Справочный материал по разделу "Тригонометрия"

Справочный материал

• Радианная система измерения углов и дуг.
• Синус , косинус , тангенс , котангенс числа .
• Таблица значений тригонометрических функций.
• Знаки тригонометрических функций.
• Формулы тригонометрии .
• Арксинус , арккосинус , арктангенс , арккотангенс числа .
• Простейшие тригонометрические уравнения.
• Методы решения уравнений.
• Однородные тригонометрические уравнения.
• Неоднородные тригонометрические уравнения.

Радианная система измерения углов и дуг.

• Угол в 1 радиан – это центральный угол, опирающийся на дугу длиной 1, т. е. на дугу, длина которой равна радиусу окружности.

или

Формула перевода из градусной меры в радианную

Справочный материал

Определение . Если точка М числовой окружности соответствует числу t , то ординату точки М называют синусом числа t и обозначают sin t .

М( t )

Если М( t )=М(х;у), то

у= sin t .

sin t

Т. к. числовая окружность имеет радиус равный 1, то из определения следует, что

-1 ≤ sin t ≤ 1.

Справочный материал

Определение . Если точка М числовой окружности соответствует числу t , то абсциссу точки М называют косинусом числа t и обозначают со s t .

Если М( t )=М(х;у), то

х=со s t .

М( t )

со s t

Т. к. числовая окружность имеет радиус равный 1, то из определения следует, что

-1 ≤ со s t ≤ 1.

Справочный материал

• Определение . Отношение синуса числа t к косинусу того же числа называют тангенсом числа t и обозначают tg t .

tg

,где

Справочный материал

• Определение . Отношение косинуса числа t к синусу того же числа называют котангенсом числа t и обозначают с tg t .

с tg

,где

Справочный материал

Таблица значений тригонометрических функций.

Справочный материал

Знаки тригонометрических функций.

y= sin x

y= cos x

y= tg x

y= ctg x

+

-

+

+

+

-

-

-

-

-

+

+

-

+

+

-

Справочный материал

Формулы приведения

Формулы одного аргумента

Формулы сложения аргументов

Формулы двойного аргумента

Формулы преобразования сумм в произведение

Справочный материал

Арксинус числа а

arcsin a

0 ≤ а ≤1

у

а

Уравнение sin х=а , где -1 ≤ а ≤1, на промежутке имеет только один корень.

Р(1;0)

х

0

Если а ≥0 , то корень заключен в промежутке

если а 0, то корень заключен в промежутке

arcsin a

-1 ≤ а

у

Р(1;0)

х

0

а

Справочный материал

Арккосинус числа а

arccos a

0 ≤ а ≤1

у

Уравнение со s х=а , где -1 ≤ а ≤1, на промежутке 0 ≤ х ≤ π имеет только один корень.

Р(1;0)

а

х

0

Если а ≥0 , то корень заключен в промежутке

если а 0, то корень заключен в промежутке

arccos a

-1 ≤ а ≤ 0

у

Р(1;0)

а

х

0

Справочный материал

Арктангенс числа а

а

у

arctg a

а ≥ 0

Уравнение tg х=а , где а Є R , на промежутке имеет только один корень.

Р(1;0)

0

х

Если а ≥0 , то корень заключен в промежутке

если а 0, то корень заключен в промежутке

arctg a

а

у

Р(1;0)

х

0

а

Справочный материал

Арккотангенс числа а

arcctg a

а ≥ 0

у

а

Уравнение ctg х=а , где а Є R , на промежутке 0

Р(1;0)

х

0

Если а ≥0 , то корень заключен в промежутке

если а 0, то корень заключен в промежутке

arcctg a

а 0

у

а

Р(1;0)

х

0

Справочный материал

Простейшие тригонометрические уравнения

• cos x = а;

если |a|≤ 1; x=±arccos a +2 π n, n Є Z

• sin x = а;

если |a|≤ 1; x= (-1) n arcsin а + π n,n Є Z

• tg x = а;

x=arctg а + π n, n Є Z

• с tg x = а;

x=ar с ctg а + π n, n Є Z

Справочный материал

Два основных метода решения тригонометрических уравнений

• Метод введения новой переменной.

Например . Решить уравнение: sin 2 x+3sin x-4=0.

Пусть sin x =у, тогда у 2 +3у-4=0;

D = b² -4ас=25; у 1,2 = , у 1 =-4; у 2 =1;

sin x =-4 или sin x =1;

х Є О х= +2 π n , n Є Z

Ответ :

• Метод разложения на множители.

Например . Решить уравнение: 2 sin x cos5x – cos5x=0.

cos5x(2sin x – 1)=0.

Ответ:

Справочный материал