Урок по теме " Логарифм и его широкое применение в окружающем нас мире"

Урок по теме « Логарифм и

его широкое применение в окружающем нас мире»

Учебно- воспитательные задачи:

Дидактическая цель. Дать понятие логарифма с произвольным основанием. Овладеть знаниями и умениями использовать основное логарифмическое тождество , формулы логарифмирования и потенцирования, формулы перехода от одного основания к другому в процессе решения упражнений. Дать понятие натурального логарифма.

Воспитательная цель. Развивать продуктивное мышление учащихся при выводе формул и выполнении упражнений. Продолжать формирование умения правильно воспринимать и активно запоминать новую информацию , что является важнейшим качеством будущего специалиста. Развивать умение быстро и правильно проводить вычисления с привлечением простейших вычислительных качеств.

Основные знания и умения.

Знать: определение логарифма числа, формулы основного логарифмического тождества, логарифма произведения , частного, степени, перехода от одного основания к другому. уметь вычислять значения несложных логарифмических выражений.

Методические рекомендации.

Вид занятия: усвоение новых знаний .Мотивация познавательной деятельности учащихся. Рассказать , какую важную роль играют логарифмы в курсе математики, а так же в общетехнических и специальных дисциплинах , при этом подчеркнуть значение десятичных и натуральных логарифмов. Поэтому учащиеся должны хорошо усвоить понятие логарифма с произвольным основанием, основные формулы тождественных преобразований.

План занятия.

I. Повторение опорных знаний.

II .Объяснение нового материала

1. Логарифм, как седьмое математическое действие;

2. Определение логарифма;

3.Математика о логарифмах;

4. Свойства логарифма;

5. Закрепление свойств;

6.Ллогарифмы вокруг нас;

7.Продолжение изучения свойств логарифма;

8.Работа с текстом « Эволюция логарифмов».

III. Итог урока: межпредметная связь.

IV.Домашнее задание.

1) составление опорного конспекта.

1. Повторение опорных знаний.

Справедливы ли равенства?

1) (P^k )^m =P^{k m}

2) a^b = b^a

3) (P^m )ⁿ =(Pⁿ )^m

4) (a^m )ⁿ =

5) 49^-0.5 =

6) a^-1 =

1. Алгебру иногда называют « арифметикой семи действий». Давайте перечислим известные попарно с обратными им:

1) сложение 2) вычитание

3) умножение 4) деление

5) возведение в степень a^x = b 6) a=

Ставим перед собой задачу: как найти показатель степени х, если известны а и b ? Т.е. действие возведения в степень a^x = b имеет два обратных.

7) = x

2. Решим несколько примеров:

= = =

Предложить учащемуся сформулировать определение логарифма, не учитывая ограничений. Для обоснования ограничений предлагаем следующие примеры.

= х = х = х

2^х ≠ 0= а 0 2^х ≠ -4= b 0 1^х ≠ 3= а ≠ 1

Сформулируем полное определение логарифма.

Определение. Логарифмом числа b ( b 0 ) по основанию а ( а 0 ; а ≠ 1) называется показатель степени , в которую надо возвести а, чтобы получить b.

3. Предлагается набор текстов высказываний о логарифмах. Учащиеся зачитывают понравившиеся им цитаты.
4. Исходя из определения логарифма и конкретных примеров отметим некоторые свойства
1)Log_a5= Log₁₀₀100=

2) Log₅1= Log_1/21=

3)Log₃27=Log₃3³= Log₂16-Log₂2⁴=

4)2^Log2⁴=

5) Log_aN₁=Log_aN₂ N₁=N₂

5. Закрепление свойств по презентации . На определение логарифма возможны 3 типа упражнений …

1) Log₃1/27=… 3^…=1/27

2) Log₄₉49=… ^... =49

3) Log₃…=2 3²=…

4) 3^Log3⁴=…

5) 4^Log4…=8

6) Log2…=-4

6. Индивидуальный контроль для проверки усвоения определения логарифма, по карточкам с последующей оценкой.

Y=Log_aN

7. Логарифмы вокруг нас. На столах обучающихся лежит “Конверт знаний: звезды, шум, музыка и логарифмы”. Обучающийся знакомиться с текстами в конверте и затем отвечает на вопросы преподавателя. Конверт знаний

Для чего были придуманы логарифмы?

Непер: “Я старался, насколько мог и умел, отделаться от трудности и скуки вычислений, докучность которых обычно отпугивает весьма многих от изучения математики”.

Лаплас :”Изобретение логарифмов, сокращая вычисление нескольких месяцев в труд нескольких дней, словно удваивает жизнь астрономов ”.

Завещание на сотни лет

Капитал, приносящий 5%, увеличивается ежегодно в 1,05 раз. Как будто не столь заметно возрастание. А между тем по прошествии достаточного промежутка времени капитал успевает вырасти в огромную сумму. Этим объясняется поражающее увеличение капиталов, завещанных на весьма долгий срок. Кажется странным, что, оставляя довольно скромную сумму, завещатель делает распоряжение об уплате огромных капиталов. Известно завещание знаменитого американского государственного деятеля Веньямина Франклина.

Оставляя всего 1000 фунтов, Франклин распределяет миллионы. Здесь нет, однако, никакого недоразумения. Математический расчет удостоверяет, что соображения завещателя вполне реальны. Первоначальный капитал в 1000 фунтов, увеличиваясь ежегодно в 1,05 раза, через 100 лет должен превратиться в Х=1000х1,05¹⁰⁰ фунтов.

Это выражение можно вычислить с помощью логарифмов LgX=Lg1000+100Lg1,05=5,11893, откуда Х=131000.

Из романа “Господа Головлевы” М.Е. Салтыкова-Щедрина:

“Порфирий Владимирович сидит у себя в кабинете, исписывая цифирными выкладками листы бумаги. На этот раз его занимает вопрос: сколько было бы у него теперь денег, если бы маменька подаренные ему при рождении дедушкой на зубок сто рублей не присвоила себе, а положила в ломбард на имя Порфирия? Выходит, однако, немного: всего восемьсот рублей. ”

Предполагая, что Порфирию в момент расчета было 50 лет, и сделав допущения, что он произвел вычисления правильно (допущение маловероятное, так как едва ли Головлев знал логарифмы и справлялся со сложными процентами ), требуется установить, по сколько процентов платил в то время ломбард.

Громкость шума и яркость звезд

Громкость шума и яркость звезд оцениваются одинаковым образом – по логарифмической шкале.

Астрономы распределяют звезды по степеням видимой яркости на светила первой величины, второй величины, третьей величины и т.д. Легко понять, что «величина» звезды представляет собой не что иное, как логарифм её физической яркости.
Сходным образом оценивается и громкость шума. Вредное влияние промышленных шумов на здоровье рабочих и на производительность труда побудило выработать приемы точной числовой оценки громкости шума. Громкость шума, выраженная в белах, равна десятичному логарифму его физической силы.
То и другое – следствие общего закона (называемого «психофизическим законом Фехнера»),гласящего : величина ощущения пропорциональна логарифму величины раздражения.
Как видим, логарифмы вторгаются и в область психологии.
«…играя на клавишах современного рояля, музыкант играет, собственно говоря, на логарифмах…». Так называемые «ступени» темперированной хроматической гаммы представляют собой логарифмы длин волн соответствующих звуков. Только основание этих логарифмов равно 2, а не 10, как принято в других случаях.
Как используются логарифмы в расчете электроосвещения ?
Причина того, что направленные газом лампочки дают более яркий свет, чем пустотные с металлической нитью из такого же материала, кроется в различной температуре нити накала. Расчет зависимости яркости лампочки от температуры ее нити производится с помощью логарифмов. При изготовлении электролампочек заботятся о повышении температуры нити накала, дорожа каждым лишним градусом.

1) Для чего были придуманы логарифмы?
2) С помощью каких вычислительных средств можно вычислить логарифмы?
3) Можно ли использовать логарифмы на эстраде?
4) Имеют ли логарифмы отношение к музыке?
5)Как вы думаете, что связывает между собой шум, звезды и логарифмы?
6) Как используются логарифмы в электроосвещении?
7) Можно ли использовать логарифмы при составлении завещания?
8.Продолжение изучения свойств логарифма с использованием конкретных примеров :
1) Log₂(4x8)=? [Log₂32=Log₂2⁵=5]
Каким еще способом можно получить этот ответ?

Примеры.
1. Прологарифмировать по основанию 2.

1)X=2a³b 2) X= 3)X=³

2.Найди Х из данных уравнений.

1) Log_aX=Log_a2+Log_a3;
2)Log₃X=2/3Log₃8+1/2Log₃16

9. Рассматриваются формулы перехода от одного основания логарифма к другому
1)

2)

3)

4)

10. История развития логарифмов (работа с текстом ). Учащиеся письменно отвечают на вопрос.
Вопрос для работы с текстом: “Историческая справка о логарифмах”.

1) Кому принадлежит изобретение логарифмов ?
2)Какие системы логарифмов используются особенно широко?
3)Перечислите имена ученых, которые внесли свой вклад в разработку различных таблиц логарифмов ?
4)Перечислите вычислительные средства, которыми пользовались при вычислении логарифма?
5)В каком разделе математики особенно широко используются натуральные логарифмы?
6)Кто сформировал современное определение логарифма?

11.Межпредметная связь

12. Домашнее задание.

1) Составить опорный конспект по пройденной теме.

2) Решить примеры по теме.