Структура исследовательской работы

Муниципальное общеобразовательное бюджетное учреждение средняя общеобразовательная школа села Нижние Киги муниципального района Кигинский район Республики Башкортостан

Методическая разработка

«Структура исследовательской работы»

Выполнила:

учитель информатики и математики

МОБУ СОШ с. Нижние Киги

МР Кигинский район РБ

Харисова Альфиня Рафаиловна

2017 г.

Структура работы: титульный лист, содержание, введение, теоретическая и практическая главы, выводы и заключение, литература и ресурсы, приложения. Общие требования:

• печатный вариант работы, листы формат А 4;

• кегль 12, межстрочный интервал 1,5;

• нумерация указывается внизу, по центру;

• объём работы желательно не превышать 15 страниц, плюс до 10 страниц в конце работы размещаются «Приложения» (диаграммы, таблицы, схемы, вопросы анкет или интервью, фото, иллюстрации и.т.д.).

Оформление результатов исследования - это трудоемкий этап работы. Существует несколько основных форм представления результатов научной работы: текст научного сочинения; статья, тезисы; доклад, сообщение; отчет и т. д.

Основные требования к их оформлению:

Статья представляет собой самостоятельный научный текст, где исследователь излагает собственные мысли по проблеме. Структура статьи схожа со структурой текста исследования, но представляет его как бы в миниатюре. В начале статьи выдвигается ее главный тезис, который затем подвергается аргументированному доказательству в основной части. В конце статьи помещаются выводы, подтверждающие либо опровергающие все вышесказанное.

Обе формы - и статья, и тезисы - создаются на основе текста собственного исследования, где подробно рассматривается весь ход исследования и описываются его результаты.

Начинается оформление итогов исследования с компоновки подготовленных текстов по главам в соответствии с примерной структурой работы. После того как главы сформированы, следует их внимательно прочитать и отредактировать как с точки зрения орфографии и синтаксиса, так и по содержанию (сверить цифры и факты, сноски, цитаты и т. п.).

Сразу же после прочтения каждой главы и осуществления правки приступают к написанию выводов к соответствующей главе. Вывод по главе обычно содержит изложение сущности вопроса, разбираемого в ней, и обобщение результатов проделанного анализа.

Далее составляется заключение по всей работе. Только после этого приступают к написанию введения к работе. Затем следует составление библиографического списка.

Титульный лист является первой страницей научной работы и заполняется по определенным правилам. На титульном листе указываются:

• полное наименование образовательного учреждения в верхней части листа в центре;

• название темы исследования более крупным шрифтом в центре листа (без слова «тема»);

• фамилия, имя и отчество автора исследования, указание на то, учеником какого класса является - в нижней части титульного листа справа (без слова «автор», не требуется указывать здесь образовательное учреждение);

• фамилия, имя, отчество, должность, научная степень и звание научного руководителя – ниже предыдущей записи (без слова «научный руководитель», не требуется указывать здесь образовательное учреждение);

• год и город - внизу страницы, в центре.

Оглавление следует за титульным листом. Оно включает в себя указание на основные элементы работы: введение, главы, параграфы, заключение, список литературы (библиография), приложения.

Вариант оглавления: перечень разделов работы, с указанием номеров страниц на которых начинается каждый раздел:

Введение……………………………………………………………………….….2

Глава I (название главы)………………………………………………………..4

Глава II (название главы)………………………………………………………..7

Заключение……………………………………………………………………….10

Список литературы……………………………………………………………....12

Приложения (вопросы анкет, таблицы, схемы, диаграммы, т.д………..……..13

В заголовках должна прослеживаться логика исследования. Художественное название не подходит к заголовкам глав и параграфов. Не должно быть вопросительной формы предложений в заголовках. Проанализируйте следующий ниже вариант оглавления. Без темы исследования невозможно здесь определить предмет исследования. Тема исследования указана ниже оглавления (размер шрифта 6).

ОГЛАВЛЕНИЕ

1. Введение ……………………………………………………………стр. 3

2. Добродушные великаны ………………………………………….. стр. 4

2.1. Грозный вид и добрый нрав ………………………………..стр. 4

2.2. Среда обитания ……………………………………………...стр. 6

2.3. Семья …………………………………………………………стр. 7

3. На грани исчезновения …………………………………………….стр. 8

3.1. Уничтожение естественной среды обитания ……………...стр. 8

3.2. Убийство ради еды ………………………………………….стр.9

3.3. Нездоровые сувениры ………………………………………стр. 10

3.4. Болезни ………………………………………………………стр. 11

4. Помощь людей ……………………………………………………. стр. 12

4.1. Борьба с браконьерством …………………………………...стр. 12

4.2. Питомники …………………………………………………..стр. 13

5. Заключение ……………………………………………………….. .стр. 14

6. Список литературы ………………………………………………. .стр. 15

7. Приложение ……………………………………………………….. стр.16

Спасение редких видов животных. Гориллы

Введение представляет собой наиболее ответственную часть научной работы, так как содержит в сжатой форме все основные, фундаментальные положения, обоснованию и проверке которых посвящено исследование. Введение должно включать в себя: актуальность исследования; проблему исследования; формулировку темы; объект, предмет; цель, гипотезу; задачи; методы исследования; структуру исследования; его практическую значимость и научную новизну исследования; краткий анализ литературы. Объём введения обычно 2-3 страницы.

Основная (содержательная) часть работы может содержать 2-3 главы. Глава 1 обычно содержит итоги анализа специальной литературы, теоретическое обоснование темы исследования; 2-3 главы описывают практические этапы работы, интерпретацию данных, выявление определенных закономерностей в изучаемых явлениях в ходе эксперимента. Каждая глава завершается выводами.

Заключение обычно составляет не больше 1-2 страниц. Основное требование к заключению: оно не должно дословно повторять выводы по главам. В заключении формулируются наиболее общие выводы по результатам исследования и предлагаются рекомендации. Необходимо отметить степень достижения цели, результаты проверки условий гипотезы, обозначить перспективы дальнейших исследований.

Выводы должны содержать то новое и существенное, что составляет научные и практические результаты проведенного исследования.

Составление библиографического списка требует особой точности.

Правила оформления в списке литературы различных вариантов изданий. Варианты построения списков литературы:

• алфавитный;

• систематический;

• в порядке первого упоминания работ в тексте;

• по главам научной работы.

Алфавитное расположение. Пример:

1. Аванесов, Г.А. Криминология / Г.А. Аванесов. – М., 1984.- …с.;

2. Барсуков, В.С. Обеспечение информ. безопасности / В.С. Барсуков. – М., 1996. - …с.;

3. Контрактное право. Мировая практика. – М., 1992. - …с.;

4. Шаваев, А.Г. Безопасность банковских структур / А.Г. Шаваев // Экономика и жизнь. – 1994.- N16.- с.;

5. Гиппиус, З. Н. Сочинения : в 2 т. / Зинаида Гиппиус. - М. : Лаком-книга : Габестро, 2001.- (Золотая проза серебряного века) Т. 1 : Романы. - 367 с.;

6. Каленчук, М. Л. О расширении понятия позиция / М. Л. Каленчук // Фортунатовский сборник : материалы науч. конф., посвящ. 100–летию Моск. лингвист. школы , 1897 – 1997 гг. / Рос. акад. наук , Ин-т рус. яз. – М., 2000. – С. 26-32

Статья из журнала

- Андреева, О. Средневековье: культ Прекрасной Дамы / О. Андреева // Наука и жизнь. - 2005. - N 1. - С. 118 – 125.

Статья из газеты

- Карельская изба : [ о проекте по созданию турист. центра в пос. Шуя] // Прионежье. - 2006. - 1 сент. (№ 32).

Законодательные материалы. Запись под заглавием:

Российская Федерация. Конституция (1993). Конституция Российской Федерации: офиц. текст. - М.: Маркетинг, 2001. - 39 с.

Электронные ресурсы

- Internet шаг за шагом [Электронный ресурс] : [интерактив. учеб.]. - Электрон. дан. и прогр. - СПб.: ПитерКом, 1997. - 1 электрон. опт. диск (CD-ROM) + прил. (127 с.). - Систем. требования: ПК от 486 DX 66 МГц; RAM 16 Mb.; Windows 95; зв. плата. - Загл. с экрана;

- Российская государственная библиотека [Электронный ресурс] / Центр информ. технологий РГБ; ред. Т.В. Власенко; Web - мастер Н.В. Козлова. - Электрон. дан. - М.: РГБ, 1997. - Режим доступа: http//www.rsl.ru, свободный. - Загл. с экрана;

- Российская аудитория Интернета преодолела порог в 5 млн. человек [Электронный ресурс] // Гильдия издателей периодической печати : [web - сайт]. – Режим доступа : http : // www.gipp.ru / print.php?id=511. - Описание основано на версии, датир.: февр., 10, 2005.

Библиографические ссылки - употребляются при цитировании, заимствованиях, упоминании того или иного документа. Виды библиографических ссылок:

• по составу элементов ссылка может быть полной или краткой;

• по месту расположения различают внутритекстовые, подстрочные, затекстовые ссылки;

• при повторе ссылок на один и тот же объект различают первичные и вторичные ссылки;

• если объектов ссылки несколько - их объединяют в одну комплексную ссылку.

Приложения. Основные требования при оформлении приложений можно формулировать так:

• размещаются после библиографического списка;

• в оглавлении приложение оформляется в виде самостоятельной рубрики, со сквозной нумерацией страниц всего текста;

• каждое приложение оформляется на отдельном листе и должно иметь заголовок в правом верхнем углу.

Иллюстрации к  исследовательской   работе  размещаются в целях придания излагаемому материалу ясности, конкретности, образности. Рисунки лучше размещать сразу же после первого упоминания о них в контексте работы. Если после упоминания о рисунке оставшееся место на странице не позволяет его разместить, то рисунок можно разместить на следующей странице. Таблицы, как и рисунки, располагаются после первого упоминания о них в тексте работы. Если таблицы непосредственно не связаны с текстом, то их можно располагать в приложении. Все таблицы должны иметь заголовки, которые кратко характеризуют содержание табличных данных. Цитаты в тексте работы заключаются в кавычки. На каждую цитату следует давать указание источника. После сведения частей работы в единое целое рекомендуется провести сплошную нумерацию сносок. При изложении концепции какого-либо автора можно обходиться и без цитат. В этом случае основные мысли автора описываются в точном соответствии с оригиналом по смыслу. Но и в этом случае обязательно делать сноску на источник. Цитаты можно привлекать и для иллюстрации собственных суждений. Однако, исследователь должен быть крайне аккуратен в цитировании и тщательно следить за его правильностью. Неполная, умышленно искаженная и подогнанная под цель исследователя цитата отнюдь не украшает его работу и не прибавляет ей значимости.

Темы научно-исследовательских задач по МАТЕМАТИКЕ

1. Таблицы и прямые. А) Дана таблица 4×4. В каждом квадратике 1×1 отмечен центр. Сколько существует различных прямых, проходящих только через два центра? Та же задача для доски т×п. а) Придумать алгоритм; б) попробовать найти рекуррентную формулу (или оценку).

Б) Дана таблица 4×4. В каждом квадратике 1×1 отмечен центр. Какое наименьшее количество прямых общего положения требуется для того, чтобы покрыть (зачеркнуть) все центры. Та же задача для доски т×п. а) Придумать алгоритм; б) попробовать найти рекуррентную формулу (или оценку).

2. Разрезания на прямоугольники различных фигур (не только прямоугольников)

Можно ли замостить доску 10×10 прямоугольниками 1×4?

Какое наибольшее количество полосок а) 1×5; б) 1×6; в) 1×7 можно вырезать из листа клетчатой бумаги размером 27×34? (Резать можно только по линиям клеток.)

Можно ли ввести отношение эквивалентности для разрезания различных досок, классы эквивалентности, элементарные представители классов.

3. Переливания (классические задачи, без концентраций, искусственных дополнительных условий).

А) Имеются две банки: 5 л и 3 л. Как с помощью этих банок налить в десятилитровое ведро 4 л воды? (Воду можно переливать из одной емкости в другую, доливать из крана, из другой емкости, вообще выливать.).

Б) Рассмотреть задачу в общем виде: банки а литров и b литров, какое количество литров с можно получить с их помощью. Изучить различные алгоритмы и подходы. Использовать диофантовы уравнения, математический бильярд, косоугольные координаты; рассмотреть задачу с ограничениями.

В) Решить указанную задачу для трех сосудов, при наличии ограничений и т.п.

*** ДРУГАЯ ЗАДАЧА о переливаниях:

Г) Интересна идея в задаче №33 из сб. «Всеросс. олим. школьн. по мат. 1993-2006»: «Имеется семь одинаковых стаканов с водой: первый стакан заполнен водой наполовину, второй на треть, третий на четверть, четвертый на одну пятую, пятый на одну восьмую, шестой – на одну девятую, и седьмой на одну десятую. Разрешается переливать воду из одного стакана в другой или переливать воду из одного стакана в другой до тех пор, пока тот не заполнится доверху. Может ли после нескольких переливаний какой-нибудь стакан оказаться наполненным:

а) на одну двенадцатую;

б) на одну шестую»;

в) (моя задача, Б.З.) найти все множество значений т/п такие, что можно некоторой последовательностью переливаний получить стакан, заполненный на т/п (0 т/п  1, т, п  N). Для решения этой задачи нужно будет подробно изучить различные комбинации переливаний, по существу понять что мы можем добавить в некоторый стакан (или сосуд), что из него отнять (своеобразное «сложение» и «вычитание»), как все это зависит от исходной комбинации стаканов (сосудов) и их заполненности. ______ .

5. Делимость произведения чисел на их сумму. Получите условия, при которых произведение п чисел делится на их сумму (числа не обязательно должны быть разными; случай, когда все различны - это отдельный пункт задачи). Источник задачи: № 144 из сб. «400 олимпиадных задач для школьников и студентов (из журнала «АММ»)», в которой рассматриваются произведения и суммы п последовательных натуральных чисел (отдельно четный и нечетный случай). См. также № 324 из указанного сборника.

Возможно обобщение этой задачи на многочлены

6. «Лопающиеся» круги (шары). (источник: задачник «Кванта» М1204, № 1, 1990 г.) На плоскости заданы точки А, В, С – центры трех кругов. Каждый круг равномерно раздувается (радиус увеличивается с одинаковой для всех кругов скоростью). Как только два круга касаются друг друга, они «лопаются» - их радиусы моментально уменьшаются до нуля – и начинают расти снова. Верно ли, что если расстояния АВ, ВС, СА – целые числа, то этот процесс будет периодическим?

А) Можно начать исследование с двух кругов с различными расстояниями между их центрами.

Б) Изучите, как может развиваться этот процесс, если треугольник АВС а) равносторонний; б) равнобедренный, в) прямоугольный со сторонами 3, 4, 5. Начальное состояние тоже может быть произвольным (не только нулевым).

В) Изучите различные обобщения этой задачи: на п кругов; в пространстве и др.

7. Сравнение расстояний (см. задачи 181 и 172 (Венг.мат.олимп., М, 1976г.) и 13.11 (Заруб.мат.олимп., М.,1987 г.))

• Четыре точки, лежащие на одной прямой, задают 6 различных отрезков. Докажите, что длина наибольшего из этих отрезков превышает длину наименьшего не менее чем в 3 раза.

• Докажите, что если четыре точки лежат в одной плоскости, то длина наибольшего из отрезков, образованных этими точками, превышает длину наименьшего не менее чем в раз.

• Обобщите задачи пунктов 1 и 2 на п точек (хотя бы для некоторых значений п).

• Пусть п точек лежат на одной окружности. Расстояния между двумя точками на окружности можно определять по-разному. Например, как длину меньшей дуги окружности, концами которой они являются. Или, как длину хорды их соединяющей. Решите задачи аналогичные предыдущим для точек, лежащих на окружности, с различными определениями расстояния.

• Придумайте и исследуйте другие обобщения этой задачи (например, для точек, принадлежащих другим фигурам, или для точек в пространстве).

9. Перекладывание камней. По кругу стоят n коробочек, в одной из них белый и чёрный камни, прочие пусты. Игроки перекладывают по очереди камни: первый перекладывает белый камень по часовой стрелке через одну или через две коробочки, второй — чёрный камень против часовой стрелки также через одну или через две. Победит тот, кто положит свой камень в коробочку с камнем соперника. Кто одержит победу при правильной игре? Рассмотрите случаи:

а) n = 13;

б) n = 14;

в) n = 15;

г) n произвольно.

Исследовать задачу при других длинах ходов.

Интересно, кстати, можно ли так подобрать длины ходов, чтобы была возможна ничья, и камни так и ходили по кругу от прохода до прохода?

10. Суммы цифр последовательностей чисел

а) Можно ли разделить все натуральные числа от 1 до 100 (или от 1 до 1000) на два множества таким образом, чтобы сумма цифр всех чисел одного множества была равна сумме цифр всех чисел второго?

б) Тот же вопрос для натуральных чисел от 1 до 2008 (от 1 до 2009).

в) Для различных натуральных п будем рассматривать множество N_n = {1, 2, …, n} всех натуральных чисел от 1 до п. Попробуйте определить, для каких п все натуральные числа от 1 до п можно разбить на два множества таким образом, чтобы сумма цифр всех чисел одного множества была равна сумме цифр всех чисел второго?

Предложите свои обобщения и направления исследования в этой задаче и исследуйте их.

1. Диофантовы уравнения

1.  а) Найдите наименьшие натуральные значения a и b, при которых выполняется равенство 2a² = 5b³. Будем называть такую пару наименьшим решением диофантового уравнения 2a² = 5b³ (*) и обозначать ее (a₀, b₀).

б) Найдите все натуральные решения уравнения (*). Множество всех решений уравнения (*), записанных с помощью формул, будем называть общим решением этого уравнения.

в) Найдите наименьшее решение и общее решение произвольного уравнения

рa² = qb³ , (**)

где р и q – произвольные простые числа.

2. Пусть М₁ и М₂ – общие решения уравнений соответственно

р₁a² = q₁b³ (1)

и р₂a² = q₂b³, (2)

где р₁ и q₁, а также р₂ и q₂ – различные простые числа, М – общее решение уравнения

р₁р₂a² = q₁q₂b³. ( 3)

Верно ли, что М = М₁М₂? Здесь М₁М₂ обозначает произведение множеств М₁ и М₂, т.е. множество, состоящее из всевозможных произведений элементов множеств М₁ и М₂.

Будем называть в дальнейшем уравнения (1) и (2) – простейшими уравнениями вида (*), а уравнение (3) – произведением уравнений (1) и (2).

3. Постройте наименьшее решение и общее решение уравнения

Рa² = Qb³, (4)

где Р и Q – произвольные взаимно простые натуральные числа. Исследуйте вопрос о разложении общего решения уравнения (4) в произведение общих решений простейших уравнений вида (**), с коэффициентами р_i и q_j, являющимися простыми сомножителями чисел Р и Q.

4. Постройте общее решение уравнения Рa^ = Qb^, где Р и Q – произвольные натуральные числа,  и  – взаимно простые натуральные числа.

5. Предложите свои обобщения и направления дальнейшего исследования в этой задаче и исследуйте их.

12. Целые точки на гиперболах

Рассмотрим ветвь гиперболы, заданной в декартовой прямоугольной системе координат уравнением xy = n, где n  N, координаты точек которой удовлетворяют условиям x, y 0. Эту ветвь гиперболы в дальнейшем для краткости будем называть положительной. Если обе координаты какой-либо точки, принадлежащей этой гиперболе, являются целыми числами, то такую точку будем называть целой.

1) Найдите количество целых точек на положительных ветвях гипербол:

а) ху = 6,

б) ху = 28,

в) ху = n, где п – произвольное натуральное число.

2) Охарактеризуйте гиперболы (укажите условия, которым должно удовлетворять натуральное число п в формуле, задающей гиперболу), на положительных ветвях которых имеется:

а) ровно одна целая точка;

б) ровно две целые точки;

в) ровно четыре целые точки.

г) для любого ли натурального числа s найдется гипербола, на положительной ветви которой имеется ровно s целых точек?

4) Рассмотрите вопросы пункта 2) в случае, когда рассматриваются целые точки на положительных ветвях двух различных гипербол ху = n и ху = т (трех и т.п.). Исследуйте вопрос о количестве целых точек, лежащих между положительными ветвями двух гипербол.

5) Пусть (x,y) точка в первой координатной четверти, через которую проходит гипербола A. Гиперболу Б называем ближайшей к гиперболе A в точке (x,y), если гипербола Б проходит, через одну из точек (x – 1; y), (x + 1; y), (x;  y – 1) или (x; y + 1). 

а) Сравните количество целых точек на ближайших гиперболах (интерес, например, представляют оценки целых точек на гиперболе А через количество целых точек на четырех ближайших гиперболах)

б) Существуют ли и, если да, то как много ближайших гипербол с равным количеством точек; с таким количеством точек, что на одной из них ровно в k раз больше точек, чем на другой?

6) Предложите свои обобщения в этой задаче и исследуйте их.

13. Постройка домов

Правила: Имеется клетчатая доска и дома разных цветов, имеющие форму куба. Любой дом можно ставить только в клеточку. В клеточке помещается только один дом. Синий дом можно ставить в любой клеточке, красный дом можно построить только по соседству с синим, жёлтый – по соседству с синим и красным домами (одновременно), зелёный – по соседству с синим, красным и жёлтым домами. Два дома называются соседними, если они граничат по «стенкам». Дом можно поставить и в такую клеточку, в которой уже стоит другой дом, при этом предыдущий дом сносится.

Вопросы:

1. Какое max количество

А) красных Б) жёлтых С) зелёных

домов можно построить на доске _.

2. Рассмотрите различные формы досок.

3. Попробовать решить задачу для n-угольных клеточек и соответствующих домов (доска может быть выпуклой).

4. Рассмотрите аналогичные задачи (к примеру, можно изменить правила стройки).

5. А если дома строить в пространстве, для начала, «разделённом на кубики»?

Лавринович Л.И.

1. Код, исправляющий ошибку. Предположим, что требуется передать сообщение из нулей и единиц. Запишем его в виде квадратной таблицы . Допишем к каждой строке сумму ее элементов по модулю 2. Получится еще один столбец. Затем аналогично поступим с каждым столбцом. Включая новый. Получим таблицу .

а) Докажите, что если при передаче новой таблицы произойдет одна ошибка, то эту ошибку можно будет найти и исправить.

б) Какое наименьшее число ошибок должно произойти, чтобы об этом нельзя было узнать.

в) рассмотрите аналогичную задачу, если код может состоять из k символов.

г) Предположим одно и тоже сообщение передается несколько раз. Известно, что при каждой передачи происходит определенное число ошибок. Какое наименьшее число передач необходимо, для того, чтобы с гарантией восстановить код?

1. Многоугольники в субцелочисленных решетках. Известна задача о расположении правильных многоугольников в целочисленных решетках. Рассмотреть данную задачу для случая, когда все вершины многоугольников могут лежать в некоторой окрестности узлов. Рассмотреть данную задачу, для почти правильных многоугольников.

1. Квадраты в различных системах счисления. Для данного числа N, записанного в десятичной системе счисления, определить существует ли такая система счисления, в которой число, записанное теми же цифрами, что и N, будет полным квадратом. Определить условия, когда не существует такой системы счисления. Если она существует, то определить единственна ли она.

2. Числа в различных системах счисления. Существуют числа, которые в различных системах счисления записываются одинаковым набором цифр. Например . Попытайтесь найти еще такие числа и системы счисления. Получите условия их существования.

3. Выборы1. Выборы президента США не прямые, двухступенчатые. В первом туре избиратели каждого штата отдают свои голоса выборщикам, число которых равно числу членов палаты представителей и сената от данного штата. Избранным считается целиком список выборщиков, получивших большинство голосов. Избранным считается кандидат в президенты набравший абсолютное число голосов выборщиков. Какое наименьшее число голосов избирателей должен набрать кандидат, чтобы победить.

4. Выборы2. Существуют множество алгоритмов и формул для определения формирования избирательных округов и формирования представительских органов. Исследовать данные алгоритмы. Попытаться построить свои алгоритмы.

5. Угадывание чисел. Двое играют в игру: один задумывает некоторое число, второй называет k чисел из промежутка от 1 до n. Первый прибавляет к задуманному числу одно из них и говорит результат и т.д. Найти минимальное число ходов, за которое второй игрок сможет определить задуманное число. Та же задача, но первый игрок проводит другую операцию над числами (вычитает, умножает, делит, возводит в степень и т.д)

6. Способы задания многоугольников. Есть различные способы задать многоугольники на плоскости. (Системы линейных неравенста, уравнения с модулями, параметрические уравнения.) Найти взаимосвязь между этими формами.

7. Фигуры наибольшей площади. На координатной плоскости задать множество точек наибольшей площади, удовлетворяющее условию: для любых двух точек множества площадь треугольника с вершинами в начале координат и в этой точке не превосходит .

8. Разложение на простейшие дроби. Рассматриваются дроби вида . Можно ли представить произвольное число в виде суммы таких дробей с различными знаменателями. Рассмотреть ту же задачи для случая простых знаменателей.

9. Крестики-нолики. Двое играют в игру на бесконечном листе бумаги. За ход один ставит N крестиков в любом месте. Другой – M ноликов. Последующими ходами можно ставить крестики и нолики только в клетки с уже помеченными. Проигрывает тот, кто не может сделать хода. Исследовать выигрышные стратегии. (Квант 1971)

10. Разложение многочленов на множители.

а) Найти различные между собой целые числа a, b, c, чтобы многочлен можно было разложить на множители с целыми коэффициентами.

б) Определите при каких условиях многочлен можно разложить на множители с целыми коэффициентами.

в) Рассмотрите многочлены более высокого порядка.

13. Прямоугольники на координатной плоскости

На координатной плоскости заданы точки A(0, 0), B(0, b), C(a, b) D(a, 0), являющиеся вершинами прямоугольника (ab0). Отрежем от прямоугольника с правой стороны квадрат наибольшей площади. Затем повернем плоскость против часовой стрелки на 90° и, если это возможно, опять отрежем справа квадрат наибольшей площади. Затем опять повернем плоскость против часовой стрелки на 90° и т.д. Данный процесс будет конечным, если после нескольких таких операций получится квадрат. В противном случае он бесконечный.

1. Определите условия конечности данного процесса в зависимости от значений a, b.

2. Определите условия, при которых операция отрезания квадрата будет осуществляться после каждого поворота.

3. Если процесс конечен, определите координаты вершин оставшегося квадрата.

4. Пусть a, b соотносятся в золотом сечении, т.е. , найдите координаты точки, которая останется после бесконечного числа отрезания.

5. Если процесс бесконечный, определите координаты оставшейся точки.

6. Пусть заданы координаты четырех вершин квадрата, определить существует ли прямоугольник, из которого с помощью описанных выше операций можно получить данный квадрат. Если существует, найдите координаты вершин такого прямоугольника:

а) по крайней мере координаты одного такого прямоугольника;

б) попробуйте описать множество таких прямоугольников (описать множество их вершин (рекуррентно или каким-либо другим способом)).

1. Пусть дана точка на плоскости, определите существует ли прямоугольник, из которого с помощью бесконечного числа описанных выше операций можно получить данную точку. Если существует, найдите координаты его вершин.

Наумик М.И.

1. Количество пар друзей.

На вечеринке компанию из 20 человек требуется усадить за 4 стола. Рассадка называется удачной, если любые два человека, оказавшиеся за одним столом, являются друзьями. Выяснилось, что удачные рассадки существуют, причем при любой удачной рассадке за каждым столом сидят ровно по 5 человек. Каково наибольшее возможное количество пар друзей в этой компании?

Каково наибольшее возможное количество пар друзей в этой компании, если:

1) поменять количество друзей и столов;

2) поменять количество человек за столом;

3) за частью столов сидит одно количество человек, а за другой частью столов сидит другое количество человек.

Обобщите эту задачу для n человек.

2. Необычные разрезания. Вася отметил 10 клеток в клетчатой таблице 10 × 10 клеток. Всегда ли Петя может вырезать из этой таблицы по линиям сетки 19 фигурок вида:

так, чтобы фигурки не содержали отмеченные клетки?

Обобщить эту задачу в разных направлениях.

3. «Степенные» диофантовы уравнения. а) Найдите все пары натуральных чисел n 1 и k, для которых 1ⁿ + 2ⁿ + … + (n – 1)ⁿ = n^k.

б) Решить в натуральных числах 1ⁿ + 2ⁿ + … + хⁿ = (х + 1)^у.

4. Гараж а) Гараж в Витебске представляет собой квадрат 7 × 7 клеточек, в каждой из которых можно поставить машину. Одна из сторон угловой клетки удалена (это ворота). Машина ездит по дорожке шириной в клетку. Разместите как можно больше машин в гараже таким образом, чтобы любая могла выехать, когда другие стоят.

Та же задача, если:

б) другие размеры гаража;

в) в гараже несколько ворот.

Обобщите задачу для m × n.

5. Тест

Тест состоит из 30 вопросов, на каждый есть 2 варианта ответа (один верный, другой – нет). За одну попытку Витя отвечает на все вопросы, после чего ему сообщают, на сколько вопросов он ответил верно. Сможет ли Витя действовать так, чтобы гарантированно узнать все верные ответы не позже, чем после 24-й попытки (и ответить верно на все вопросы при 25-1 попытке)?

А если изменить число вопросов?

А если изменить число ответов?

6. Прямая Симпсона

1. Прямая Симпсона для треугольника;

2. Прямая Симпсона для вписанного четырехугольника;

3. Прямая Симпсона для вписанного пятиугольника;

4. Прямая Симпсона для вписанного шестиугольника;

5. Прямая Симпсона для вписанного n-угольника.

7. Теорема Дроз-фарни и ее обобщение

1. Пусть две взаимно перпендикулярные прямые, проходящие через ортоцентры треугольника, высекают на прямых, содержащих стороны треугольника, три отрезка. Середины этих трех отрезков лежат на одной прямой.

2. Дан треугольник АВС, точка Р и проходящая через нее прямая d. Прямая, симметричная АР относительно d, пересекает ВС в точке А. Прямая В, С  определены аналогично. Тогда А, В, С  лежат на одной прямой.

8. Арифметические прогрессии

1. Дана строго возрастающая последовательность натуральных чисел S₁, S₂, S₃,.. такая, что каждая из двух последовательностей

S_S1, S_S2, S _S3,.. и S_S1+2, S _S2+2, S _S3+2,.. является арифметической прогрессией.

Докажите, что последовательность S_S1, S_S2, S _S3,.. также является

арифметической последовательностью.

1. Могут ли S_S1, S_S2, S _S3,.. и S_S1+2, S _S2+2, S _S3+2,.. являться арифметическими последовательностями. Если да, то будет ли в этом случае и последовательность S₁, S₂, S ₃,.. также арифметической.

2. Аналогичные вопросы и для последовательностей S_S1, S_S2, S _S3,.. и S_S1+к, S _Sк+2, S _Sк+2,..

9. Наперстки и монеты

1. По кругу стоят 100 наперстков. Под одним из них спрятана монетка. За один ход разрешается перевернуть четыре наперстка и проверить, лежит ли под одним из них монетка. После этого их возвращают в исходное положение, а монетка перемещается под один из соседних с ней наперстков. За какое наименьшее число ходов наверняка удастся обнаружить монетку?

2. Если монеток n?

3. Если монетка перемещается под один из близ стоящих наперстков.

10. Необычные равенства

1. Пусть n3. Докажите, что существуют целые отличные от нуля числа х₁, х₂, х_n такие, что

х₁ х₂ х_n = ( х₂ + х₃+…+ х_n )( х₁ + х₃ +…+ х_n )( х₁ + х₁ +…+ х_n-1 ).

1. Найдутся ли такие х₁, х₂, х_n целые отличные от нуля числа, что

х1 х2 хn = ( х3+ х4+…+ хn )( х1 + х4 +…+ хn )( х1 + х1 +…+ хn-2 ).

1. Структура и логика исследовательской работы.

Исследовательская работа, как и всякое творчество, возможна и эффективна только на добровольной основе. Учебные исследования могут разворачиваться вне уроков и обычной учебной работы как дополнительная, внеклассная, внеурочная работа.

Исследовательская работа может выполняться одним учеником или группой. Уровень трудностей и содержания должны превышать уровень учебного материала не менее чем на один класс. Ученик может и не интересоваться данным предметом, но исследовательской деятельностью занимается и она приносит определенную пользу. На ученика ложатся задачи наблюдения, описания и обобщения результатов работы, т.е. первичные действия. Материал должен быть доступен для исследования, и выполнение работы относительно простое.

Коснусь роли учителя в исследовательской деятельности. Учитель выполняет роль консультанта, подсказывает направления, редактирует текст. Привожу некоторые алгоритмы деятельности учителя по организации исследовательской деятельности:

1. Создать положительную мотивацию к работе через постановку интересной проблемы.

2. Совместное участие учителя и ученика в анализе проблемы.

3. Ознакомление с методами исследования.

4. Составление плана работы.

5. Поиск противоречий.

6. Промежуточный контроль и коррекция выполняемой работы.

7. Предзащита работы.

8. Окончательное оформление и защита работы.

Структура работы: титульный лист, оглавление, введение, теоретическая и практическая главы, выводы и заключение, литература и ресурсы, приложения.

1). Титульный лист является первой страницей работы и заполняется  по строго определенным правилам.

На титульном листе указываются:

• полное наименование образовательного учреждения в верхней части листа в центре;

• название темы исследования более крупным шрифтом в центре листа (без слова «тема»);

• фамилия, имя и отчество автора исследования, указание на то, учеником какого класса является - в нижней части титульного листа справа (не требуется указывать здесь образовательное учреждение);

• фамилия, имя, отчество, должность руководителя – ниже предыдущей записи (не требуется указывать здесь образовательное учреждение);

• год и населенный пункт - внизу страницы, в центре.

2) Оглавление следует за титульным листом. Оно включает в себя указание на основные элементы работы: введение, главы, параграфы, заключение, список литературы (библиография), приложения. Заголовки в оглавлении должны точно повторять заголовки в тексте. Нельзя сокращать заголовки или давать их в другой формулировке или последовательности. В заголовках должна прослеживаться логика исследования. Не должно быть вопросительной формы предложений в заголовках.

Вариант оглавления: перечень разделов работы, с указанием номеров страниц на которых начинается каждый раздел:

Введение……………………………………………………………………….…………2

Глава I (название главы)……………………………………………………………….4

1. (название)…………………………………………………………………………..4

Глава II (название главы)……………………………………………………………….7

2.1. (название) …………………………………………………………………………7

Заключение……………………………………………………………………………...10

Список литературы……………………………………………………………..............12

Приложения (вопросы анкет, таблицы, схемы, диаграммы, т.д………..……………13

Введение представляет собой наиболее ответственную часть научной работы, так как содержит в сжатой форме все основные, фундаментальные положения, обоснованию и проверке которых посвящено исследование. Введение должно включать в себя: проблему исследования; формулировку темы; актуальность исследования; объект, предмет; цель, гипотезу; задачи; методы исследования; структуру исследования; его практическую значимость и научную новизну исследования; краткий анализ литературы. Объём введения обычно 2-3 страницы.

• Найти проблему – что надо изучать.

(Проблема должна быть выполнима, решение её должно принести реальную пользу участникам исследования. Затем это надо назвать – тема.)

• Тема – как это назвать.

(Тема должна быть оригинальной, в ней необходим элемент неожиданности, необычности, она должна быть такой, чтобы работа могла быть выполнена относительно быстро.)

• Актуальность – почему эту проблему нужно изучать.

• Цель исследования – какой результат предполагается получить.

(Обычно цель заключается в изучении определенных явлений.)

• Задачи исследования – что делать – теоретически и экспериментально.

(Задачи и цели – не одно и то же. Цель исследовательской работы бывает одна, а задач бывает несколько. Задачи показывают, что вы собираетесь делать. Формулировка задач тесно связана со структурой исследования. Причем, отдельные задачи могут быть поставлены для теоретической части и для экспериментальной. Сколько задач столько и глав в работе.)

• Гипотеза – что не очевидно в объекте.

(Гипотеза – это предвидение событий, это вероятное знание, ещё не доказанное. Изначально гипотеза не истина и не лож – она просто не доказана. Гипотеза должна быть обоснованной, т. е. подкрепляться литературными данными и логическими соображениями.)

4). Основная (содержательная) часть работы может содержать 2-3 главы. Глава 1 обычно содержит итоги анализа специальной литературы, теоретическое обоснование темы исследования; 2-3 главы описывают практические этапы работы, интерпретацию данных, выявление определенных закономерностей в изучаемых явлениях в ходе эксперимента. Каждая глава завершается выводами. Вывод по главе обычно содержит изложение сущности вопроса, разбираемого в ней, и обобщение результатов проделанного анализа. После того как главы сформированы, следует их внимательно прочитать и отредактировать как с точки зрения орфографии и синтаксиса, так и по содержанию (сверить цифры и факты, сноски, цитаты и т. п.).

Все материалы, которые не являются насущно важными для понимания научной задачи, вспомогательные и дополнительные материалы, которые загромождают текст основной части, выносятся в приложения и примечания. Содержание глав основной части должно полностью соответствовать теме и полностью ее раскрывать. Эти главы должны показать умение исследователя сжато, логично и аргументировано излагать материал.

5). Заключение обычно составляет не больше 1-2 страниц. Основное требование к заключению: оно не должно дословно повторять выводы по главам. В заключении формулируются наиболее общие выводы по результатам исследования и предлагаются рекомендации. В некоторых случаях возникает необходимость указать пути дальнейшего исследования, а также конкретные задачи, которые придется решать в первую очередь. Практические предложения значительно повышают ценность теоретического материала. Необходимо отметить степень достижения цели, результаты проверки условий гипотезы, обозначить перспективы дальнейших исследований.

6). Составление библиографического списка требует особой точности. Каждый литературный источник, включенный в такой список, должен иметь отражение в работе. Если автор делает ссылку на какие – либо факты или цитирует работы других авторов, то он обязательно должен указать в подстрочной ссылке, откуда взяты приведенные материалы. Ссылка на источник с указанием страниц может быть вставлена в основном тексте в квадратных скобках. Не следует включать в список те работы, которые фактически не были использованы.

Правила оформления в списке литературы различных вариантов изданий. Варианты построения списков литературы:

• алфавитный;

• систематический;

• в порядке первого упоминания работ в тексте;

• по главам научной работы.

Алфавитное расположение. Пример:

1. Аванесов, Г.А. Криминология / Г.А. Аванесов. – М., 2009.- …с.;

2. Барсуков, В.С. Обеспечение информ. безопасности / В.С. Барсуков. – М., 2010. - …с.;

3. Контрактное право. Мировая практика. – М., 2011. - …с.;

4. Шаваев, А.Г. Безопасность банковских структур / А.Г. Шаваев // Экономика и жизнь. – 2011.- N16.- с.;

5. Гиппиус, З. Н. Сочинения : в 2 т. / Зинаида Гиппиус. - М. : Лаком-книга : Габестро, 2012.- (Золотая проза серебряного века) Т. 1 : Романы. - 367 с.;

Статья из журнала

- Андреева, О. Средневековье: культ Прекрасной Дамы / О. Андреева // Наука и жизнь. - 2013. - N 1. - С. 118 – 125.

Статья из газеты

- Карельская изба : [ о проекте по созданию турист. центра в пос. Шуя] // Прионежье. - 2014. - 1 сент. (№ 32).

Законодательные материалы. Запись под заглавием:

Российская Федерация. Конституция (1993). Конституция Российской Федерации: офиц. текст. - М.: Маркетинг, 2015. - 39 с.

Электронные ресурсы

- Internet шаг за шагом [Электронный ресурс] : [интерактив. учеб.]. - Электрон. дан. и прогр. - СПб.: ПитерКом, 1997. - 1 электрон. опт. диск (CD-ROM) + прил. (127 с.). - Систем. требования: ПК от 486 DX 66 МГц; RAM 16 Mb.; Windows 95; зв. плата. - Загл. с экрана;

- Российская государственная библиотека [Электронный ресурс] / Центр информ. технологий РГБ; ред. Т.В. Власенко; Web - мастер Н.В. Козлова. - Электрон. дан. - М.: РГБ, 1997. - Режим доступа: http//www.rsl.ru, свободный. - Загл. с экрана;

- Российская аудитория Интернета преодолела порог в 5 млн. человек [Электронный ресурс] // Гильдия издателей периодической печати : [web - сайт]. – Режим доступа : http : // www.gipp.ru / print.php?id=511. - Описание основано на версии, датир.: февр., 10, 2005.

7). Приложения. Основные требования при оформлении приложений можно формулировать так:

• размещаются после библиографического списка;

• в оглавлении приложение оформляется в виде самостоятельной рубрики, со сквозной нумерацией страниц всего текста;

• каждое приложение оформляется на отдельном листе и должно иметь заголовок в правом верхнем углу.

В процессе исследования часто получается большой массив чисел, которые в тексте представлять не нужно. Поэтому рабочие данные обрабатывают и представляют только самые необходимые. Однако, нужно помнить, что кто-то может захотеть познакомиться с первичным материалом исследования. Чтобы не перегружать основную часть работы, первичный материал может выноситься в приложение.

8) Наиболее выигрышной формой представления данных является графическая, которая максимально облегчает читателю восприятие текста. Всегда ставьте себя на место читателя.

Иллюстрации к исследовательской работе размещаются в целях придания излагаемому материалу ясности, конкретности, образности. Рисунки лучше размещать сразу же после первого упоминания о них в контексте работы. Если после упоминания о рисунке оставшееся место на странице не позволяет его разместить, то рисунок можно разместить на следующей странице. Таблицы, как и рисунки, располагаются после первого упоминания о них в тексте работы. Если таблицы непосредственно не связаны с текстом, то их можно располагать в приложении. Все таблицы должны иметь заголовки, которые кратко характеризуют содержание табличных данных. Цитаты в тексте работы заключаются в кавычки. На каждую цитату следует давать указание источника. Однако, исследователь должен быть крайне аккуратен в цитировании и тщательно следить за его правильностью. Неполная, умышленно искаженная и подогнанная под цель исследователя цитата отнюдь не украшает его работу и не прибавляет ей значимости.

2. Общие требования и правила оформления текстов исследовательских работ.

Для оформления текстов исследовательских работ существуют общие требования и правила.

Объем исследовательской работы колеблется от 20 до 25 страниц печатного текста (без приложений), доклада – 1-5 страниц (в зависимости от номера класса и степени готовности ученика к такого рода деятельности). Обратите внимание! Каждое Положение о научно-исследовательском конкурсе может иметь свои требования к оформлению работ учащихся.

Для текста, выполненного на компьютере, - размер шрифта 14, Times New Roman, обычный; интервал между строк – 1,5; размер полей: левого – 30 мм., правого – 10 мм., верхнего – 20 мм., нижнего – 20 мм. (при изменении размеров полей необходимо учитывать, что правое и левое, а так же верхнее и нижнее поля должны составлять в сумме 40 мм.). При правильно выбранных параметрах на странице должно умещаться в среднем 30 строк, а в строке – в среднем 60 печатных знаков, включая знаки препинания и пробелы между словами.

Текст печатается на одной стороне страницы; сноски и примечания печатаются на той же странице, к которой они относятся (через 1 интервал, более мелким шрифтом, чем текст).

Все страницы нумеруются, начиная с титульного листа; цифру номера страницы ставят внизу справа страницы; на титульном листе, оглавлении номер страницы не ставится. Каждый новый раздел (введение, главы, параграфы, заключение, список источников, приложения) начинается с новой страницы.

Расстояние между названием раздела (заголовками главы или параграфа) и последующим текстом должно быть равно двум интервалам. Заголовок располагается посередине строки, точку в конце заголовка не ставят.

3. Процедура защиты

Следующий этап – доклад как закономерный итог выполнения исследовательской работы. Результаты работы представляются на конференции, публично.

Задача докладчика: точно и эмоционально изложить саму суть исследования. В ходе доклада недопустимо зачитывание работы, а кратко отразить основное содержание всех глав и разделов работы. Надо иметь ввиду, что допускаемая регламентом продолжительность выступления 5-7 минут. Поэтому при подготовке доклада из текста работы отбирается самое главное. Иногда приходится “жертвовать” и некоторыми важными моментами, если без них можно обойтись. При изложении материала следует придерживаться отдельного плана, соответствующего структуре и логике выполнения самой исследовательской работы.

Все остальное, если у аудитории возник интерес излагается в ответах на вопросы.

Написанная работа и доклад по ней – совершенно разные жанры научного творчества.

Примерные темы научно-исследовательских задач по МАТЕМАТИКЕ

1. Таблицы и прямые. А) Дана таблица 4×4. В каждом квадратике 1×1 отмечен центр. Сколько существует различных прямых, проходящих только через два центра? Та же задача для доски т×п. а) Придумать алгоритм; б) попробовать найти рекуррентную формулу (или оценку).

Б) Дана таблица 4×4. В каждом квадратике 1×1 отмечен центр. Какое наименьшее количество прямых общего положения требуется для того, чтобы покрыть (зачеркнуть) все центры. Та же задача для доски т×п. а) Придумать алгоритм; б) попробовать найти рекуррентную формулу (или оценку).

2. Разрезания на прямоугольники различных фигур (не только прямоугольников)

Можно ли замостить доску 10×10 прямоугольниками 1×4?

Какое наибольшее количество полосок а) 1×5; б) 1×6; в) 1×7 можно вырезать из листа клетчатой бумаги размером 27×34? (Резать можно только по линиям клеток.)

Можно ли ввести отношение эквивалентности для разрезания различных досок, классы эквивалентности, элементарные представители классов.

3. Переливания (классические задачи, без концентраций, искусственных дополнительных условий).

А) Имеются две банки: 5 л и 3 л. Как с помощью этих банок налить в десятилитровое ведро 4 л воды? (Воду можно переливать из одной емкости в другую, доливать из крана, из другой емкости, вообще выливать.).

Б) Рассмотреть задачу в общем виде: банки а литров и b литров, какое количество литров с можно получить с их помощью. Изучить различные алгоритмы и подходы. Использовать диофантовы уравнения, математический бильярд, косоугольные координаты; рассмотреть задачу с ограничениями.

В) Решить указанную задачу для трех сосудов, при наличии ограничений и т.п.

4.*** ДРУГАЯ ЗАДАЧА о переливаниях:

Г) Интересна идея в задаче №33 из сб. «Всеросс. олим. школьн. по мат. 1993-2006»: «Имеется семь одинаковых стаканов с водой: первый стакан заполнен водой наполовину, второй на треть, третий на четверть, четвертый на одну пятую, пятый на одну восьмую, шестой – на одну девятую, и седьмой на одну десятую. Разрешается переливать воду из одного стакана в другой или переливать воду из одного стакана в другой до тех пор, пока тот не заполнится доверху. Может ли после нескольких переливаний какой-нибудь стакан оказаться наполненным:

а) на одну двенадцатую;

б) на одну шестую»;

в) (моя задача, Б.З.) найти все множество значений т/п такие, что можно некоторой последовательностью переливаний получить стакан, заполненный на т/п (0

5. Делимость произведения чисел на их сумму. Получите условия, при которых произведение п чисел делится на их сумму (числа не обязательно должны быть разными; случай, когда все различны - это отдельный пункт задачи). Источник задачи: № 144 из сб. «400 олимпиадных задач для школьников и студентов (из журнала «АММ»)», в которой рассматриваются произведения и суммы п последовательных натуральных чисел (отдельно четный и нечетный случай). См. также № 324 из указанного сборника.

Возможно обобщение этой задачи на многочлены

6. «Лопающиеся» круги (шары). На плоскости заданы точки А, В, С – центры трех кругов. Каждый круг равномерно раздувается (радиус увеличивается с одинаковой для всех кругов скоростью). Как только два круга касаются друг друга, они «лопаются» - их радиусы моментально уменьшаются до нуля – и начинают расти снова. Верно ли, что если расстояния АВ, ВС, СА – целые числа, то этот процесс будет периодическим?

А) Можно начать исследование с двух кругов с различными расстояниями между их центрами.

Б) Изучите, как может развиваться этот процесс, если треугольник АВС а) равносторонний; б) равнобедренный, в) прямоугольный со сторонами 3, 4, 5. Начальное состояние тоже может быть произвольным (не только нулевым).

В) Изучите различные обобщения этой задачи: на п кругов; в пространстве и др.

7. Сравнение расстояний

• Четыре точки, лежащие на одной прямой, задают 6 различных отрезков. Докажите, что длина наибольшего из этих отрезков превышает длину наименьшего не менее чем в 3 раза.

• Докажите, что если четыре точки лежат в одной плоскости, то длина наибольшего из отрезков, образованных этими точками, превышает длину наименьшего не менее чем в раз.

• Обобщите задачи пунктов 1 и 2 на п точек (хотя бы для некоторых значений п).

• Пусть п точек лежат на одной окружности. Расстояния между двумя точками на окружности можно определять по-разному. Например, как длину меньшей дуги окружности, концами которой они являются. Или, как длину хорды их соединяющей. Решите задачи аналогичные предыдущим для точек, лежащих на окружности, с различными определениями расстояния.

• Придумайте и исследуйте другие обобщения этой задачи (например, для точек, принадлежащих другим фигурам, или для точек в пространстве).

8. Перекладывание камней. По кругу стоят n коробочек, в одной из них белый и чёрный камни, прочие пусты. Игроки перекладывают по очереди камни: первый перекладывает белый камень по часовой стрелке через одну или через две коробочки, второй — чёрный камень против часовой стрелки также через одну или через две. Победит тот, кто положит свой камень в коробочку с камнем соперника. Кто одержит победу при правильной игре? Рассмотрите случаи:

а) n = 13;

б) n = 14;

в) n = 15;

г) n произвольно.

Исследовать задачу при других длинах ходов.

Интересно, кстати, можно ли так подобрать длины ходов, чтобы была возможна ничья, и камни так и ходили по кругу от прохода до прохода?

9. Суммы цифр последовательностей чисел

а) Можно ли разделить все натуральные числа от 1 до 100 (или от 1 до 1000) на два множества таким образом, чтобы сумма цифр всех чисел одного множества была равна сумме цифр всех чисел второго?

б) Тот же вопрос для натуральных чисел от 1 до 2008 (от 1 до 2009).

в) Для различных натуральных п будем рассматривать множество Nn = {1, 2, …, n} всех натуральных чисел от 1 до п. Попробуйте определить, для каких п все натуральные числа от 1 до п можно разбить на два множества таким образом, чтобы сумма цифр всех чисел одного множества была равна сумме цифр всех чисел второго?

Предложите свои обобщения и направления исследования в этой задаче и исследуйте их.

10. Диофантовы уравнения

1. а) Найдите наименьшие натуральные значения a и b, при которых выполняется равенство 2a2 = 5b3. Будем называть такую пару наименьшим решением диофантового уравнения 2a2 = 5b3 (*) и обозначать ее (a0, b0).

б) Найдите все натуральные решения уравнения (*). Множество всех решений уравнения (*), записанных с помощью формул, будем называть общим решением этого уравнения.

в) Найдите наименьшее решение и общее решение произвольного уравнения

рa2 = qb3 , (**)

где р и q – произвольные простые числа.

2. Пусть М1 и М2 – общие решения уравнений соответственно

р1a2 = q1b3 (1)

и р2a2 = q2b3, (2)

где р1 и q1, а также р2 и q2 – различные простые числа, М – общее решение уравнения

р1р2a2 = q1q2b3. ( 3)

Верно ли, что М = М1•М2? Здесь М1•М2 обозначает произведение множеств М1 и М2, т.е. множество, состоящее из всевозможных произведений элементов множеств М1 и М2.

Будем называть в дальнейшем уравнения (1) и (2) – простейшими уравнениями вида (*), а уравнение (3) – произведением уравнений (1) и (2).

3. Постройте наименьшее решение и общее решение уравнения

Рa2 = Qb3, (4)

где Р и Q – произвольные взаимно простые натуральные числа. Исследуйте вопрос о разложении общего решения уравнения (4) в произведение общих решений простейших уравнений вида (**), с коэффициентами рi и qj, являющимися простыми сомножителями чисел Р и Q.

4. Постройте общее решение уравнения Рa = Qb, где Р и Q – произвольные натуральные числа,  и  – взаимно простые натуральные числа.

5. Предложите свои обобщения и направления дальнейшего исследования в этой задаче и исследуйте их.

11. Целые точки на гиперболах

Рассмотрим ветвь гиперболы, заданной в декартовой прямоугольной системе координат уравнением xy = n, где n  N, координаты точек которой удовлетворяют условиям x, y 0. Эту ветвь гиперболы в дальнейшем для краткости будем называть положительной. Если обе координаты какой-либо точки, принадлежащей этой гиперболе, являются целыми числами, то такую точку будем называть целой.

1) Найдите количество целых точек на положительных ветвях гипербол:

а) ху = 6,

б) ху = 28,

в) ху = n, где п – произвольное натуральное число.

2) Охарактеризуйте гиперболы (укажите условия, которым должно удовлетворять натуральное число п в формуле, задающей гиперболу), на положительных ветвях которых имеется:

а) ровно одна целая точка;

б) ровно две целые точки;

в) ровно четыре целые точки.

г) для любого ли натурального числа s найдется гипербола, на положительной ветви которой имеется ровно s целых точек?

4) Рассмотрите вопросы пункта 2) в случае, когда рассматриваются целые точки на положительных ветвях двух различных гипербол ху = n и ху = т (трех и т.п.). Исследуйте вопрос о количестве целых точек, лежащих между положительными ветвями двух гипербол.

5) Пусть (x,y) точка в первой координатной четверти, через которую проходит гипербола A. Гиперболу Б называем ближайшей к гиперболе A в точке (x,y), если гипербола Б проходит, через одну из точек (x – 1; y), (x + 1; y), (x; y – 1) или (x; y + 1).

а) Сравните количество целых точек на ближайших гиперболах (интерес, например, представляют оценки целых точек на гиперболе А через количество целых точек на четырех ближайших гиперболах)

б) Существуют ли и, если да, то как много ближайших гипербол с равным количеством точек; с таким количеством точек, что на одной из них ровно в k раз больше точек, чем на другой?

6) Предложите свои обобщения в этой задаче и исследуйте их.

12. Постройка домов

Правила: Имеется клетчатая доска и дома разных цветов, имеющие форму куба. Любой дом можно ставить только в клеточку. В клеточке помещается только один дом. Синий дом можно ставить в любой клеточке, красный дом можно построить только по соседству с синим, жёлтый – по соседству с синим и красным домами (одновременно), зелёный – по соседству с синим, красным и жёлтым домами. Два дома называются соседними, если они граничат по «стенкам». Дом можно поставить и в такую клеточку, в которой уже стоит другой дом, при этом предыдущий дом сносится.

Вопросы:

1. Какое max количество

А) красных Б) жёлтых С) зелёных

домов можно построить на доске .

2. Рассмотрите различные формы досок.

3. Попробовать решить задачу для n-угольных клеточек и соответствующих домов (доска может быть выпуклой).

4. Рассмотрите аналогичные задачи (к примеру, можно изменить правила стройки).

5. А если дома строить в пространстве, для начала, «разделённом на кубики»?

13. Код, исправляющий ошибку. Предположим, что требуется передать сообщение из нулей и единиц. Запишем его в виде квадратной таблицы . Допишем к каждой строке сумму ее элементов по модулю 2. Получится еще один столбец. Затем аналогично поступим с каждым столбцом. Включая новый. Получим таблицу .

а) Докажите, что если при передаче новой таблицы произойдет одна ошибка, то эту ошибку можно будет найти и исправить.

б) Какое наименьшее число ошибок должно произойти, чтобы об этом нельзя было узнать.

в) рассмотрите аналогичную задачу, если код может состоять из k символов.

г) Предположим одно и тоже сообщение передается несколько раз. Известно, что при каждой передачи происходит определенное число ошибок. Какое наименьшее число передач необходимо, для того, чтобы с гарантией восстановить код?

14. Многоугольники в субцелочисленных решетках. Известна задача о расположении правильных многоугольников в целочисленных решетках. Рассмотреть данную задачу для случая, когда все вершины многоугольников могут лежать в некоторой окрестности узлов. Рассмотреть данную задачу, для почти правильных многоугольников.

15. Квадраты в различных системах счисления. Для данного числа N, записанного в десятичной системе счисления, определить существует ли такая система счисления, в которой число, записанное теми же цифрами, что и N, будет полным квадратом. Определить условия, когда не существует такой системы счисления. Если она существует, то определить единственна ли она.

16. Числа в различных системах счисления. Существуют числа, которые в различных системах счисления записываются одинаковым набором цифр. Например . Попытайтесь найти еще такие числа и системы счисления. Получите условия их существования.

17. Выборы1. Выборы президента США не прямые, двухступенчатые. В первом туре избиратели каждого штата отдают свои голоса выборщикам, число которых равно числу членов палаты представителей и сената от данного штата. Избранным считается целиком список выборщиков, получивших большинство голосов. Избранным считается кандидат в президенты набравший абсолютное число голосов выборщиков. Какое наименьшее число голосов избирателей должен набрать кандидат, чтобы победить.

18. Выборы2. Существуют множество алгоритмов и формул для определения формирования избирательных округов и формирования представительских органов. Исследовать данные алгоритмы. Попытаться построить свои алгоритмы.

19. Угадывание чисел. Двое играют в игру: один задумывает некоторое число, второй называет k чисел из промежутка от 1 до n. Первый прибавляет к задуманному числу одно из них и говорит результат и т.д. Найти минимальное число ходов, за которое второй игрок сможет определить задуманное число. Та же задача, но первый игрок проводит другую операцию над числами (вычитает, умножает, делит, возводит в степень и т.д)

20. Способы задания многоугольников. Есть различные способы задать многоугольники на плоскости. (Системы линейных неравенста, уравнения с модулями, параметрические уравнения.) Найти взаимосвязь между этими формами.

21. Фигуры наибольшей площади. На координатной плоскости задать множество точек наибольшей площади, удовлетворяющее условию: для любых двух точек множества площадь треугольника с вершинами в начале координат и в этой точке не превосходит .

22. Разложение на простейшие дроби. Рассматриваются дроби вида . Можно ли представить произвольное число в виде суммы таких дробей с различными знаменателями. Рассмотреть ту же задачи для случая простых знаменателей.

23. Крестики-нолики. Двое играют в игру на бесконечном листе бумаги. За ход один ставит N крестиков в любом месте. Другой – M ноликов. Последующими ходами можно ставить крестики и нолики только в клетки с уже помеченными. Проигрывает тот, кто не может сделать хода. Исследовать выигрышные стратегии. (Квант 1971)

24. Разложение многочленов на множители.

а) Найти различные между собой целые числа a, b, c, чтобы многочлен можно было разложить на множители с целыми коэффициентами.

б) Определите при каких условиях многочлен можно разложить на множители с целыми коэффициентами.

в) Рассмотрите многочлены более высокого порядка.

25. Прямоугольники на координатной плоскости

На координатной плоскости заданы точки A(0, 0), B(0, b), C(a, b) D(a, 0), являющиеся вершинами прямоугольника (ab0). Отрежем от прямоугольника с правой стороны квадрат наибольшей площади. Затем повернем плоскость против часовой стрелки на 90° и, если это возможно, опять отрежем справа квадрат наибольшей площади. Затем опять повернем плоскость против часовой стрелки на 90° и т.д. Данный процесс будет конечным, если после нескольких таких операций получится квадрат. В противном случае он бесконечный.

1. Определите условия конечности данного процесса в зависимости от значений a, b.

2. Определите условия, при которых операция отрезания квадрата будет осуществляться после каждого поворота.

3. Если процесс конечен, определите координаты вершин оставшегося квадрата.

4. Пусть a, b соотносятся в золотом сечении, т.е. , найдите координаты точки, которая останется после бесконечного числа отрезания.

5. Если процесс бесконечный, определите координаты оставшейся точки.

6. Пусть заданы координаты четырех вершин квадрата, определить существует ли прямоугольник, из которого с помощью описанных выше операций можно получить данный квадрат. Если существует, найдите координаты вершин такого прямоугольника:

а) по крайней мере координаты одного такого прямоугольника;

б) попробуйте описать множество таких прямоугольников (описать множество их вершин (рекуррентно или каким-либо другим способом)).

7. Пусть дана точка на плоскости, определите существует ли прямоугольник, из которого с помощью бесконечного числа описанных выше операций можно получить данную точку. Если существует, найдите координаты его вершин.

26. Тест

Тест состоит из 30 вопросов, на каждый есть 2 варианта ответа (один верный, другой – нет). За одну попытку Витя отвечает на все вопросы, после чего ему сообщают, на сколько вопросов он ответил верно. Сможет ли Витя действовать так, чтобы гарантированно узнать все верные ответы не позже, чем после 24-й попытки (и ответить верно на все вопросы при 25-1 попытке)?

А если изменить число вопросов?

А если изменить число ответов?

27. Прямая Симпсона

a) Прямая Симпсона для треугольника;

b) Прямая Симпсона для вписанного четырехугольника;

c) Прямая Симпсона для вписанного пятиугольника;

d) Прямая Симпсона для вписанного шестиугольника;

e) Прямая Симпсона для вписанного n-угольника.

28. Теорема Дроз-фарни и ее обобщение

a) Пусть две взаимно перпендикулярные прямые, проходящие через ортоцентры треугольника, высекают на прямых, содержащих стороны треугольника, три отрезка. Середины этих трех отрезков лежат на одной прямой.

b) Дан треугольник АВС, точка Р и проходящая через нее прямая d. Прямая, симметричная АР относительно d, пересекает ВС в точке А. Прямая В, С  определены аналогично. Тогда А, В, С  лежат на одной прямой.

29. Наперстки и монеты

a) По кругу стоят 100 наперстков. Под одним из них спрятана монетка. За один ход разрешается перевернуть четыре наперстка и проверить, лежит ли под одним из них монетка. После этого их возвращают в исходное положение, а монетка перемещается под один из соседних с ней наперстков. За какое наименьшее число ходов наверняка удастся обнаружить монетку?

b) Если монеток n?

c) Если монетка перемещается под один из близ стоящих наперстков.

30. Необычные равенства

a) Пусть n3. Докажите, что существуют целые отличные от нуля числа х1, х2, хn такие, что

х1 х2 хn = ( х2 + х3+…+ хn )( х1 + х3 +…+ хn )( х1 + х1 +…+ хn-1 ).

b) Найдутся ли такие х1, х2, хn целые отличные от нуля числа, что

х1 х2 хn = ( х3+ х4+…+ хn )( х1 + х4 +…+ хn )( х1 + х1 +…+ хn-2 ).

Структура исследовательской работы

Автор: Харисова А.Р.,учитель МОБУ СОШ с.Нижние Киги МР Кигинский район РБ

Чем исследовательская работа отличается от реферата?

• Рефера́т (нем. Referat, от лат. refere — докладывать, сообщать)—письменный доклад или выступление по определённой теме, в которых обобщается информация из одного или нескольких источников. Рефераты могут являться изложением содержания научной работы, художественной книги и т.п.

Исследование -

(англ . investigation/research/study/survey; нем . Forschung)

Вид систематической познавательной деятельности, направленной на получение новых знаний , информации и т. д., на изучение определенных проблем на основе специальных стандартизованных методов ( эксперимент , наблюдение и т.д.).

Метод проектов – метод проблем

• Метод проектов зародился во второй половине XIX века, основоположником был философ-идеалист Джон Дьюи.
• Слово “проект” ( в буквальном переводе с латинского - “брошенный вперед”) толкуется в словарях как “план, замысел, текст или чертеж чего-либо, предваряющий его создание”. Это толкование получило свое дальнейшее развитие: “Проект – прототип, прообраз какого-либо объекта, вида деятельности и т.п., а проектирование превращается в процесс создания проекта”.

Основные элементы структуры исследовательской работы

Титульный лист

Оглавление

Введение

Глава I. Теоретическая часть

Глава II. Исследовательская часть

(количество глав может быть различным, в зависимости от задач, поставленных в работе)

Заключение

Список используемой литературы

Приложения (при необходимости)

Введение

- актуальность работы;

- цель работы;

- задачи исследовательской работы (обычно сколько глав, столько и задач);

- объект (то, что изучается);

- предмет ( поле изучения объекта);

- гипотеза;

- методы исследования;

- обзор литературы.

Основная часть

• В главах основной части исследовательской работы подробно рассматриваются методика и техника исследования и обобщаются резульB0ты. Все мате@и0лы, не являющиеся насущно важными для понимания решения научной задачи, выносятся в приложения.

• Содержание глав основной части должно точно соответствовать теме исследовательской работы и полностью ее раскрывать. Эти главы должны показать умение исследователя сжато, логично и аргументировано излагать материал.
• Обычно выделяют теоретическую и практическую (исследовательскую) часть.

Заключение

• Эта часть работы играет роль концовки, вывода. В заключении автор указывает достиг ли он цели работы, подтвердилась ли выдвинутая им гипотеза? Заключительная часть предполагает наличие обобщенной итоговой оценки проделанной работы. При этом важно указать, в чем заключается ее главный смысл, какие важные научные результаты получены.

•   В конце работы приводится список использованной литературы . В тексте работы могут быть ссылки на тот или иной научный источник .
• В приложении помещаются вспомогательные или дополнительные материалы. В случае необходимости можно привести дополнительные таблицы, графики, рисунки, и т.д.

Кто знает всё, тому ещё многому нужно учиться !

Актуальность

• Для определения актуальности необходимо оценить теоретическую и практическую значимость темы, для чего необходимо ответить на след. вопросы:
• Чем эта тема интересна не только автору работы, но и другим людям. Чем эта тема важна сейчас, в данное время. Может быть, эта тема плохо исследована, может быть, напрямую касается автора, может быть связана с теми событиями, что происходят в мире, в стране или даже в нашей школе. Важно доказать значимость выбранной темы.

• Цель исследования формулируется с учетом заявленной темы и содержится, как правило, в самой теме.
• Цель работы должна чётко соответствовать теме работы. Цель исследовательской работы должна быть сформулирована чётко и ясно, она должна быть конкретна и выполнима.
• Исходя из поставленной цели, выдвигаются задачи исследовательской работы . Задачи должны объяснять, как мы будем поэтапно, пошагово достигать поставленной цели.

• Гипотеза должна быть прогностической и предсказывать научный или практический вклад. Ключевые слова:
• «Гипотеза исследования основана на предположении о том, что…»
• гипотеза , т.е. предположение автора о том, какие результаты в ходе исследовательской работы могут быть достигнуты. И уже в ходе исследовательской работы гипотеза или подтверждается или опровергается исследователем. Гипотеза не должна быть слишком простой, примитивной.

Методы исследования

• Эмпирические (опытные) методы :

- наблюдение - измерение

- описание - эксперимент

• Общелогические (теоретические) методы:

- анализ - аналогия

- синтез - сравнение

- обобщение - моделирование

• Методики:

- опрос - проведение опытов

- анкетирование - контент-анализ

- интервьюирование - и другие

• Обзор литературы – это не механическое переписывание фраз из разных книг и статей. Сведения, полученные из литературы, должны быть изменены словами автора. В обзоре вы должны показать, что знакомы с областью исследований по нескольким источникам, что вы ставите новую задачу, а не «изобретаете велосипед», делаете то, что давно сделали до вас. Ключевые фразы:
• «Анализ литературы по вопросам…»
• «Наиболее полно содержание данного вопроса раскрыто в работах…(фамилии)»