Задание 14.Вариант 12 из 36 вариантов ЕГЭ 2021

Задание 14.Вариант 12 из 36 вариантов ЕГЭ 2021

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания АВ равна 4, а боковое ребро SA равно 5. На ребре SC отмечена точка K, причём SK: KC = 1:3. Плоскость α содержит точку K и параллельна плоскости SAD.

а) Докажите, что сечение пирамиды SABCD плоскостью α — трапеция.

б) Найдите объём пирамиды, вершиной которой является точка S, а основанием — сечение пирамиды SABCD плоскостью α.

Решение.

а) По условию задания точка K принадлежит SC, причем SK:KC = 1:3. Плоскость α, содержащая точку K параллельна плоскости SAD, следовательно,  и четырехугольник ZKMN – трапеция. Далее, учитывая, что пирамида правильная, то ZKMN – равнобедренная трапеция.

б) Прямые MZ и KN пересекаются в точке U, причем прямая US – пересечение плоскостей ASB и DSC, следовательно,  и четырехугольник ASUM – параллелограмм с US=AM.

Учитывая, что SK:KC = 1:3, имеем

Так как точки Z и K составляют четверть от SB и SC соответственно, то , а значит, DN=AM=1. Отсюда имеем CN=4-1=3 и SU=AM=1. Далее, FF1=AB=4, OF=OF1=2 (точка O делит диагонали и отрезки параллельные сторонам основания пополам), отсюда получаем, что

OO1 = OF-AM = 2-1=1

Рассмотрим прямоугольные треугольники SF1C и SOF1, в которых

Далее, из прямоугольного треугольника SOO1, получаем:

Так как четырехугольники ASUM и DSUN – параллелограммы, то MU=NU=5 и треугольник MNU – равнобедренный. Высота этого треугольника (UO1), равна:

Рассмотрим треугольник O1SU, из которого по теореме косинусов, имеем:

Синус этого угла, равен:

Пусть SH – высота треугольника O1SU, проведенная из точки S на сторону O1U. Тогда

откуда

Площадь трапеции MNKZ можно вычислить по формуле

,

где   , тогда

и

Ответ: