теореме, обратной теореме Виета:

х 1 = –27, х 2 = –1 .

 (х+7)(х–1)

(х+7)(х–1) 

№ 600 (д)

 (х+7)(х–1)

Общий знаменатель дробей ( х + 7)( х – 1).

Умножим обе части на общий знаменатель

( х – 1)(2 х – 1) = (3 х + 4)( х + 7)

2 х 2 – 2 х – х + 1 = 3 х 2 + 21 х + 4 х + 28 = 0

2 х 2 – 2 х – х + 1 – 3 х 2 – 21 х – 4 х – 28 = 0

– х 2 – 28 х – 27 = 0

х 2 + 28 х + 27 = 0

По теореме, обратной теореме Виета:

х 1 = –27, х 2 = –1.

Если х = –27, то ( х + 7)( х – 1) ≠ 0.

Если х = –1, то ( х + 7)( х – 1) ≠ 0.

Ответ: х = – 27 или х = – 1

 (х+7)(х–1)

(х+7)(х–1) 

№ 600 (и)

= 0

№ 600 (и)

= 0

 (2х+3)(3 –2х)

№ 600 (и)

= 0

 (2х+3)(3 –2х)

Общий знаменатель дробей (2 х + 3) (3 – 2 х ).

Умножим обе части на общий знаменатель.

 (2х+3)(3 –2х)

(2х+3)(3 –2х) 

№ 600 (и)

= 0

 (2х+3)(3 –2х)

Общий знаменатель дробей (2 х + 3) (3 – 2 х ).

Умножим обе части на общий знаменатель.

(3 – 2 х )( х – 1) = (2 х – 1)(2 х + 3)

 (2х+3)(3 –2х)

(2х+3)(3 –2х) 

№ 600 (и)

= 0

 (2х+3)(3 –2х)

Общий знаменатель дробей (2 х + 3) (3 – 2 х ).

Умножим обе части на общий знаменатель.

(3 – 2 х )( х – 1) = (2 х – 1)(2 х + 3)

3 х – 2 х 2 – 3 + 2 х = 4 х 2 + 6 х – 2 х – 3

3 х – 2 х 2 – 3 + 2 х – 4 х 2 – 6 х + 2 х + 3 = 0

– 6 х 2 + х = 0

 (2х+3)(3 –2х)

(2х+3)(3 –2х) 

№ 600 (и)

= 0

 (2х+3)(3 –2х)

Общий знаменатель дробей (2 х + 3) (3 – 2 х ).

Умножим обе части на общий знаменатель.

(3 – 2 х )( х – 1) = (2 х – 1)(2 х + 3)

3 х – 2 х 2 – 3 + 2 х = 4 х 2 + 6 х – 2 х – 3

3 х – 2 х 2 – 3 + 2 х – 4 х 2 – 6 х + 2 х + 3 = 0

– 6 х 2 + х = 0

6 х 2 – х = 0

х (6 х – 1) = 0

х = 0 или 6 х – 1 = 0

6 х = 1

х =

.

 (2х+3)(3 –2х)

(2х+3)(3 –2х) 

№ 600 (и)

= 0

 (2х+3)(3 –2х)

Общий знаменатель дробей (2 х + 3) (3 – 2 х ).

Умножим обе части на общий знаменатель.

(3 – 2 х )( х – 1) = (2 х – 1)(2 х + 3)

3 х – 2 х 2 – 3 + 2 х = 4 х 2 + 6 х – 2 х – 3

3 х – 2 х 2 – 3 + 2 х – 4 х 2 – 6 х + 2 х + 3 = 0

– 6 х 2 + х = 0

6 х 2 – х = 0

х (6 х – 1) = 0

х = 0 или 6 х – 1 = 0

6 х = 1

х =

Если х = 0, то (2 х + 3) (3 – 2 х ) ≠ 0.

Если х = , то (2 х + 3) (3 – 2 х ) ≠ 0.

Ответ: х = 0 или х = .

 (2х+3)(3 –2х)

(2х+3)(3 –2х) 

№ 601 (а) Есть другой способ исключения посторонних корней . Как уже говорилось, при домножении обеих частей уравнения на общий знаменатель дробей, мы изменяем область допустимых значений выражений, входящих в запись уравнения.

Можно тогда сперва определить ОДЗ (любые числа, кроме тех, которые обращают знаменатель в нуль), а в конце проверить, входят ли полученные корни в ОДЗ или нет.

Решение :

– 4 = 0 ОДЗ: х + 5 ≠ 0,

х ≠ –5.

№ 601 (а) Есть другой способ исключения посторонних корней . Как уже говорилось, при домножении обеих частей уравнения на общий знаменатель дробей, мы изменяем область допустимых значений выражений, входящих в запись уравнения.

Можно тогда сперва определить ОДЗ (любые числа, кроме тех, которые обращают знаменатель в нуль), а в конце проверить, входят ли полученные корни в ОДЗ или нет.

Решение :

– 4 = 0 ОДЗ: х + 5 ≠ 0,

х ≠ –5.

– = 0  (х+5)

– = 0

(х+5) 

 (х+5)

№ 601 (а) Есть другой способ исключения посторонних корней . Как уже говорилось, при домножении обеих частей уравнения на общий знаменатель дробей, мы изменяем область допустимых значений выражений, входящих в запись уравнения.

Можно тогда сперва определить ОДЗ (любые числа, кроме тех, которые обращают знаменатель в нуль), а в конце проверить, входят ли полученные корни в ОДЗ или нет.

Решение :

– 4 = 0 ОДЗ: х + 5 ≠ 0,

х ≠ –5.

– = 0  (х+5)

– = 0

2 х – 5 – 4( х + 5) = 0

(х+5) 

 (х+5)

№ 601 (а) Есть другой способ исключения посторонних корней . Как уже говорилось, при домножении обеих частей уравнения на общий знаменатель дробей, мы изменяем область допустимых значений выражений, входящих в запись уравнения.

Можно тогда сперва определить ОДЗ (любые числа, кроме тех, которые обращают знаменатель в нуль), а в конце проверить, входят ли полученные корни в ОДЗ или нет.

Решение :

– 4 = 0 ОДЗ: х + 5 ≠ 0,

х ≠ –5.

– = 0  (х+5)

– = 0

2 х – 5 – 4( х + 5) = 0

2 х – 5 – 4 х – 20 = 0

– 2 х – 25 = 0

– 2 х = 25

х = –12,5

(х+5) 

 (х+5)

№ 601 (а) Есть другой способ исключения посторонних корней . Как уже говорилось, при домножении обеих частей уравнения на общий знаменатель дробей, мы изменяем область допустимых значений выражений, входящих в запись уравнения.

Можно тогда сперва определить ОДЗ (любые числа, кроме тех, которые обращают знаменатель в нуль), а в конце проверить, входят ли полученные корни в ОДЗ или нет.

Решение :

– 4 = 0 ОДЗ: х + 5 ≠ 0,

х ≠ –5.

– = 0  (х+5)

– = 0

2 х – 5 – 4( х + 5) = 0

2 х – 5 – 4 х – 20 = 0

– 2 х – 25 = 0

– 2 х = 25

х = –12,5  ОДЗ

Ответ: –12,5

(х+5) 

 (х+5)

№ 601 (в)

 4х ОДЗ: х ≠ 0.

№ 601 (в)

 4х ОДЗ: х ≠ 0.

х 2 – 4 = 2(3 х – 2)

х 2 – 4 = 6 х – 4

х 2 – 6 х = 0

№ 601 (в)

 4х ОДЗ: х ≠ 0.

х 2 – 4 = 2(3 х – 2)

х 2 – 4 = 6 х – 4

х 2 – 6 х = 0

х ( х – 6) = 0

х = 0 или х – 6 = 0

х = 6

№ 601 (в)

 4х ОДЗ: х ≠ 0.

х 2 – 4 = 2(3 х – 2)

х 2 – 4 = 6 х – 4

х 2 – 6 х = 0

х ( х – 6) = 0

х = 0 или х – 6 = 0

х=0  ОДЗ х = 6  ОДЗ

Ответ: х = 6

№ 601 (г)

= х – 1 ОДЗ: 2 х – 3 ≠ 0,

х ≠ 1,5.

=  (2х–3)

10 = ( х – 1)(2 х – 3);

10 = 2 х 2 – 3 х – 2 х + 3;

10 – 2 х 2 + 3 х + 2 х – 3 = 0;

– 2 х 2 + 5 х + 7 = 0;

2 х 2 – 5 х – 7 = 0;

Д = …

х 1 = –1  ОДЗ

х 2 = 3,5  ОДЗ

• Ответ: -1; 3,5

Домашнее задание по алгебре:

• п. 25 (выучить алгоритм)
• № 600 (е, ж)
• № 601 (б)