Решение текстовых задач (ЕГЭ)

ТЕКСТОВЫЕ ЗАДАЧИ

Подготовка к ЕГЭ

Автор презентации: Тихомирова О.С.

МАОУ СОШ№3 СУИОП г. Наро-Фоминска

I Задачи на движение

• Движение по прямой дороге
• Движение по замкнутой дороге
• Движение по реке
• Движение протяженных тел
• Средняя скорость

II. Задачи на работу

1. Явный объем работы

2. Неявный объем работы

III. Задачи на проценты

1 . Части и проценты

2. Процентное сравнение величин

3. Сложные проценты

IV. Задачи на концентрацию

V. Задачи на арифметическую прогрессию

VI. Задачи на геометрическую прогрессию

I. Задачи на движение

Формула пути

S=V ∙ t

V= S / t

t=S / V

S

t

V

x

Если начальное расстояние между объектами равно S , а скорости объектов , то: а) при движении объектов навстречу друг другу время, через которое они встретятся, равно t=; б) при движении объектов в одну сторону ( время, через которое первый объект догонит второй, равно t=

• Задачи на движение по прямой.

Если нет специальных оговорок, то движение считается равномерным, при этом пройденный путь определяется по формуле: S =v t, где S – расстояние, пройденное телом; v– скорость движения тела; t – время движения тела. Все величины (расстояние, скорость, время) считаются положительными. Указанные величины должны быть в одной системе единиц.

1 км/ч =м/с =; 90 км/ч=90 = 25 м/с

Пример 1. Поезд, пройдя 450 км, был остановлен из-за снежного заноса. Через полчаса путь был расчищен, и машинист, увеличив скорость поезда на 15 км/ч, привел его на станцию без опоздания. Найдите первоначальную скорость поезда, если путь, пройденный им до остановки, составил 75% всего пути

2.Два пешехода отправляются одновременно в одном направлении из одного и того же места на прогулку по аллее парка. Скорость первого на 1,5 км/ч больше скорости второго. Через сколько минут расстояние между пешеходами станет равным 300 метрам?

3. Расстояние между городами A и B равно 435 км. Из города A в город B со скоростью 60 км/ч выехал первый автомобиль, а через час после этого навстречу ему из города B выехал со скоростью 65 км/ч второй автомобиль. На каком расстоянии от города A автомобили встретятся? Ответ дайте в километрах

2. Движение по замкнутой дороге

Если длина замкнутой дороги равна S , а скорости объектов , то: а) при движении объектов в разных направлениях время, через которое они встретятся, равно t=; б) при движении объектов в одном направлении ( время между их встречами вычисляется по формуле t=

Из пункта А круговой трассы, длина которой 30км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобилиста. Скорость первого равна 92 км/час ,скорость второго -77 км/час. Через сколько минут первый автомобилист будет опережать второго ровно на 1 круг?

На соревнованиях по кольцевой трассе один лыжник проходит круг на 2 мин быстрее другого и через час обошел его ровно на круг. За какое время каждый лыжник проходит круг?

Ответ: 10 мин; 12 мин.

3. Движение по реке

Если объект движется по течению реки, то его скорость равна

Если объект движется против течения реки, то его скорость равна .

Скорость движения плота равна скорости течения реки.

Катер спустился вниз по течению реки на 50 км, а затем прошел в обратном направлении 36 км, что заняло у него на 30 минут больше времени, чем по течению. Какова собственная скорость катера, если скорость течения реки 4 км/ч? Ответ: 16 км/ч

4.Движение протяженных тел.

При решении  задач на движение двух тел  часто очень  удобно считать одно тело неподвижным, а другое — приближающимся к нему со скоростью, равной сумме скоростей этих тел (при движении навстречу) или разности скоростей (при движении вдогонку). 

По двум параллельным железнодорожным путям в одном направлении следуют пассажирский и товарный поезда, скорости которых равны соответственно 90 км/ч и 30 км/ч. Длина товарного поезда равна 600 метрам. Найдите длину пассажирского поезда, если время, за которое он прошел мимо товарного поезда, равно 1 минуте. Ответ дайте в метрах.

Пусть х (м) – длина пассажирского поезда,

Тогда S =(х+600) м, t =1мин., v =1000 м/мин., S= v⋅t

х +600 =1000 ⋅ 1,

х +600 =1000,

х =400. Ответ: 400м.

  По двум параллельным железнодорожным путям друг навстречу другу следуют скорый и пассажирский поезда, скорости которых равны соответственно 65 км/ч и 35 км/ч. Длина пассажирского поезда равна 700 метрам. Найдите длину скорого поезда, если время, за которое он прошел мимо пассажирского поезда, равно 36 секундам. Ответ дайте в метрах

Решение:

65 +35 =100 (км/ч) =100 000 (м/ч)

Скорость навстречу друг другу (сумма скоростей при движении навстречу друг другу). Решим задачу с помощью уравнения.

Пусть х (м) – длина товарного поезда,

Тогда S =(х+700) м, t = 36 с.= 36/60 мин.=36/ 3600 ч.=0,01ч.

v =100 000 м/ч., S= v⋅t

х +700 =100 000 ⋅ 0,01,

х +700 =1000,

х =300.

Ответ: 300м.

5. Задачи на среднюю скорость

• Чтобы найти среднюю скорость движения объекта, необходимо все пройденное расстояние разделить на общее время движения.

Задача.

Половину времени, затраченного на дорогу, автомобиль ехал со скоростью 66 км/ч, а вторую половину времени — со скоростью 82 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

Задача.

Первые два часа автомобиль ехал со скоростью 90 км/ч, следующий час — со скоростью 80 км/ч, а затем два часа — со скоростью 60 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

5. Задачи на среднюю скорость

Первые 190 км автомобиль ехал со скоростью 50 км/ч, следующие 180 км — со скоростью 90 км/ч, а затем 170 км — со скоростью 100 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

Путешественник переплыл море на яхте со средней скоростью 16 км/час. Обратно он летел на спортивном самолете со скоростью 496 км/час. Найдите среднюю скорость движения путешественника на протяжении всего пути.

III . Задачи на проценты

1. Части и проценты

Чтобы найти проценты от данного числа, надо:

а) выразить проценты в виде дроби;

б) умножить данное число на эту дробь.

Задача .

Митя, Антон, Гоша и Борис учредили компанию с уставным капиталом 200000 рублей. Митя внес 14% уставного капитала, Антон — 42000 рублей, Гоша — 0,12 уставного капитала, а оставшуюся часть капитала внес Борис. Учредители договорились делить ежегодную прибыль пропорционально внесенному в уставной капитал вкладу. Какая сумма от прибыли 1000000 рублей причитается Борису? Ответ дайте в рублях.

Мы также вывели полезные формулы:

Если х величину  увеличить на  р процентов, получим  .

если величину  х  уменьшить на  р  процентов, получим  .

если величину  х  увеличить на  р процентов, а затем уменьшить на  g% , получим

  .

если величину  х дважды увеличить на  р  процентов, получим 

если величину х  дважды уменьшить на  р процентов, получим 

Цена холодильника в магазине ежегодно уменьшается на одно и то же число процентов от предыдущей цены. Определите, на сколько процентов каждый год уменьшалась цена холодильника, если, выставленный на продажу за 20000 рублей, через два года был продан за 15842 рублей.

Четыре рубашки дешевле куртки на 8 %. На сколько процентов пять рубашек дороже куртки?

В понедельник акции компании подорожали на некоторое количество процентов, а во вторник подешевели на то же самое количество процентов. В результате они стали стоить на 4 % дешевле, чем при открытии торгов в понедельник. На сколько процентов подорожали акции компании в понедельник?

2 . Процентное сравнение величин

При сравнении двух величин за 100% принимается та, с которой производится сравнение. В задачах на проценты сначала следует понять, какая величина принимается за 100%.

Задача. Букинистический магазин продал книгу со скидкой 10% с назначенной цены и получил при этом 8% прибыли. Сколько процентов прибыли первоначально полагал получить магазин?

Решение: Пусть изначальная цена у рублей, назначенная цена магазином –х рублей.

Магазин продал со скидкой 10%,т.е. за 0,9х рублей. И получил прибыль 8%.

0,9хр-108%

у руб-100%, отсюда из пропорции у=5/6х

Значит, у=5/6х-это 100%,а а х руб-это назначенная цена составляет ?%

Отсюда следует, что ?=120%

Ответ:20%

Шесть одинаковых рубашек дешевле куртки на 2%. На сколько процентов девять таких же рубашек дороже куртки?

РЕШЕНИЕ:

Пусть одна рубашка стоит х руб., а одна куртка – у руб. Так как шесть одинаковых рубашек дешевле одной куртки на 2%, получается, что 6 одинаковых рубашек составляют 100%–2%=98%=0,98 одной куртки: 6х=0,98у Тогда одна рубашка будет составлять 0,98/6 одной куртки : х=0,98/6у Значит, 9 рубашек будут составлять 0,98/6 · 9=1,47 куртки :9х=1,47у 1,47 части куртки это 147% от куртки. То есть 147%–100%=47% на столько процентов 9 рубашек дороже куртки

Задача. Семья состоит из мужа, жены и их дочери студентки. Если бы зарплата мужа увеличилась вдвое, общий доход семьи вырос бы на 67%. Если бы стипендия дочери уменьшилась втрое, общий доход семьи сократился бы на 4%. Сколько процентов от общего дохода семьи составляет зарплата жены?

Решение.

Условие «если бы зарплата отца увеличилась вдвое, доход семьи вырос бы на 67%» означает, что зарплата отца составляет 67% дохода семьи. Условие «если бы стипендия дочери уменьшилась втрое, доход семьи сократился бы на 4%», означает, что 2/3 стипендии составляют 4% дохода семьи, то есть вся стипендия дочери составляет 6% дохода семьи. Таким образом, доход матери составляет 100%-67%-6%=27% дохода семьи.

Ответ: 27.

В четверг акции компании подорожали на некоторое число процентов, а в пятницу подешевели на то же самое число процентов. В результате они стали стоить на 9% дешевле, чем при открытии торгов в четверг. На сколько процентов подорожали акции компании в четверг?

IV.Задачи на концентрацию

Один раствор содержит 20% (по объему) соляной кислоты, а второй - 70% кислоты. Сколько литров первого и второго растворов нужно взять, чтобы получить 100 л 50% раствора кислоты?

Первый сплав содержит 10% меди, второй — 40% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 3 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 30% меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.

Смешав 30-процентный и 60-процентный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 36-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 41-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 30-процентного раствора использовали для получения смеси?

Задача.

Виноград содержит 90% влаги, а изюм — 5%. Сколько килограммов винограда требуется для получения 20 килограммов изюма?

Задача.

Виноград содержит 90% влаги, а изюм — 5%. Сколько килограммов винограда требуется для получения 22 килограммов изюма?

0. • Формула разности: d = • Формула n-го (общего) члена а. п.: = + d (n - 1). • Формулы суммы n первых членов а. п.: S= • Характеристическое свойство а. п. (свойство среднего члена а. п.): " width="640"

V. Задачи на арифметическую прогрессию

• Арифметическая прогрессия (а. п.) - числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом d (разность а. п.):

Например, последовательность -3; -1; 1; 3; 5; ... является а. п. с первым членом a = -3 и разностью d = 2.

• А. п. называют возрастающей, если d 0.

• Формула разности: d =

• Формула n-го (общего) члена а. п.:

= + d (n - 1).

• Формулы суммы n первых членов а. п.:

S=

• Характеристическое свойство а. п. (свойство среднего члена а. п.):

Грузовик перевозит партию щебня массой 240 тонн, ежедневно увеличивая норму перевозки на одно и то же число тонн. Известно, что за первый день было перевезено 2 тонны щебня. Определите, сколько тонн щебня было перевезено за двенадцатый день, если вся работа была выполнена за 15 дней.

Вере надо подписать 640 открыток. Ежедневно она подписывает на одно и то же количество открыток больше по сравнению с предыдущим днем. Известно, что за первый день Вера подписала 10 открыток. Определите, сколько открыток было подписано за четвертый день, если вся работа была выполнена за 16 дней.

VI. Неявный объем работы .

Игорь и Паша могут покрасить забор за 30 часов. Паша и Володя могут покрасить этот же забор за 36 часов, а Володя и Игорь -за 45 часов. За сколько часов мальчики покрасят этот забор, работая втроем.

Две бригады, состоящие из рабочих одинаковой квалификации, одновременно начали выполнять два одинаковых заказа. В первой бригаде было 13 рабочих, а во второй-14 рабочих. Через 7 дней начала работы в первую бригаду перешли 4 рабочих из второй бригады. В итоге оба заказа были выполнены одновременно. Найдите, сколько дней потребовалось на выполнение заказов.

http://prof.mathege.ru/prototypes/?position=12&filter=& page=2