Задачи по планиметрии

.

По условию

Поэтому

Ответ:

Способ 2.

Пусть АС = 4x, BD = 3x, тогда АО = 2x; ОВ = 1,5х.

Из Δ АОВ по теореме Пифагора имеем: АВ =

= .

ОН – высота Δ АОВ;

Так как Δ АОВ – прямоугольный, то ОН · АВ = АО · ОВ,

ОН · 2,5х = 2х · 1,5х,

ОН = .

Итак, .

Ответ: .

Задача 4

Дан ромб ABCD с острым углом В. Площадь ромба равна 320, а синус угла В равен 0,8. Высота СН пересекает диагональ BD в точке К. Найдите длину отрезка СК.

Решение

S_ABCD = АВ² sin β.

.

S_ABCD = AB · CН, CН = 16, по теореме Пифагора из Δ ВСН имеем ВН = ; ВН = 12.

В Δ ВСН ВК – биссектриса (свойство диагоналей ромба).

По свойству биссектрисы треугольника:

.

3КС = 5(16 – КС),

3КС = 80 – 5КС,

8КС = 80,

КС = 10.

Ответ: 10.

Задача 5

В параллелограмме ABCD  С = 120°. Биссектрисы углов В и С пересекаются в точке К, лежащей на стороне AD; СК = 3. Найдите площадь параллелограмма.

Решение

1)  В = 180 –  BCD = 60°.

 ВКС = 90°; ВС = 2СК = 6

CD = KD = KC = 3 ( KDC – равносторонний).

2) S_ABCD = AB · BC · sin В = 3 · 6 sin 60° = .

Ответ: .

Задача 6

Найдите площадь ромба, высота которого 4,8, а отношение диагоналей 3 : 4.

Решение

Пусть DВ = 3х, АС = 4х; тогда ОВ = 1,5х; АО = 2х,

Из Δ АОВ по теореме Пифагора имеем АВ = :

АВ = 2,5х.

Воспользуемся методом площадей:

S = AB · HD;

.

Итак, S_ABCD = 5 · 4,8 = 24.

Ответ: 24.

Задача 7

В параллелограмме ABCD биссектриса угла В пересекает сторону CD в точке Т и прямую AD в точке М. Найдите периметр треугольника СВТ, если АВ = 21, ВМ = 35, MD = 9.

Решение

СВТ – равнобедренный;

TDM ~ TBC (по двум углам)

TMD – равнобедренный; MD = DT.

СТ = ВМ = 12

TMD ~ BMA :

ТВ = ВМ – ТМ = 35 – 15 = 20

Р_СВТ = 2 · СТ + ВТ = 2 · 12 + 20 = 44

Ответ: 44.

Задача 8

Биссектриса угла А параллелограмма ABCD пересекает сторону ВС в точке К. Найдите площадь параллелограмма, если

В К = КС = 5, АК = 8.

Решение

1) АВК – равнобедренный.

АВ = ВК = 5.

2) Выполним дополнительное построение: продолжим АК до пересечения с DC в точке М (АК ∩ DC = M).

3) Δ АВК = Δ КМС (по стороне и прилежащим к ней углам).

4) S_BCD = S_ABK + S_AKCD = S_KMC + S_AKCD = S_AMD.

5) Δ KMC ~ Δ AMD с коэффициентом подобия 2.

6) По свойству площадей подобных фигур:

S_{Δ AMD} = 2² · S_{Δ ABK} .

7) По формуле Герона для АВК имеем:

S_ABK =

.

S_ABCD = 4 · 12 = 48.

Ответ: 48.

Задача 9

Диагонали АС и BD параллелограмма ABCD пересекаются в точке О, BD = 26, АС = 40, ВС = 21. Отрезок ОЕ – перпендикуляр к стороне ВС. Найдите разность площадей четырехугольников DCEO и АВЕО.

Решение

1) Так как S_ABO = S_DOC,

то S_DCEO – S_ABEO = S_OCE – S_OBE .

2) ОС = 20; ВО = 13 (по свойству диагоналей параллелограмма).

ВОС: Пусть ВЕ = х, тогда ЕС = 21 – х.

Применим теорему Пифагора и найдем ОЕ:

13² – х² = 20² – (21 – х)²;

х = 5; ОЕ = 12.

3) S_OBE = .

Итак, S_OCE – S_OBE = 96 – 30 = 66.

Ответ: 66.

Задача 10

В четырехугольнике ABCD AD = BC, AB = 5, CD = 4, сумма углов при вершинах А и В равна 60°. Найдите площадь четырехугольника ABCD.

Решение

Продолжим стороны ВС и AD до их пересечения в точке К.

Из условия:

.

Пусть СК = х; KD = y; AD = BC = z.

Тогда S_ABCD = S_KBA – S_CKD =

–

.

По теореме косинусов для СKD и BKA имеем:

Таким образом, S_ABCD =

Ответ:

Задачи для самостоятельного решения

2.1. На сторонах ВС и CD параллелограмма ABCD расположены точки E и F так, что ВЕ = 2ЕС; CF = 3FD. Диагональ BD пересекает отрезки АЕ и AF в точках Р и Q. Найдите отношение площади Δ APQ к площади параллелограмма.

Ответ: 0,2.

2.2. Из вершины D ромба ABCD опущен перпендикуляр DE на сторону ВС. Найти длину стороны ромба, если АС = , АЕ =

Ответ: .

2.3. Внутри параллелограмма ABCD расположена точка О так, что COD является равносторонним. Найдите периметр параллелограмма, если расстояние от точки О до прямых AD, АВ и ВС равно соответственно 3, 6 и 5.

Ответ:

2.4. В параллелограмме ABCD биссектриса угла А пересекает сторону ВС в точке Е, а биссектриса угла С пересекает сторону AD в точке F. Найдите площадь параллелограмма, если ВС = 3АВ,
а площадь четырехугольника, образованного пересечением прямых АЕ, CF, BF и DE, равна 4.

Ответ: 18.

2.5. В прямоугольнике ABCD AB = 5, AD = 4. На стороне АВ взята точка Е, такая, что Найдите длину АЕ.

Ответ: 2.

2.6. В прямоугольнике ABCD на диагональ АС опущен перпендикуляр BL, К – середина AL, М – середина CD. Найдите sin  BKM.

Ответ: 1.

2.7. Биссектриса угла А параллелограмма ABCD пересекает сторону ВС в точке К так, что ВК : КС = 4 : 3. Найдите большую сторону параллелограмма, если его периметр равен 132.

Ответ: 42.

2.8. Биссектрисы углов В и С параллелограмма ABCD пересекаются в точке К, лежащей на стороне AD. Площадь параллелограмма равна , . Найдите большую сторону параллелограмма.

Ответ: 12.

2.9. В параллелограмме ABCD АВ = 4, AD = 8. Биссектрисы углов А и В пересекаются в точке К, углов С и D – в точке М. Найдите КМ.

Ответ: 4.

2.10. Биссектрисы углов А и С параллелограмма ABCD пересекают стороны ВС и AD в точках К и Р соответственно, причем ВС : КС = 5 : 2. Площадь параллелограмма ABCD равна 75. Найдите площадь четырехугольника АКСР.

Ответ: 30.

2.11. Площадь ромба равна 600, а отношение длин диагоналей равно 4 : 3. Найдите высоту ромба.

Ответ: 24.

2.12. Сторона параллелограмма равна 21, а диагонали равны 34 и 20. Найдите площадь параллелограмма.

Ответ: 336.

2.13. На стороне АВ параллелограмма ABCD отмечены точки К и М так, что АК = КМ = МВ. Отрезки СК и DM пересекаются в точке О. Площадь параллелограмма равна 40. Найдите площадь треугольника COD.

Ответ: 15.

2.14. В параллелограмме ABCD биссектриса угла В пересекает сторону CD в точке Т и прямую AD в точке М. Найдите периметр треугольника АВМ, если ВС = 15, ВТ = 18, ТМ = 12.

Ответ: 80.

2.15. В параллелограмме ABCD биссектриса D пересекает сторону АВ в точке К и прямую ВС в точке Р. Найдите периметр треугольника ADK, если AD = 20, PK = 21, DK = 9.

Ответ: 21.

2.16. В ромбе ABCD диагонали равны 3 и 4, из вершины С тупого угла проведены две высоты СЕ и CF. Вычислите площадь AECF.

Ответ: 4,32.

2.17. В параллелограмме ABCD биссектриса угла С пересекает сторону AD в точке М и прямую АВ в точке К. Найдите периметр треугольника CDM, если СМ = 12, МК = 20, ВС = 24.

Ответ: 30.

2.2 Трапеция

 Во всякой трапеции середины боковых сторон и середины диагоналей лежат на одной прямой.

 Средняя линия трапеции равна полусумме оснований; отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований.

 Во всякой трапеции середины оснований, точка пересечения диагоналей и точка пересечения продолжений боковых сторон лежат на одной прямой.

65