"Решение задач с помощью определенного интеграла"

"Решение задач с помощью определенного интеграла"

Класс: 11 класс.

Тип урока: зачет.

Цели и задачи урока: 

обучающие

• обобщить знания по теме «Определенный интеграл. Его применение. Решение задач»,

• проконтролировать знания, умения, навыки по теме

развивающие

• укрупнить учебную информацию по теме,

• формировать и развивать ключевые компетентности,

• показать возможности применения интеграла в физике, технике и других областях

воспитательные

• повышать ответственность учащегося за результаты своего труда.

Оборудование:

• плакат с изображением площадей фигур;

• справочники, учебники математического анализа;

• самодельные слайды-таблицы;

• перфокарты (cм. приложение 1);

• карточки-«контролеры» (см. приложение 2);

• плакат «Подготовка к зачету «Задачи, решаемые с помощью интеграла» (см. приложение 3)

• текст итоговой контрольной работы по теме (см. приложение 4);

• текст домашней самостоятельной работы (см. приложение 5).

Ход урока

I. Подготовка к зачету

Класс заранее разбивается на пять групп по темам:

1. Вывести формулу для вычисления площади фигуры, составленной из неперекрывающихся криволинейных трапеций.

2. Вывести формулу для вычисления площади фигуры, полученной как разность криволинейных трапеций, которые образованы графиками функций, принимающих только положительное значение.

3. Формула для вычисления площади фигуры, ограниченной графиком функции f(х), если f(x)

4. Интеграл как объем тела вращения.

5. Возможности применения интеграла в курсе физики.

Замечание: Для желающих предлагается вопрос нахождения длины кривой с помощью интеграла:

Задача:

а) . Вычислить длину кривой на

б) Сравните длину кривой на и .

II. Ход зачета

а) Представители групп подробно рассказывают о способах вычисления площадей фигур. Делают записи на доске. Ставят цели урока вместе с учителем.

б) Учителем раздаются карточки-«контролеры» для работы в группах (Приложение 2):

– Чьи карточки соответствуют докладу первой (второй и т.д.) группы?

в) Фронтальный опрос групп:

Первая группа

№27. Найдите на плакате фигуру, для вычисления площади которой надо сложить соответствующие интегралы.

№36. Какое свойство площадей надо использовать при вычислении площадей фигур сложной конфигурации. Покажите чертежи на доске.

№45. Расскажите о способе отыскания площади фигуры, составленной из двух неперекрывающихся криволинейных трапеций.

Вторая группа

№38. См. 27, вместо «сложить» читать «вычесть».

№39. В записи f(x)…g(x)…0вместо многоточий поставьте знаки «» так, чтобы можно было вычислить по формуле

площадь фигуры, образованной графиками функций f(x), g(x), x=a, x=b.

Третья группа

№60. Глядя на плакат (Приложение 3), укажите различные способы вычисления площади фигуры, выберите из них самый рациональный.

Четвертая группа

Творческо-самостоятельное задание на обобщение знаний. Особая задача

«Задача о каше»: Сережа насыпал в цилиндрическую кастрюлю немного пшена и спросил соседку: «Сколько нужно налить воды, чтобы получилась вкусная каша?» «Это очень просто, - ответила соседка, – наклони кастрюлю, постучи, чтобы крупа пересыпалась и закрыла ровно половину дна. Теперь заметь точку на стенке кастрюли у края, до которого поднялась крупа, и зажми ее пальцем. До этого уровня надо налить воду!» – «Так ведь пшена можно насыпать побольше или поменьше, да и кастрюли бывают разные – широкие узкие», – усомнился Сережа. «Все равно, мой способ годится в любом случае», - гордо ответила т. Люда».

Доказать: .

Рис.1

Поместим исследуемую модель в систему координат, чтобы основание цилиндра лежало в плоскости ХОУ, а центр основания О стал началом координат.

Рис.2

Через т. x оси ОХ, x [R;-R], строим сечение (горка крупы) плоскостью оси ОХ и оси ОУ. Это ΔMNX.

Значит, .

Т.к. т. М окружности радиуса R и имеет координаты (х;у), то