Симметрия в задачах с параметром

«Симметрия» в задачах с параметром

Определенную группу задач с параметром составляют задачи, в формулировке которых ключевым является слово «единственное». В этих задачах требуется найти все значения параметра, при которых уравнение (неравенство, система) имеет единственное решение. Эти задачи имеют особенность: их условия не изменяются при замене знака одной или нескольких переменных («симметрия» относительно знака) или при перестановке нескольких переменных («симметрия» относительно перестановки переменных). Эта особенность – ключ к решению задачи.

Пример 1.

Найти все значения параметра a, при которых уравнение
имеет единственное решение.

Решение.

Если число x₀ является решением данного уравнения, то и число также является его решением. Поэтому для единственности решения необходимо, чтобы x₀ = , то есть

При исходное уравнение примет вид: ,
Эти значения 0 и 2sin1 являются допустимыми значениями параметра. Проверим, являются ли условия достаточными для единственности решения.

Пусть тогда исходное уравнение примет вид: , x = 0 – единственный корень. Следовательно, удовлетворяет условию задачи.

Пусть . Тогда исходное уравнение примет вид:

Оценим обе части полученного уравнения. Так как при любом х, а на отрезке функция sin t является возрастающей, то

при любом х.

Левая часть

Поэтому уравнение равносильно системе:

Единственным решением этой системы является х = 0. Значит, также удовлетворяет условию задачи.

Ответ:

Пример 2.

Найти все значения параметра , при которых система

имеет единственное решение.

Решение.

, так как

Следовательно, .

Поэтому, если пара является решением исходной системы, то и пара также является ее решением. Значит, для того чтобы решение было единственным, необходимо равенство , то есть При y = 0 исходная система примет вид:

Решая второе уравнение системы, имеем:

или ,

или х = 0.

Подставим х = 0 в первое уравнение:

Итак, допустимые значения параметра:

Проверим, какие из этих допустимых значений удовлетворяют условию задачи.

При исходная система примет вид:

Оценим обе части первого уравнения системы. как сумма взаимно обратных положительных величин.

Поэтому последняя система равносильна следующей:

Значит, при исходная система имеет единственное решение (0; 0).

Пусть . Тогда исходная система примет вид:

Следовательно, при система имеет единственное решение (-3; 0).

При исходная система примет вид:

Система не имеет решения.

Ответ:

Пример 3.

Найти значения параметра t, при которых система имеет два решения.

Решение.

Если – решение системы, то , также будут решениями системы. Два решения будут в случае или .

При x = y исходная система примет вид: Из уравнения найдем допустимые значения параметра t: t = 1; t = 3.

При исходная система примет вид: Из уравнения
найдем допустимые значения параметра t: t = 1; t = 3.

Выполним проверку.

При t = 1 исходная система примет вид: Система не имеет решения при t = 1. Значение t = 1 не удовлетворяет условию задачи.

При t = 3 исходная система примет вид: Прибавим к первому уравнению системы второе уравнение, умноженное на 2. Затем вычтем из первого уравнения второе уравнение, умноженное на 2.

Система примет вид: или

При t = 3 исходная система имеет два решения:

При t = 3 исходная система примет вид: Система не имеет решений при t = 3. Значит, t = 3 не удовлетворяет условию задачи.

При t = 1 исходная система примет вид:

или

или

При t = 1 система (исходная) имеет два решения:

Ответ: t = 1, t = 3.

Пример 4.

Найти значения параметра , при которых система имеет единственное решение.

Решение.

Пусть решение системы, тогда также решение системы.

Система будет иметь единственное решение при , то есть

При исходная система примет вид: откуда найдем допустимые значения параметра

Проверка.

При исходная система примет вид:

или или три решения.

Значит, не удовлетворяет условию задачи.

При исходная система примет вид: Из первого уравнения системы , из второго уравнения Следовательно, , тогда Система имеет единственное решение (0; 1).

Ответ: .

Пример 5.

При каких значениях параметра уравнение имеет единственное решение.

Решение.

Если решение данного уравнения, то и также является его решением в силу четности функции в левой части уравнения. Следовательно,

При исходное уравнение примет вид: Таким образом, 0 и допустимые значения параметра.

Проверка. При уравнение примет вид: (три решения). Следовательно, не удовлетворяет условию задачи.

При исходное уравнение примет вид: Левая часть уравнения правая Следовательно, решением уравнения является решение системы: х=0 – единственное решение.

Ответ:

Пример 6.

Найти значения параметра при которых система имеет два решения.

Решение.

Если – решение данной системы, то , также являются решениями этой системы. Два решения будут, если или .

При x = y система примет вид:

Допустимое значение параметра равно 2,5.

При система примет вид: и не имеет решения.

Проверка: при = 2,5 исходная система примет вид:

два решения.

Ответ: = 2,5.

Пример 7.

Найти все значения параметра при каждом из которых уравнение имеет единственный корень.

Решение.

Уравнение не изменится, если заменить числом . Следовательно, уравнение имеет четное число ненулевых решений, а нечетное число решений будет только тогда, когда одно из них 0.

Подставим в исходное уравнение:

;

Следовательно, или

Если , то исходное уравнение примет вид:

Если

Если

Значит, исходное уравнение имеет три решения: -2; 0; 2.

Если , то исходное уравнение примет вид:

2

-2

x+2

x-2

При , имеем: , нет корней.

При ,

единственное решение.

При , имеем: , нет корней.

Значит, если то уравнение имеет единственное решение.

Если

Если

Ответ: ,

Пример 8.

Найти все значения параметра при каждом из которых уравнение имеет ровно три корня.

Решение.

Уравнение не изменится, если заменить числом . Следовательно, уравнение имеет четное число ненулевых решений, а три решения уравнение имеет только тогда, когда одно из них 0.

Подставим в исходное уравнение:

;

или

При исходное уравнение примет вид:

Если

Если

Итак, при уравнение имеет три корня: ; 0; 2.

Если , то исходное уравнение примет вид:

2

-2

x+2

x-2

При , имеем: , нет корней.

При ,

единственное решение.

При , имеем: , нет корней.

Значит, если то уравнение имеет единственное решение.

Ответ: