Таблицы истинности. Определение истинности логических выражений

Урок 50-51, 9 класс

Учитель: Брух Т.В.

Дата: ____________

Тема урока: «Таблицы истинности. ПР 3.1 Определение истинности логических выражений»

Цель урока:

понимать: что логические выражения - это формулы, что истинность логического выражения, образованного с помощью логических операций, можно установить, используя таблицы истинности;

знать: правила построения таблиц истинности; как по таблице истинности установить истинность логического выражения;

уметь: заменять любые высказывания логическими переменными; строить таблицы истинности; вычислять значение логического выражения. 

1. Организационный момент:

Приветствие учащихся. Определение целей урока.

2. Актуализация знаний и проверка усвоенного материала:

Учащиеся отвечают на вопросы:

1). Какие существуют основные формы мышления?

2). Что изучает алгебра логики?

3). Может ли быть высказывание выражено в форме вопросительного предложения?

4). Как получаются сложные логические высказывания?

5). Какие значения могут принимать логические переменные?

6). Как определяется истинность или ложность простого высказывания? Составного высказывания?

7). Что такое логическая операция?

8). Назовите логические операции. Как они обозначаются?

9). Назовите приоритет логических операций.

Визуальная проверка домашнего задания.

3. Контроль знаний:

Учащиеся выполняют самостоятельную работу №1 «Основные понятия алгебры логики»:

Ответы к заданиям 1 – 3 самостоятельной работы:

Упражнение

1. При опросе очевидцев на месте происшествия один из свидетелей сказал, что машина, нарушившая правила, была иномарка и светлого цвета.

Записать условие задачи на языке алгебры логики и составить истинное тождество, если известно, что

А) свидетель был прав только в одном из своих утверждений.

Решение:

Введем обозначения:

А = «машина была иномарка»,

В = «машина была светлого цвета».

Пусть свидетель прав в своем первом утверждении, т.е. А = 1, и не прав во втором, т.е. В = 0, тогда А  В = 1

Допустим обратное, свидетель не прав в первом утверждении, т.е А = 0 и прав во втором, т.е. В = 1, тогда  А  В = 1

Сложив два истинных высказывания, мы получим истинное высказывание, реализующее условие задачи на языке алгебры логики:

А  В   А  В = 1

Ответ: А  В   А  В = 1

Б) свидетель оба раза солгал или же был полностью прав.

Решение учащимся предлагается найти самостоятельно

(Ответ: А  В  А  В = 1)

Высказывания, как мы уже знаем, могут быть истинными или ложными. Понятно, что если истинность или ложность простых высказываний устанавливается в результате соглашения на основании здравого смысла, то истинность или ложность сложных (составных) высказываний зависит от истинности или ложности входящих в нее логических переменных и использованных при преобразовании логических операций.

Поэтому значение логической функции можно определить с помощью специальной таблицы (таблицы истинности), в которой перечислены все возможные значения входящих логических переменных и соответствующие им значения функции.

Изучение нового материала:

Таким образом, таблицу, показывающую, какие значения принимает логическая функция при всех сочетаниях значений ее аргументов, называют таблицей истинности логической функции.

Алгоритм построения таблицы истинности:

1. подсчитать количество переменных n в логическом выражении;

2. определить число строк в таблице по формуле m=2ⁿ, где n - количество переменных;

3. подсчитать количество логических операций в формуле;

4. установить последовательность выполнения логических операций с учетом скобок и приоритетов;

5. определить количество столбцов: число переменных + число операций;

6. выписать наборы входных переменных;

7. провести заполнение таблицы истинности по столбцам, выполняя логические операции в соответствии с установленной в пункте 4 последовательностью.

Упражнение 1.

Определить истинность логического выражения F(А, В) = (А۷ В)٨(¬А۷¬В) .

1. В выражении две переменные А и В (n=2).

2.  m_строк=2ⁿ , m=2²=4 строки.

3. В формуле 5 логических операций.

4. Расставляем порядок действий

1) А۷ В; 2) ¬А; 3) ¬В; 4) ¬А۷¬В; 5) (А۷ В)٨(¬А۷¬В).

5. К_{столбцов}=n+5=2+5=7 столбцов.

Вывод: логическое выражение принимает значение истина при наборах F(0,1)=1 и F(1,0)=1.

Упражнение 2.

Построить таблицу истинности для логического выражения

F = (A V B) /\

1. В данной функции три логические переменные – А, В, С

2. количество строк таблицы = 2³ =8

3. В формуле 3 логические операции.

4. Расставляем порядок действий

1) А۷ В; 2) ; 3) (A V B) /\ .

1. количество столбцов таблицы = 3 + 3 = 6

Несложно заметить, что для функции от трех переменных данные наборы значений логических переменных А, В, С представляют собой двоичные триады, выписанные в порядке возрастания: 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111.

Однако, для функции от трех и более переменных, наборы значений входных переменных рекомендуется перечислять следующим образом:

а) разделить колонку значений первой переменной пополам и заполнить верхнюю половину нулями, нижнюю половину единицами;

б) в следующей колонке для второй переменной половинку снова разделить пополам и заполнить группами нулей и единиц; аналогично заполнить вторую половинку;
в) так делать до тех пор, пока группы нулей и единиц не будут состоять из одного символа.

Пробное применение знаний:

Учащимся предлагается решить задачи

Задача 1. Определить истинность следующего высказывания: «За окном светит солнце, и нет дождя».

Решение:

Нам дано сложное составное высказывание. Выделим из него простые высказывания:

А = «За окном светит солнце»

В = «За окном дождь»

Составим логическую функцию, соответствующую данному высказыванию.

F(A, B) = A /\ ¬B

построим таблицу истинности для данной логической функции.

Ответ: логическое выражение принимает значение истина только при наборе F(1,0)=1.Следовательно, данное нам высказывание истинно только тогда, когда первое простое высказывание истинно, а второе ложно.

Задача 2. Определить истинность следующего высказывания: «Гости смеялись, шутили и не расходились по домам».

Решение:

Выделим из данного сложного высказывания простые высказывания:

А = «Гости смеялись»

В = «Гости шутили»

С = «Гости расходились по домам»

Составим логическую функцию, соответствующую данному высказыванию.

F(A, B, С) = A /\ B /\¬C

Построим таблицу истинности для данной логической функции.

Ответ: логическое выражение принимает значение истина только при наборе F(1,1,0)=1.Следовательно, данное нам высказывание истинно только тогда, когда первое и второе простые высказывания истинны, а второе ложно.

Вывод: Реальную задачу мы получаем в виде текста на естественном языке и, прежде чем приступить к ее решению, необходимо выделить простые высказывания, отношения между ними и перевести на язык формул (формализовать условие задачи, определяющее форму словесного высказывания).

Упражнения с переносом знаний в новые условия:

Учащимся предлагаются тестовые задания по логике из ЕГЭ.

Задание 1. /А13, 2004/. Символом F обозначено одно из указанных ниже логических выражений от трех аргументов: X, Y, Z.

Дан фрагмент таблицы истинности выражения F:

Какое выражение соответствует F?

Решение (вариант 1, через таблицы истинности):

Чтобы решить данную задачу можно построить часть таблицы истинности для каждой из четырех функций, заданных в ответе для заданных наборов входных переменных, и сравнить полученные таблицы с исходной:

Очевидно, что значения заданной функции F совпадают со значениями выражения X\/Y\/¬Z. Следовательно, правильный ответ – 3.

Ответ: 3

Решение (Вариант 2):

Чтобы не строить таблицу истинности для каждого выражения, можно просто перепроверить предложенные ответы по заданной таблице истинности. Т.е. в каждую из четырех предложенных функций последовательно подставлять значения переменных X, Y и Z, из заданной таблицы истинности и вычислять значения логического выражения. Если значения вычисляемого выражения совпадут со значением F во всех трех строчках заданной таблицы, то это и есть искомое выражение.

Рассмотрим данный конкретный пример:

1. первое заданное выражение ¬X/\¬Y/\Z = 0 при X=0, Y=0, Z=0, что не соответствует первой строке таблицы;

2. второе заданное выражение ¬X\/¬Y\/Z = 1 при X=0, Y=0, Z=1, что не соответствует второй строке таблицы;

3. третье выражение X\/Y\/¬Z соответствует F при всех предложенных комбинациях X,Y и Z;

4. четвертое выражение X\/Y\/Z = 1 при X=0, Y=0, Z=1, что не соответствует второй строке таблицы.

Ответ: 3

Задание 2. /А11, 2007/. Символом F обозначено одно из указанных ниже логических выражений от трех аргументов: X, Y, Z.

Какое выражение соответствует F?

(Ответ: 2)

Задания для дополнительной работы в классе: Сборник материалов и тренировочных заданий ЕГЭ по логике, задания 11 – 20.

4. Подведение итогов

Учащиеся подводят итоги урока:

.Научились заменять любые высказывания логическими переменными, вычислять значение логического выражения. Узнали правила построения таблиц истинности. Научились строить таблицы истинности.

5. Домашнее задание: