Задание 12. Найдите наибольшее значение функции на отрезке .
Решение.
Вычислим производную, получим:
.
Приравняем производную нулю для поиска точек экстремума функции, получим уравнение
откуда имеем
Дополнительно нужно оценить значение функции в граничных точках диапазона
данные значения не могут быть выражены конечными десятичными дробями, а значит не являются ответами в ЕГЭ;
- точка максимума.
Ответ: 14.
Задание 12. Найдите точку минимума функции .
Решение.
Найдем значение производной
В точках экстремума функции производная равна нулю, получаем уравнение
Имеем две точки экстремума. Точка минимума будет та, в которой производная меняет свой знак с минуса на плюс. Анализируя поведение производной (вычисляем ее значение в точках справа и слева от точек экстремума), получаем точку минимума .
Ответ: -2.
Задание 12. Найдите точку минимума функции .
Решение.
Точки экстремума функции можно найти из уравнения
,
где
,
получаем уравнение
В точке минимума производная меняет свой знак с минуса на плюс. Анализ уравнения производной показывает, что точка минимума будет соответствовать .
Ответ: 2.
Задание 12. Найдите наибольшее значение функции на отрезке [63; 65].
Решение.
Преобразуем выражение к виду
и вычислим производную, получим
.
Точки экстремума функции располагаются в значениях, где производная равна нулю, т.е.
Чтобы найти наибольшее значение функции, нужно рассчитать функцию в точке экстремума и в граничных точках интервала, получим:
имеют бесконечное число знаков после запятой, такие значения не являются решением ЕГЭ,
.
Ответ: 523.
Задание 12. Найдите наименьшее значение функции на отрезке .
Решение.
Вычислим производную от функции, получим
Так как в точках экстремума функции производная равна нулю, имеем уравнение
Таким образом, наименьшее значение функции находится на границах интервала:
не выражается конечной десятичной дробью, а, значит, не является решением ЕГЭ,
.
Ответ: 14.
Задание 12. Найдите наименьшее значение функции на отрезке [-2; 0].
Решение.
Для нахождения наименьшего значения функции на интервале, необходимо вычислить значение функции в точках экстремума, находящихся в этом интервале и в граничных точках интервала.
Точки экстремума функции соответствуют нулевому значению производной
откуда получаем уравнение
Решая квадратное уравнение, получаем два корня
Находим значения функции в точках -2; -1; 0, имеем:
Наименьшее значение равно 4.
Ответ: 4.
Задание 12. Найдите наибольшее значение функции на отрезке .
Решение.
Для нахождения наибольшего значения функции рассчитаем ее значение в точках экстремума (которые принадлежат указанному диапазону) и на границах диапазона.
Вычислим производную для нахождения точек экстремума функции
Приравняем производную нулю, получим уравнение
Для имеем . Для имеем .
Находим значения функции в точке экстремума и на границах диапазона:
не может быть выражено в виде конечной десятичной дроби, а значит не является ответом в ЕГЭ,
.
Ответ: 7.
Задание 12. Найдите точку минимума функции .
Решение.
Точка минимума функции находится в одной из точек экстремума функции. Для нахождения точек экстремума найдем точки, в которых производная функции равна нулю, получим
Отсюда получаем уравнение для точек экстремума
В точке минимума производная меняет свой знак с отрицательного на положительный. Анализ поведения производной показывает, что точка минимума соответствует значению .
Ответ: -10.
Задание 12. Найдите наименьшее значение функции на отрезке [0; 13].
Решение.
Найдем наименьшее значение функции. Вычислим производную от функции, получим:
В точках экстремума производная равна нулю, имеем:
Найдем наименьшее значение функции, вычисляя ее значение в точках экстремума и на границах интервала, получим:
очевидно, не выражается в виде конечной десятичной дроби, а значит, не является ответом в ЕГЭ,
значит, минимальное значение функции равно 3.
Ответ: 3.
Задание 12. Найдите наибольшее значение функции на отрезке .
Решение.
Для нахождения наибольшего значения функции, необходимо вычислить ее значения в точках экстремума и на границах интервала. Найдем точки экстремума, вычислим производную функции, получим
и приравняем производную нулю
Вычислим функцию в точке экстремума и на границах интервала:
данное значение не может быть выражено в виде конечной десятичной дроби, а значит, не является ответом в ЕГЭ,
.
Ответ: 5.