Урок геометрии "Рождественская Звезда. Задачи на построение циркулем и линейкой", 7 класс

Конспект урока геометрии в 7 классе

Тема «Решение задач на построение»

Учитель математики: Данилина Елена Владиславовна

Тип урока: Изучение нового материала.

Цель нашего урока:

1. Дать представление о задачах на построение.

2. Закрепить навык построения биссектрисы угла.

3. Построить Рождественскую звезду.

Задачи урока:

1. обучающая:

а) рассмотреть наиболее простые задачи на построение и научить учащихся решать их и применять;

в) закрепить у учащихся навыки решения некоторых простейших задач на построение;

г) развить словесно-логическое мышление (умение анализировать, обобщать, делать умозаключения);

1. воспитывающая:

а) создать условия для самостоятельного решения проблемной ситуации на уроке «Рождественская звезда» и использования навыков решения простейших задач;

б) развить способности учащихся мыслить свободно, творчески, ответственно за принятые решения;

3) развивающая:

а) способствовать развитию самостоятельности, аккуратности, внимания, терпения;

б) расширить представление о возможностях использования приобретенных знаний в практических задачах;

в) показать связь изученного материала с реальной жизнью.

Первая часть урока посвящена повторению знаний о геометрических фигурах (равные фигуры, окружность, середина отрезка, биссектриса угла, перпендикулярные прямые).

Вторая часть урока направлена на изучение учащимися задач на построение (построение отрезка, равного данному и построение биссектрисы угла) и их практическому применению. Учащиеся должны суметь самостоятельно (или под руководством учителя) решить задачу построения восьмиконечной Рождественской звезды с помощью циркуля и линейки, основываясь на простейшем алгоритме построения биссектрисы угла.

Оборудование

1. Учебник «Геметрия 7-9 классы», авторы Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов и другие, М.: Просвещение 2009г.

2. Карандаши, линейки, циркули.

3. Раздаточный материал: карточка с таблицей «Фигуры, инструменты», справочный материал на индивидуальных листах: Перечень задач на построение, Схема решения задач на построение

4. Листы формата А4 (количество соответствует количеству учащихся в класс), карточки с таблицами для индивидуальной работы.

5. Медиасистема (ноутбук, проектор).

Ход урока

1. Организационный момент (2 минуты).

- Ребята, прочитайте тему сегодняшнего урока, записанную на доске: Решение задач на построение… Я не дописала ее до конца. Предлагаю вам подумать над полной формулировкой темы нашего занятия и определить цель работы на уроке.

2. Введение нового знания (7 минут)

Ранее мы уже имели дело с геометрическими построениями: проводили прямые, откладывали отрезки, равные данным, чертили углы, треугольники и другие фигуры. При этом мы пользовались следующими инструментами (на доске записаны названия инструментов): масштабная линейка, циркуль, транспортир, чертежный угольник.

- Оказывается, что многие построения геометрических фигур можно выполнить с помощью только двух инструментов, не имеющих шкал. Поэтому в геометрии специально выделяют блок задач, которые решаются с помощью только этих инструментов. Какие это инструменты, а также, какие задачи можно решать с их помощью, мы с вами узнаем сегодня на уроке.

Когда вы выполните небольшое задание на карточках, то без труда сможете понять цель нашей работы, узнать о необходимых сегодня инструментах и сформулировать полное название темы нашего занятия. (Ребятам предлагается заполнить выданные карточки, т.е. выполнить рисунки и вписать в третьей строке числа, соответствующие количеству точек).

После выполнения заданий учащимися карточка выглядит так:

- Итак, какие же инструменты мы сегодня будем использовать для построения геометрических фигур? (Ученик: Будем использовать только линейку и циркуль.)

- Оставим из предложенных названий инструментов лишь два: линейка без масштабных делений, циркуль. А теперь, ребята, сформулируйте тему урока для записи в тетради. (Ученик: «Решение задач на построение с помощью циркуля и линейки»)

- Что же можно делать с их помощью? Ясно, что линейка позволяет провести произвольную прямую, а также построить прямую, проходящую через две данные точки. С помощью циркуля можно провести окружность произвольного радиуса, а также окружность с центром в данной точке и радиусом, равным данному отрезку. Выполняя эти несложные операции, мы сможем решить много интересных и красивых задач на построение. Я представлю перечень задач, при решении которых нужно построить геометрическую фигуру, удовлетворяющую заданным условиям, с помощью циркуля и линейки без делений (перечень представлен на плакате или слайде презентации):

• построить отрезок, равный данному (на данном луче от его начала отложить отрезок, равный данному);

• построить угол, равный данному (отложить от данного луча угол, равный данному);

• через данную точку провести прямую, перпендикулярную к данной прямой (два различных случая: точка принадлежит данной прямой и точка не принадлежит данной прямой);

• построить середину данного отрезка (разделить данный отрезок пополам);

• построить биссектрису угла (разделить данный угол на два равных угла).

3.Работа с учебником (15 минут).

Открыть учебник на стр. 45.

Задача: С помощью циркуля и линейки на данном луче от его начала отложить отрезок, равный данному.

Можно объединить учащихся в пары и дать 3-4 минуты на обдумывание решения. После этого заслушать все варианты решений и обсудить их, при этом попросить учащихся доказать, что новый отрезок имеет ту же длину, что и отрезок в условии задачи. Выполнить построение в тетради (учитель выполняет на доске).

Рис.(построение отрезка, равного данному)

Далее рассмотреть общую схему решения задач на построение (схему представить на закрытой части доски или на слайде презентации).

Схема решения задач на построение:

1. Анализ (рисунок искомой фигуры, устанавливающий связи между данными задачи и искомыми элементами, и план построения).

2. Построение по намеченному плану.

3. Доказательство, что данная фигура удовлетворяет условиям задачи.

4. Исследование (при любых ли данных задача имеет решение, и если имеет, то сколько).

Открыть учебник на стр. 46.

Задача: С помощью циркуля и линейки построить биссектрису данного угла.

Выполнить построение в тетради (учитель выполняет на доске). Акцентировать внимание учащихся на этап доказательства, что построенный луч действительно является биссектрисой данного угла.

Рис.(построение биссектрисы)

4. Закрепление (15 минут).

- А сейчас я предлагаю выполнить вам построение очень красивой геометрической фигуры, используя полученные знания о простейших алгоритмах построения фигур.

Какое название имеет Вифлеемская звезда? (Ученик: Рождественская, звезда Богородицы, Восьмиконечная). В Православной Руси восьмиконечная звезда имела важное значение. Восьмиконечная Вифлеемская звезда, под которой родился Иисус Христос, встречается на всех Русских иконах Богоматери, покровительницы России, и символизирует Россию. Иначе восьмиконечную звезду в России называют «русская звезда, звезда Богородицы, Вифлеемская звезда». Поскольку Матерь Божья – покровительница России, то восьмиконечная звезда – это звезда России.

Задание, которое вам, ребята, предстоит выполнить будет связано с построением этой красивейшей звезды - звезды Богородицы, Рождественской звезды.

Вам будет выдан чистый белоснежный лист формата А4. У вас имеется карандаш, циркуль и линейка. Проанализируем, с помощью каких точек и отрезков можно построить Рождественскую звезду. Рассмотрим внимательно изображение восьмиконечной звезды. (Учитель представляет рисунок Звезды)

ДАНО: окружность.

ПОСТРОИТЬ: восьмиконечную звезду, вершины, которой расположены на окружности.

АНАЛИЗ:

Все вершины Звезды должны быть расположены на окружности. Получить точки на окружности можно с помощью пересечения данной окружности прямыми. Сколько их? (Ученик: 4 прямых). Две диаметрально-противоположные вершины – это точки пересечения прямой a, проходящей через центр окружности с данной окружностью. Построим с помощью линейки.

Прямая b перпендикулярна прямой a , а значит может являться биссектрисой развернутого угла (построим по изученному алгоритму).

Другие пары вершин также будут располагаться на биссектрисах прямых углов. Легко заметить, что образовались вертикальные углы. Вопрос: Какой угол образуют биссектрисы вертикальных углов? (Ученик: Угол 180 град). Продолжим мысль: биссектрисы вертикальных углов дополняют друг друга до прямой. Следовательно, надо построить еще две взаимно-перпендикулярные прямые, каждая из которых делит прямые углы пополам.

Таким образом, основной алгоритм, который мы будем использовать, это алгоритм построения биссектрисы угла с помощью циркуля и линейки. Точки пересечения биссектрис с линией окружности и есть искомые вершины восьмиконечной звезды. Обозначим их A,B,C,D,E,F,G,H.

- Вашим творческим домашним заданием, ребята, будет поиск алгоритма построения лучей этой звезды. Подумайте как с помощью циркуля и линейки найти и построить 8 внутренних вершин A1,B1,C1,D1,E1,F1,G1,H1. Желаю вам творческих решений и радости открытий. Обсудим на следующем уроке результаты ваших поисков. Жду ваших красивых Рождественских звезд. (Учитель может обсудить «будущие звезды», предложить разные варианты звезд.)

Замечание: Если имеется возможность использовать медиаресурсы, то показать построение Рождественской звезды в программе «Atlier de Géométrie 2D».

5. Домашнее задание (1 минута).

• Закончить построение Рождественской Звезды в виде замкнутой линии A,A1,B,B1,C,C1,D,D1,E,E1,F,F1,G,G1,H,H1.

• На стр.46 повторить задачу «Построение биссектрисы угла».

• На стр.45 повторить задачу «Построение отрезка, равного данному», разобрать задачу «Построение угла, равного данному» и выполнить построение фигуры без описания (только чертеж).

• На стр. 48 решить № 148 (в тетради выполнить построение).

1. Итог урока (2 минуты).

- Какую задачу мы сегодня решали на уроке?

(Ученик: научиться строить геометрические фигуры с помощью циркуля и линейки).

- Какие алгоритмы мы изучили на уроке для решения задач на построение? (Ученик: «построение отрезка, равного данному», «построение биссектрисы угла»).

- Какой алгоритм потребуется для построения Рождественской звезды?

(Ученик: «построение биссектрисы угла»).

- Есть ли вопросы по домашнему заданию? Желаю вам радости от творческой работы. Урок окончен.

Перечень задач, при решении которых нужно построить геометрическую фигуру, удовлетворяющую заданным условиям,

с помощью циркуля и линейки без делений

• построить отрезок, равный данному (на данном луче от его начала отложить отрезок, равный данному);

• построить угол, равный данному (отложить от данного луча угол, равный данному);

• через данную точку провести прямую, перпендикулярную к данной прямой (два различных случая: точка принадлежит данной прямой и точка не принадлежит данной прямой);

• построить середину данного отрезка (разделить данный отрезок пополам);

• построить биссектрису угла (разделить данный угол на два равных угла).

Схема решения задач на построение

1. Анализ (рисунок искомой фигуры, устанавливающий связи между данными задачи и искомыми элементами, и план построения).

2. Построение по намеченному плану.

3. Доказательство, что данная фигура удовлетворяет условиям задачи.

4. Исследование (при любых ли данных задача имеет решение, и если имеет, то сколько).

Перечень задач, при решении которых нужно построить геометрическую фигуру, удовлетворяющую заданным условиям,

с помощью циркуля и линейки без делений

• построить отрезок, равный данному (на данном луче от его начала отложить отрезок, равный данному);

• построить угол, равный данному (отложить от данного луча угол, равный данному);

• через данную точку провести прямую, перпендикулярную к данной прямой (два различных случая: точка принадлежит данной прямой и точка не принадлежит данной прямой);

• построить середину данного отрезка (разделить данный отрезок пополам);

• построить биссектрису угла (разделить данный угол на два равных угла).

Схема решения задач на построение

1. Анализ (рисунок искомой фигуры, устанавливающий связи между данными задачи и искомыми элементами, и план построения).

2. Построение по намеченному плану.

3. Доказательство, что данная фигура удовлетворяет условиям задачи.

4. Исследование (при любых ли данных задача имеет решение, и если имеет, то сколько).

Много звёздочек в небе светит,
Но прекраснее всех звезда,
Что зажглась на востоке где-то,
Мудрецов ко Христу привела.

Всех светлее она и ярче,
Светит людям во все года,
Утешенье несёт тем, кто плачет
Та Рождественская звезда.

Путь её от яслей Вифлеема
Через крест к воскресенью ведёт,
Ко Христу из греховного плена
Всех блуждающих снова зовёт.

Друг, измученный в мире этом,
Посмотри с надеждою вверх,
Там горит спасительным светом
Та звезда, что прекрасней всех.

8