Решение неравенств методом интервалов
ПОДГОТОВКА К ОГЭ
Решаем линейное неравенства :
1.
Все действия на слайде – последовательно щелчком мышки.
х
-4
Ответ:
2
2
13х - 1 Решение : 5х + 6х – 3 13х – 1 5х + 6х – 13х 3 – 1 -2х 2 (: (-2)) х -1 x Ответ: " width="640"
2 .
5х + 3(2х – 1) 13х - 1
Решение : 5х + 6х – 3 13х – 1
5х + 6х – 13х 3 – 1
-2х 2 (: (-2))
х
-1
x
Ответ:
Алгоритм решения неравенств методом интервалов
- Разложить многочлен на простые множители;
- Найти корни многочлена;
- Изобразить их на числовой прямой;
- Разбить числовую прямую на интервалы;
- Определить знаки множителей на интервалах знакопостоянства;
- Выбрать промежутки нужного знака;
- Записать ответ (с помощью скобок или знаков неравенства).
0 Найдём корни квадратного трехчлена из уравнения: ( х – 2)( х + 6 ) = 0 х – 2 = 0 или х + 6 = 0 х 1 = 2; х 2 = - 6 Отметим эти корни на числовой прямой: Получим три промежутка: - 6 х 2 Определим знаки ( х - 2)( х + 6 ) на каждом из полученных промежутков: " width="640"
Пример 1. Решить неравенство: ( х - 2)( х + 6 ) 0
Найдём корни квадратного трехчлена из уравнения:
( х – 2)( х + 6 ) = 0
х – 2 = 0 или х + 6 = 0
х 1 = 2; х 2 = - 6
Отметим эти корни на числовой прямой:
Получим три промежутка:
- 6
х
2
Определим знаки ( х - 2)( х + 6 ) на каждом из полученных промежутков:
0 2). ( х - 2)( х + 6 ) = ( 0 - 2)( 0 + 6) 0 3). ( х - 2)( х + 6 ) = ( 4 - 2)( 4 + 6) 0 Т.к. по условию ( х - 2)( х + 6 ) 0 , то решением является множество х (- ∞ ; -6) U (2; + ∞ ) Ответ: (- ∞ ; -6) U (2; + ∞ ). " width="640"
+
–
+
0
- 9
4
х
- 6
2
1). ( х - 2)( х + 6 ) = ( - 9 - 2)( - 9 + 6) 0
2). ( х - 2)( х + 6 ) = ( 0 - 2)( 0 + 6) 0
3). ( х - 2)( х + 6 ) = ( 4 - 2)( 4 + 6) 0
Т.к. по условию ( х - 2)( х + 6 ) 0 , то решением
является множество х (- ∞ ; -6) U (2; + ∞ )
Ответ: (- ∞ ; -6) U (2; + ∞ ).
Пример 2. Решить неравенство: 2 х 2 - 3 х + 1 0
Найдём корни квадратного трехчлена из уравнения:
2 х 2 - 3 х + 1 = 0
х 1 = 1 ; х 2 = 0,5
Отметим эти корни на числовой прямой:
Получим три промежутка:
1
0,5
х
Определим знаки 2 х 2 - 3 х + 1 на каждом из полученных промежутков:
0 2 ). 2 х 2 - 3 х + 1 = 2 ∙ 0,8 2 - 3 ∙ 0,8 + 1 0 3 ). 2 х 2 - 3 х + 1 = 2 ∙ 1,2 2 - 3 ∙ 1,2 + 1 0 Т.к. по условию 2 х 2 - 3 х + 1 0 , то решением является множество х ( 0,5 ; 1 ) Ответ: ( 0,5 ; 1 ). " width="640"
+
–
+
1,2
0
0,8
х
0,5
1
1). 2 х 2 - 3 х + 1 = 2 ∙ 0 2 - 3 ∙ 0 + 1 0
2 ). 2 х 2 - 3 х + 1 = 2 ∙ 0,8 2 - 3 ∙ 0,8 + 1 0
3 ). 2 х 2 - 3 х + 1 = 2 ∙ 1,2 2 - 3 ∙ 1,2 + 1 0
Т.к. по условию 2 х 2 - 3 х + 1 0 , то решением
является множество х ( 0,5 ; 1 )
Ответ: ( 0,5 ; 1 ).
Пример 3 . Решить неравенство: - х 2 + х + 1 2 ≥ 0
Найдём корни квадратного трехчлена из уравнения:
- х 2 + х + 1 2 = 0
х 1 = 4 ; х 2 = -3
Отметим эти корни на числовой прямой:
Получим три промежутка:
4
-3
х
Определим знаки - х 2 + х + 1 2 на каждом из полученных промежутков:
0 3 ). - х 2 + х + 1 2 = - 6 2 + 6 + 1 2 0 Т.к. по условию - х 2 + х + 1 2 ≥ 0 , то решением является множество х [-3 ; 4] Ответ: [-3 ; 4] . " width="640"
–
–
+
-3
х
-7
0
6
4
1). - х 2 + х + 1 2 = - (-7) 2 + (-7) + 1 2 0
2 ). - х 2 + х + 1 2 = - 0 2 + 0 + 1 2 0
3 ). - х 2 + х + 1 2 = - 6 2 + 6 + 1 2 0
Т.к. по условию - х 2 + х + 1 2 ≥ 0 , то решением
является множество х [-3 ; 4]
Ответ: [-3 ; 4] .
Решите неравенство
(х-3)(х-3)(х-3) (х-3)(х+2)(х+2)(х+2)(х+2)(х+2)(х-7)(х-7)(х-10)
Разложили на множители. Нанесем на числовую прямую и определим знаки.
–
–
–
+
+
0
9
4
100
- 2
10
3
7
х
-100
Ответы:
(0-3)(0-3)(0-3) (0-3)(0+2)(0+2)(0+2)(0+2)(0+2)(0-7)(0-7)(0-10)
( 4 -3)( 4 -3)( 4 -3) ( 4 -3)( 4 +2)( 4 +2)( 4 +2)( 4 +2)( 4 +2)( 4 -7)( 4 -7)( 4 -10)
( 9 -3)( 9 -3)( 9 -3) ( 9 -3)( 9 +2)( 9 +2)( 9 +2)( 9 +2)( 9 +2)( 9 -7)( 9 -7)( 9 -10)
3
Т.к. по условию у нас значение отрицательно, надо выбрать все «минусы» и записать ответ,
Ответ: х ( - 2; 3);(3;7);(7;10)
1
Решим неравенство
Если в разложении многочлена на множители входит сомножитель , то говорят, что - х 0 корень многочлена кратности k .
1) Данный многочлен имеет корни:
x = -5, кратности 6; x = -2, кратности 3; x = 0, кратности 1;
x = 1, кратности 2; x = 3, кратности 5.
2) Нанесем эти корни на числовую ось.
!
!
–
–
–
–
+
+
3) Определим знак многочлена на каждом интервале .
4) Запишем ответ:
5) Рассмотрим смену знаков в корнях различной кратности.
Решите неравенство
Находим корни уравнения
х=0, х=3, х=8
Наносим их на числовую прямую, при условии, что последний корень будет «выколотая» точка.
Так корни не повторяются, то знаки будут чередоваться.
Решите неравенство
+
-
-
+
х
3
0
8
Решите неравенство
-
-
-
+
+
Так как корень 5 повторяется два раза, то он имеет кратность 2, значит знаки слева и справа от него не будут черодоваться.
16