Технологическая карта урока по теме «Пирамида»

Часть 1.

Дата 11.03.2019

Урок № 53

Класс 10А

Предмет геометрия

ОУ МКОУ «Троицкая СОШ»

Тема урока: «Пирамида»

УМК «Геометрия» 10-11 класс, Атанасян Л.С. и др.

Место урока в системе уроков по теме (всего уроков на тему/номер урока по теме): 1/2

Тип урока: изучение нового материала

Дидактические единицы учебного материала, которыми ученик должен владеть для успешной работы на уроке

Дидактические единицы учебного материала, которые ученик изучит на уроке

Представлять, понимать

Знать

Уметь

Понятия: многогранники, треугольная пирамида, боковая поверхность, полная поверхность Утверждения (теоремы, аксиомы): теорема нахождения площади боковой и полной поверхности треугольной пирамиды Алгоритмы (правила): правила нахождения площади боковой и полной поверхности треугольной пирамиды

Иметь представление о построении пирамиды, о её составных элементах, представлять сечение пирамиды

Определение пирамиды, образующей, высоты пирамиды, развертки пирамиды, основания, определение сечения

Строить пирамиду, определять ось пирамиды, образующую, высоту пирамиды, развертку боковой поверхности, основание пирамиды, строить сечения пирамиды

Планируемые предметные результаты урока

Ученик должен знать

Ученик должен уметь

Ученик научится представлять и понимать

На 3

На 4

На 5

На 3

На 4

На 5

Определение пирамиды и ее элементов, формулу для вычисления площади боковой и полной поверхности пирамиды, формулу для вычисления площади фигур

Определение треугольной пирамиды и ее элементов, формулу для вычисления площади боковой и полной поверхности треугольной пирамиды, формулу для вычисления площади фигур, теорему нахождения площади боковой и полной поверхности пирамиды

Определение треугольной пирамиды и ее элементов, формулу для вычисления площади боковой и полной поверхности пирамиды, формулу для вычисления площади фигур, теорему нахождения площади боковой и полной поверхности треугольной пирамиды и ее доказательство

Строить треугольную пирамиду, определять ее составные элементы, определять сечение, находить площадь боковой и полной поверхности треугольной пирамиды

Строить треугольную пирамиду, определять ее составные элементы, строить сечение пирамиды, находить площадь полной и боковой поверхности треугольной пирамиды, вывод формулы площади боковой и полной поверхности пирамиды

Строить треугольную пирамиду, определять ее составные элементы, строить сечение пирамиды, находить площадь полной и боковой поверхности треугольной пирамиды, вывод формулы площади боковой и полной поверхности треугольной пирамиды, доказывать теорему о нахождении площади боковой и полной поверхности треугольной пирамиды

В ходе изучения темы «Треугольной пирамиды» ученик усвоит основные понятия и утверждения, связанные с темой пирамиды, будет иметь представления о сечении пирамиды, научатся понимать для чего вычисляют и используют площадь боковой и полной поверхности треугольной пирамиды.

Метапредметная направленность урока заключается в создании проблемной ситуации

посредством деятельности учащихся

Личностная направленность урока заключается в совершенствовании индивидуальных способностей

посредством развития учащихся

Технология обучения

Форма обучения

Метод обучения

Развивающая

беседа

проблемный

Дидактические средства обучения

Презентация, макеты многогранников, карточки

Источники информации:

для учителя

для обучающихся

1. Программа для общеобразовательных учреждений Геометрия 10-11 классы. 2. Учебник «Геометрия» 10-11 класс, Атанасян Л.С. 3. Дидактические материалы/ Л.С. Атанасян и др. 4. Интернет-ресурсы

1. Учебник «Геометрия» 10-11 класс, Атанасян Л.С. 2. Дидактические материалы/ Л.С. Атанасян и др.

Цель урока: (определяется планируемыми результатами и способами их достижения)

Задачи урока: (конкретизация цели)

Формирование у учащихся умения осуществлять поиск решения задачи по теме: «Пирамида»

1) формирование у учащихся умения отбирать нужную информацию для изучения темы (фронтальный опрос); 2) формирование у учащихся умения формулировать тему и цель урока (фронтальная работа по вопросам учителя); 3) формирование у учащихся умения анализировать и обобщать при решении задач; 4) формирование у учащихся умения осуществлять поиск решения задачи по данной теме; 5) формирование у учащихся способности к самоанализу и рефлексии.

Часть 2.

Характеристики этапов урока
Этап урока, время	Цели этапа	Предметные учебные действия, формируемые и/или актуализируемые на этапе	Универсальные учебные действия, формируемые и/или актуализированные на этапе	ФОУД	Используемые на этапе СО
1. Актуализация знаний (10 мин)	Создать учебно-проблемную ситуации, вводящую учащихся в предмет изучения предстоящей темы; сформулировать основную учебную задачу	Определение призмы, определение образующей призмы, высоты призмы, основания, определение сечения, формулу для вычисления площади боковой и полной поверхности цилиндра	Установление учащимся значения результатов своей деятельности для удовлетворения своих потребностей; структурирование знаний; выделение и осознание учащимся того что уже усвоено и что еще подлежит усвоению, осознание качества и уровня усвоения	Ф И	Презентация
2. Изучение материала (15 мин)	Сформулировать тему урока, найти выход из созданной проблемной ситуации, доказать теорему о площади боковой и полной поверхности треугольной пирамиды	Теорема о площади боковой и полной треугольной пирамиды, доказательство теоремы о нахождении площади полной и боковой поверхности треугольной пирамиды	Установление связи между целью учебной деятельности и ее мотивом - определение того «какое значение, смысл имеет для меня учение»; смысловое осознание темы; определение последовательности промежуточных целей с учетом конечного результата; составление плана и последовательности действий	Ф И	Презентация, макет
3. Закрепление приобретенных знаний и умений (15 мин)	Проверить уровень усвоения знаний	Решение задач	Контроль в форме сличения способа действия и его результата с заданным эталоном с целью обнаружения отклонений и отличий от эталона; выбор наиболее эффективных способов решения задач в зависимости от условий	Ф И Г	Презентация
4. Информация о домашнем задании (1 мин)	Записать и обсудить домашнее задание	Решение задач по теме «Площадь боковой и полной поверхности призмы»	Формирование навыков и умений к самостоятельной подготовки ученика к самообразованию	Ф И	Карточки
5. Рефлексия (4 мин)	Подвести итог урок, оценить достигнутые результаты	Выводы по теме «Призма. Площадь боковой и полной поверхности призмы»	Рефлексия способов и условий действия, их контроль и оценка; Оценка - выделение и осознание учащимся того что уже усвоено и что еще подлежит усвоению, осознание качества и уровня усвоения	Ф И

Характеристики этапов урока
Этап урока, время	Деятельность учителя (с указанием конкретных методов и приемов, техник обучения, средств и форм контроля, учебно-познавательных и учебно-практических задач, решаемых на данном этапе)	Деятельность учащихся	Продукт деятельности учащихся
1. Актуализация знаний (10 мин)	Создание проблемной ситуации при помощи актуализации знаний для определения темы, задач и целей урока	Работа с задачей	Запись в тетради
2. Изучение материала (15 мин)	Обсуждение проблемы, рассматривает основные определения, формулирует теорему, объяснить решение задачи, которую рассматривали при создании проблемной ситуации	Обсуждение основных определений, доказательство теоремы	Запись в тетради
3. Закрепление приобретенных знаний и умений (15 мин)	Предложить решить задачи, раздать карточки с заданиями	Работа с задачами, тест	Записи в тетради
4. Информация о домашнем задании (1 мин)	Объяснить выполнение домашнего задания	Записывают домашнее задание, задают вопросы	Записи в дневниках, карточки
5. Рефлексия (4 мин)	Выслушать учащихся с вопросами, провести анализ урока, выставить оценки	Заполняют лист самооценки, задают вопросы

Часть 3

Ход урока

1.Актуализация знаний (10 мин)

Сегодня мы совершим путешествие во времени.

Слайд 1 Фараон Джосер повелел создать для себя необычную гробницу, похожую на гигантскую каменную лестницу, по которой фараон после смерти должен был подняться на небо. Его замысел воплотил в жизнь великий египетский зодчий Имхотеп. Правившие после Джосера фараоны тоже строили себе ступенчатые пирамиды, пока фараону Снофру не пришла в голову мысль выстроить для своей гробницы не ступенчатую, а гладкую пирамиду.

Слайд 2 Вслед за Снофру Древним Египтом правил его сын, фараон Хуфу, или, как мы его привыкли называть, - Хеопс. За 23 года своего правления он сумел выстроить самую грандиозную и удивительную пирамиду, которую мы называем первым чудом света.

Пирамиды – самое грандиозное из всех чудес света. Построенная около 2600 г. до н.э., она имеет высоту 146 метров, состоит из 2300000 каменных блоков, каждый весом примерно 3 тонны.

Даже сегодня при современных машинах и механизмах выстроить такую громадную пирамиду было бы нелегко.

Но мы сегодня должны научиться строить пирамиды.

Термин «пирамида» заимствован из греческого «пирамис» или «пирамидос». Греки  в свою очередь позаимствовали это слово из египетского языка. В папирусе Ахмеса встречается слово «пирамис»  в смысле ребра правильной пирамиды. Другие считают, что термин берет свое начало от формы хлебцев в Древней Греции («пирос» - рожь). В связи с тем, что форма пламени напоминает образ пирамиды, некоторые ученые считали, что термин происходит от греческого слова «пир» - огонь.

Итак, тема урока “Пирамида”.

Мы с вами рассмотрим пирамиду с математической точки зрения.

Что мы можем узнать о пирамиде? Познакомиться с понятием пирамида, ее видами, элементами, свойствами, решить простейшие задачи.

Итак, цель урока: изучить новый вид многогранников – пирамиды. Рассмотреть задачи, связанные с пирамидой.

- Опишите фигуры, изображенные на Слайде 3 (основание, вершина, ребра)

- Что объединяет эти тела? (в основании n-угольник, боковые грани – треугольники).

- Как можно назвать эти тела? (пирамиды)

Итак, пирамидой называется многогранник, который состоит из плоского многоугольника – основание пирамиды; точки, не лежащей в плоскости основания – вершины пирамиды и всех отрезков, соединяющих вершину пирамиды с точками основания – боковыми ребрами.

- Слайд 4 Дайте определение высоты пирамиды. (Высотой пирамиды называется перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания).

- Слайд 5 Что это за многогранник? Дайте определение тетраэдра (поверхность, состоящая из четырех правильных треугольников или многогранник, состоящий их четырех треугольников)

- Слайд 6 Пирамида называется правильной, если её основание – правильный многоугольник, а отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания, является её высотой.

- Слайд 7 Какие пирамиды могут быть правильными? (в основании лежит правильный треугольник – треугольная пирамида, в основании лежит квадрат - четырехугольная пирамида, в основании лежит правильный шестиугольник – шестиугольная пирамида)

- Слайд 8 Свойства боковых ребер и боковых граней правильной пирамиды. (Все боковые ребра правильной пирамиды равны, а боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками)

Построим пирамиду Хеопса.

1. Постройка Великих пирамид Хеопса, Хефрена и Микерина требовала огромных усилий всех свободных египтян. Их труд был настоящим чудом. Строители работали с большим энтузиазмом над возведением гробницы своего великого фараона. Они верили: фараон – сын бога, и после смерти он окажется среди богов. Если они выкажут ему подлинное уважение, он позаботится о них, простых людях, об их детях, внуках и правнуках.

Выкажем же и мы ему подлинное уважение. Построим пирамиду Хеопса.

Итак, что лежит в основании пирамиды Хеопса (квадрат)

- Как изображается квадрат на плоскости? (параллелограммом)

- Слайд 9 построим основание,

- отметим вершину параллелограмма,

- соединим вершину боковыми ребрами с вершинами основания.

2. Построим треугольную пирамиду.

- Слайд 10 Построим основание,

- отметим вершину параллелограмма,

- соединим вершину боковыми ребрами с вершинами основания.

2. Изучение материала (15 мин)

Оказывается тетраэдр можно еще назвать пирамидой. Существуют различные пирамиды: треугольная, четырехугольная, пятиугольная и т. д. - в зависимости от того, какой многоугольник лежит в основании. Так как в основании тетраэдра – треугольник, то тетраэдр можно назвать треугольной пирамидой

Существует несколько гипотез возникновения термина «пирамида». 1 гипотеза: Термин «пирамида» заимствован из греческого «пирамус». В папирусе Ахмеса встречается слово «пирамус» в смысле ребра правильной пирамиды. 2 гипотеза: Другие считают, что термин «пирамида» берет свое начало от формы «хлебцов» в древней Греции («пирос» – рожь). 3 гипотеза: В связи с тем, что форма пламени напоминает образ пирамиды, некоторые средневековые ученые считали, что термин «пирамида» происходит от греческого слова «пир» – огонь

Уже в древнем Египте строили сооружения, которые имели форму пирамид, к ним относятся гробницы фараонов. На данном снимке слева направо вы видите пирамиды Хеопса, Хефрена, Микерина. Первоначально все три пирамиды считали чудесами света. Теперь же к величайшим творениям относят лишь пирамиду Хеопса, называемую Большой пирамидой.

Великая пирамида является крупнейшим сооружением на планете. Ее высота – 147 м, сторона основания 230 м, она сложена из 2,3 млн. блоков весом в среднем по 2,5 т каждый. Расположена на плато Гиза близ современного Каира.

а) Для решения многих геометрических задач, связанных с треугольной пирамидой полезно уметь строить ее сечения различными плоскостями.

Вопросы: 1. Что называется секущей плоскостью?

2.Как пересекает секущая плоскость ребра тетраэдра? грани тетраэдра?

3.Какие многоугольники могут получиться в сечении тетраэдра?

4. Объяснить, как построить сечение тетраэдра DABC, проходящее через точки M, N, P

А сейчас я хочу вас познакомить с любопытными фактами. Многие люди убеждены в том, что пирамиды обладают магической силой. Замечено, в зоне действия пирамид происходят уникальные явления. Например, 1) обычная вода «под защитой» пирамиды не замерзает при температуре –40⁰ С, семена, побывавшие внутри этого сооружения, приобретают повышенную урожайность, лекарства проявляют лучшее целебное действие, усиливается иммунитет человека и животных, побывавших в зоне пирамиды, общая жизнеспособность клеточной ткани возрастает во много раз. Некоторые ученые говорят о возможности в ближайшем будущем избавиться с помощью пирамид от опасных болезней.

Летом 1997 года у истоков Волги близ города Осташкова на берегу озера Селигер появилась 22 метровая пирамида. В озере много лет не было чистой воды, а теперь она светла и прозрачна! Впервые рядом с пирамидой аист свил гнездо. А окрестности теперь усеяны цветами, занесенными в Красную книгу!

В колонии строгого режима в Тверской области сотрудники и заключенные использовали в пищу соль, побывавшую внутри 22-метровой пирамиды. Через год в колонии сократилось смертность и значительно уменьшилось количество нарушений режима заключенными.

Наше дело верить в это или нет, но сделать такую пирамидку сможет каждый из вас. Защитная пирамида – точно, сделанная уменьшенная модель Хеопсовой пирамиды. Длина основания – 5 см.

Задание. Построить развертку пирамиды, в основании которой лежит равносторонний треугольник со стороной 5см, а боковые грани – равнобедренные треугольники со сторонами 5см, 6см, 6см. (учащиеся выполняют задание с помощью циркуля и линейки).

3. Закрепление приобретенных знаний и умений (15 мин.)

Решение

1. AC Ç ВD = О

2. Пирамида правильная Þ SО ^ (АВС)

3. ОЕ çç АD Þ ОЕ ^ АD Þ

4. SЕ ^ СD (по теореме о 3 перпендикулярах)

Чему равен тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике? (отношению противолежащего катета к прилежащему катету)

5. D SОЕ – п\у tg E = SО : ОЕ = 1,2

6. ОЕ = 0,5АD =115м

7. SО = ОЕ • tg E = 1,2 • 115 = 138 м

Ответ: 138м

Слайд 11 1. В основании пирамиды Хеопса – квадрат со стороной 230м, тангенс угла наклона боковой грани к основанию равен 1,2. Найти высоту самой высокой египетской пирамиды, если основание ее лежит в центре квадрата.

S

С

В

Е

А

О

230

D

Слайд 12 2. В основании пирамиды Хеопса – квадрат со стороной 230м, высота пирамиды 138 м. Найти боковое ребро самой высокой египетской пирамиды.

Решение

1. AC Ç ВD = О

2. D АОD – п\у, р\б

по т. Пифагора АD² = DО²+ОА²

2ОD²= 2302 = 52900

ОD² = 26450

3. Пирамида правильная Þ SО ^ (АВС)

4. D SОD – п\у

по т. Пифагора DS² = DО²+ОS² = 26450 + 1382=

= 26450 +19044 = 45494

DS » 213 м

Ответ: 213м

S

С

В

А

О

230

D

- Слайд 13 Из чего состоит поверхность пирамиды? (из основания, и боковых граней)

- Чем является боковая грань? (треугольником)

Слайд 14 3.Чему равна площадь поверхности правильного тетраэдра с ребром 1?

Решение

1. S_пов=4S_тр

2. S_тр = 0,5а²sin60⁰

3. S_пов= 4 • 0,5а²sin60⁰ =

Ответ:

S

Слайд 15 4. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды Хеопса, сторона основания которой равна 230м и высота 138м.

Решение

1. S_б.пов=4S_тр

2. AC Ç ВD = О

3. Пирамида правильная Þ

SО ^ (АВС)

4. ОЕ çç СD Þ ОЕ ^ АD Þ

5. SЕ ^ АD (по теореме о 3 перпендикулярах)

6. ЕОS- п\у по т. Пифагора ЕS² = ЕО²+ОS² = 115² + 138² =

= 13225 +19044 = 32269

ЕS  180

7. ES - высота АSD

S_АSD = 0,5 ЕS•АD  0,5 •180 • 230 20700 м²

8. S_б.пов=4S_тр  4 • 20700  82800 м²

Ответ: 82800 м²

С

В

138

О

230

Е

D

А

Слайд 16 5. (устно) Боковое ребро правильной пирамиды вдвое больше ее высоты. Определите угол наклона боко­вого ребра к плоскости основания. (30⁰)

Построение сечений пирамиды. Слайд 17

Перед учащимися ставится задача, в ходе решения которой повторяются основные аксиомы и теоремы. Осуществляется пошаговая проверка построения сечения.

Слайд 18 - На каких рисунках сечение построено не верно? (1, 3, 4)

Задачи Слайд19 - 23

4. Информация о домашнем задании (1 мин)

1) Если в правильной треугольной пирамиде высота H равна стороне основания a, то боковые ребра составляют с плоскостью основания углы в 60⁰. Верно ли это утверждение?

2) Сторона квадрата равна 10 см. Доказать, что нельзя, используя его в качестве основания, построить правильную четырехугольную пирамиду с боковым ребром 7 см.

3) Доказать или опровергнуть утверждение: «если в пирамиде все ребра равны, то пирамида правильная».

4)

5. Рефлексия (4 мин.).

Подведем итоги нашей совместной работы.

Выставление оценок.

Что нового узнали на сегодняшнем уроке?

Какие знания пригодились?

Что было сложного?

Что понравилось на уроке?