Решение тригонометрических уравнений с отбором корней

Рекомендации по подготовке к выполнению задания №13 (решение тригонометрического уравнения с отбором корней) ЕГЭ профильного уровня

Примеры заданий С1 (№ 13 с 2016 г.) в ЕГЭ 2010-2015 гг.

ЕГЭ 2015

Примеры заданий С3 (№ 13 с 2016 г.) в ЕГЭ 2016-2017 гг.

ЕГЭ 2016

ЕГЭ 2017

Пример решения задания 13 из демоверсии ЕГЭ 2018 (профильный уровень)

1

0,5

Запись ответа в работе участника экзамена может отличаться от приведенной в критериях (содержать один целочисленный параметр n или несколько k , m , n ). Важно, чтобы в ответе были приведены все ответы для пункта а .

Пример задания 13 из вариантов ЕГЭ 2018 (профильный уровень)

2

Критерии проверки задания 13

Содержание критерия

Баллы

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах

2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а

1

ИЛИ

0

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов – пункта а и пункта б

Прежде чем приступать к решению заданий 13, нужно запомнить и научиться применять формулы записи решений простейших тригонометрических уравнений и далее овладеть методами решения основных типов тригонометрических уравнений.

Следует обратить внимание учащихся, что в случае отбора корней использование общей формулы серии решений для синуса и косинуса не всегда является удобной.

При выполнении пункта б задания 13 удобнее не объединять серии решений, а наоборот - представлять их совокупностью.

Серии решений, записанные через совокупности

Нюансы начальной подготовки к овладению методами решения задания 13

1. По возможности при выполнении пункта б задания не использовать запись

Эта запись не показывает: во-первых, что серий решений две;

во-вторых, что период синуса .

Отбирать корни при такой форме записи крайне неудобно.

Замечание . В случае использования этих формул нужно отметить на оси синусов значение а и получить на тригонометрической окружности две точки.

2. Давать отдельные задачи на отбор корней без решения уравнений.

Нюансы начальной подготовки к овладению методами решения задания 13

3. Учиться проверять ответ. Для этого задавать вопрос:

«Сколько корней данная серия решений

может иметь на данном отрезке?»

4. Начинать обучение с заданий на отработку методов решений уравнений и способов отбора корней, в которых первична идейная часть, а вычислительная часть достаточно проста.

5. Самоконтроль! Прежде чем записывать окончательный ответ, убедиться еще раз в верности корней их непосредственной подстановкой в исходное уравнение.

Методы решения тригонометрических уравнений

При решения тригонометрических уравнений обычно используют один из следующих методов:

• равносильных преобразований с применением формул;
• замены, сведение к алгебраическому уравнению;
• разложение на множители;
• метод вспомогательного аргумента (линейные уравнения);
• функциональный.

3

Методы решения тригонометрических уравнений

4

5

Рекомендации по оформлению решения задания 13 на экзамене

Задание 13 (С1). Задание содержит два пункта:

а) решить тригонометрическое уравнение,

б) отобрать его корни на данном промежутке.

Соответственно в ответе должно быть две части:

а) все корни уравнения (не забудьте написать n∈Z ),

б) отобранные на данном промежутке корни.

Решение уравнения лучше никак не комментировать и не писать знаков равносильности, так как часто при верном решении выпускники ошибаются в комментариях и ставят проверяющих в тупик.

Отбор корней , можно проводить разными способами, но рекомендуется его провести на окружности. При этом в начале отбора стоит написать фразу: отберем корни с помощью единичной окружности и затем на окружности обязательно все обозначить: точки – концы промежутка (в данном случае дуги), сами корни и жирным выделить саму дугу. Этот рисунок рисуется не для себя, а для проверяющего, на нем все должно быть видно.

Методы отбора корней тригонометрических уравнений

При решения тригонометрических уравнений в случаях

отбора корней обычно используют один из следующих

методов:

• арифметический;
• алгебраический;
• геометрический (на тригонометрической

окружности или числовой прямой);

• функционально-графический.

Арифметический метод отбора корней

тригонометрических уравнений

Арифметический метод отбора корней связан с вычислением корней при переборе значений целочисленного параметра или нахождением значений тригонометрических выражений непосредственной подстановкой при проверке корней.

Арифметический способ:

а) непосредственная подстановка полученных корней в уравнение и имеющиеся ограничения;

б) перебор значений целочисленного параметра и вычисление корней.

6

Замечание. В решении должна присутствовать оценка возможных значений целочисленного параметра.

Отбор корней непосредственной подстановкой

В случае непосредственной подста-новки серий полученных решений для удаления «посторонних» решений полезным оказывается использование формул приведения:

7

Алгебраический метод отбора корней

Алгебраический метод отбора корней удобен в тех случаях, когда:

– последовательный перебор значений параметров приводит к вычислительным трудностям;

– промежуток для отбора корней большой;

– значения обратных тригонометрических функций, входящих в серии решений, не являются табличными;

– при решении задач с дополнительными условиями.

Алгебраический метод – это:

а) решение неравенства относительно целочисленного параметра и вычисление корней;

б) исследование уравнения с двумя целочис ленными параметрами.

8

Геометрический метод отбора корней

Геометрический способ отбора корней предполагает наличие у учащихся навыков изображения решения простейших тригонометри-ческих уравнений и неравенств на числовой окружности или прямой, поэтому необходимо напомнить им основные действия с точками числовой окружности, связанные с формулами решений простейших тригонометрических уравнений.

Геометрический способ предполагает:

а) изображение корней на тригонометрической окружности и их отбор с учетом имеющихся ограничений;

б) изображение корней на числовой прямой с последующим отбором и учетом имеющихся ограничений.

9

Решение задания 13 с отбором корней на окружности

ЕГЭ 2015

10

Отбор корней на числовой прямой

11

21

Отбор корней на числовой прямой

12

Геометрический метод отбора корней

Функционально-графический метод: отбор корней с использованием графиков простейших тригонометрических функций.

При этом подходе требуется умение схематичного построения графика тригонометрической функции и применение формул корней соответствующих уравнений.

13

21

Функционально-графический метод отбора корней

14

21

Метод замены

Если уравнение приводится к виду можно сделав замену , решить уравнение относительно t , а затем решить полученные уравнения с относительно .

15

21

Решение задания 13 (преобразование + замена)

16

21

Решение задания 13 (разложение на множители)

17

ЕГЭ 2015

27

Решение задания 13 (разложение на множители)

18

ЕГЭ 2014

28

Решение задания 13 (разложение на множители)

19

Пример оформления решения задания 13

20

30

Пример оформления решения задания 13

21

30