Школьный этап олимпиады по математике 7 класс 2019-2020 уч.г.

Школьный этап олимпиады по математике

2019-2020 учебный год

7 класс

1. Все клетки верхнего ряда квадрата 14× 14 заполнены водой, а в одной клетке лежит мешок с песком (см. рис.). За один ход Вася может положить мешки с песком в любые 3 не занятые водой клетки, после чего вода заполняет каждую из тех клеток, которые граничат с водой (по стороне), если в этой клетке нет мешка с песком. Ходы продолжаются, пока вода может заполнять новые клетки. Как действовать Васе, чтобы в итоге вода заполнила как можно меньше клеток?

1. Антон выписал на доску арифметическое выражение, а Лёня заменил в нём некоторые цифры буквами (разные цифры — разными буквами, одинаковые цифры — одинаковыми буквами). Получилось следующее:

Восстановите выражение. (Достаточно привести пример.)

1. Ребятам дали задания перевести скорость черепахи из сантиметров в секунду в метры в минуту. Маша получила ответ 25 м/мин, но при этом считала, что в метре 60 см, а в минуте 100 секунд. Помогите Маше найти правильный ответ.

2. Один из трёх друзей: Андрей, Борис или Владимир — самый сильный, другой — самый умный, третий — самый добрый. Однажды они сказали следующее: Андрей: Владимир сильнее меня. Борис: Я умнее Владимира. Владимир: Борис умнее меня. Известно, что самый сильный и самый добрый сказали правду, самый умный соврал и среди них нет двух людей, равных по силе. Верно ли, что среди трёх друзей тот, кто самый добрый, тот и самый слабый? Обоснуйте свой ответ.

3. Вдоль берега круглого озера растут яблони. Петя и Вася начинают идти из точки A на берегу в противоположных направлениях вдоль берега и считают все яблони, встретившиеся им на пути, а также все яблоки, растущие на яблонях. Встретившись в некоторой точке B, они сверили результаты. Оказалось, что Петя насчитал вдвое больше яблонь чем Вася, и в семь раз больше яблок, чем Вася. Их удивил этот результат, и они решили повторить эксперимент. Они отправились из точки B в тех же направлениях, что изначально, и встретились снова в точке C. Оказалось, что на пути от B до C Петя опять насчитал вдвое больше яблонь чем Вася, и в семь раз больше яблок, чем Вася. Их удивление стало ещё больше, и они опять решили повторить эксперимент. Отправившись из C в тех же направлениях, они встретились в точке D. Оказалось, что Петя опять насчитал вдвое больше яблонь, чем Вася. Кто из них на пути от C до D насчитал больше яблок и во сколько раз?

Ответы и критерии проверки

1. Ответ: Докажем, что, как бы Вася ни действовал, вода заполнит как минимум 37 клеток.

Решение: Как бы Вася ни действовал на первом ходу, после него во втором ряду окажется не больше 3 мешков, а значит, вода заполнит не менее 11 клеток во втором ряду. Как бы Вася ни действовал на втором ходу, после него в первых двух рядах окажется не больше 7 мешков, то есть останется не менее 14 − 7 = 7 вертикалей без мешков, по которым вода стечёт на третий ряд. Аналогичным образом после третьего хода заполнятся еще хотя бы 4 клетки, после четвёртого — хотя бы 1. Всего вода заполнит не менее 14 + 11 + 7 + 4 + + 1 = 37 клеток.

Добиться того, чтобы вода заполнила ровно 37 клеток, Вася может, положив мешки, например, как на рисунке (на первом ходу Вася кладет мешки во второй ряд, на втором – в третий и т. д.)

Критерий:

• Правильный ответ с решением: 7 б.

• Правильный ответ без решения: 4 б.

• Неверный ответ: 0 б.

2 .Ответ:

Решение: Других вариантов решения не существует.

Критерий:

• Правильный ответ: 7 б.

• Неверный ответ: 0 б.

3. Ответ: 9м/мин

Решение: Черепаха за одну Машину «минуту» преодолевает расстояние в 25 Машиных «метров», то есть за 100 секунд проползает 25 · 60 сантиметров. Тогда скорость черепахи равна 25·60:100 = 15 см/сек. Значит, за 60 секунд черепаха проползет 15 · 60 сантиметров, то есть 15·60:100 = 9 метров.

Критерий:

• Правильный ответ с решением: 7 б.

• Правильно найдена скорость в сантиметрах в секунду, а последующая часть не сделана или сделана с ошибкой: 4 б.

• Только правильный ответ: 1 б.

4. Ответ: да

Решение: Обозначим: А — Андрей, Б — Борис, В — Владимир. Утверждения Б и В повторяют друг друга, а так как имеется только одно неверное утверждение среди трёх, Б и В сказали правду, А — ложь. Следовательно, А самый умный (по условию), А сильнее В (так как А соврал) и Б умнее В (так как Б и В сказали правду). Раз А сильнее В, то В не самый сильный. Получается, что самый сильный Б, средний по силе А, самый слабый — В. При этом В не самый умный и не самый сильный, значит, он самый добрый. Для наглядности можно занести имеющуюся информацию в таблицу. Будем обозначать «места» каждого качества: 1 — первое место (самый умный / сильный / добрый), 2 — среднее, 3 — последнее место.

Из таблицы видно, что В — самый добрый и самый слабый.

Критерий:

• Правильное решение с верным ответом: 7 б.

• Верно и обоснованно найдено, кто самый сильный, кто самый умный и кто самый добрый, а дальше продвижений нет: 6 б.

• Обоснованно получено, Андрей самый умный, верно распределены друзья по силе (все 3 места), но не получено или не соотнесено с тем, что Владимир самый добрый: 5 б.

• Приведены рассуждения только для частного случая (например, рассмотрен только случай, что Андрей сказал неправду) без рассмотрения остальных частных случаев и без указания на их невозможность: 2 б.

• Верный ответ с указанием, кто самый умный, кто самый сильный и кто самый добрый, с проведённой проверкой, что при такой расстановке все условия задачи выполнены, но без обоснований: 2 б.

• Приведён только ответ: 1 б.

5. Ответ: На пути от C до D Вася насчитал в 3 раза больше яблок, чем Петя.

Решение: Пусть всего вдоль берега росло n яблонь. На пути от A до B Вася насчитал вдвое меньше яблонь, чем Петя, а вместе они сосчитали все яблони, растущие на берегу. Значит, Вася насчитал n:3 , а Петя — 2n:3 яблонь. Аналогично на пути от B до C Вася также насчитал n:3 , и от C до D — тоже n:3 яблонь. Значит, всего он насчитал ровно n:3 + n:3 + n:3 = n яблонь. Таким образом, пройдя путь от A до D, Вася встретил по одному разу все яблони, растущие на берегу.

Далее, пусть всего на яблонях росло m яблок. На пути от A до B Вася насчитал в семь раз меньше яблок, чем Петя, а вместе они насчитали m яблок. Значит, Вася насчитал m:8 , а Петя — 7m:8 яблок. Аналогично на пути от B до C Вася также насчитал m:8 яблок. Но всего на пути от A до D Вася насчитал m яблок (поскольку встретил по одному разу все яблони). Значит, на пути от C до D он насчитал m – m:8 − m:8 = 3m:4 яблок. Тогда Петя на пути от C до D насчитал m − 3m:4 = m:4 яблок, т.е. в 3 раза меньше, чем Вася.

Критерий:

• Правильный ответ с решением: 7б.

• Правильный ответ, но в обосновании допущены ошибки: 4б.

• Правильный ответ, без решения: 1б.