Задание 14. Вариант 27 из 36 вариантов ЕГЭ 2021

Задание 14. Вариант 27 из 36 вариантов ЕГЭ 2021

Задание 14. В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки А, В и С, а на окружности другого основания — точка C1, причём CC1 — образующая цилиндра, а АС — диаметр основания. Известно, что угол ACB = 45°, AB = 3√2, СС1 = 6.

а) Докажите, что угол между прямыми AC1 и BC равен 60°.

б) Найдите расстояние от точки B до прямой AC1.

Решение.

а) Пусть ВВ1 — образующая цилиндра. Тогда BB1C1C — прямоугольник, поэтому угол между прямыми AC1 и BC равен углу AC1B1.

Угол ABC опирается на диаметр основания цилиндра, поэтому он прямой. Значит, прямая B1C1, параллельная прямой BC, перпендикулярна прямым AB и BB1. Таким образом, прямая B1C1 перпендикулярна плоскости ABB1, а значит, угол АВ1С1 прямой.

В прямоугольном треугольнике АВ1С1

Значит, угол AC1B1 =60°.

б) Прямая АВ перпендикулярна прямым ВС и BB1. Таким образом, прямая АВ перпендикулярна плоскости BB1C. Следовательно, треугольник ABC1 прямоугольный, поэтому искомое расстояние равно его высоте h, проведённой к гипотенузе. Получаем:

Ответ:  .