Задание 16. Вариант 25 из 36 вариантов ЕГЭ 2021

Задание 16. Вариант 25 из 36 вариантов ЕГЭ 2021

Задание 16. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность, причём сторона CD — диаметр этой окружности. Продолжение перпендикуляра АН к диагонали BD пересекает сторону CD в точке а окружность — в точке F, причём Н — середина АЕ.

а) Докажите, что четырёхугольник BCFE — параллелограмм.

б) Найдите площадь четырёхугольника ABCD, если известно, что АВ = 5 и АН = 4.

Решение.

а) Точка В лежит на окружности с диаметром CD, поэтому  , а т.к.  , то ВС || AF. Трапеция ABCF вписана в окружность, значит, она равнобедренная, CF = АВ. Высота ВН. треугольника ABE является его медианой, значит, треугольник ABE равнобедренный, поэтому BE = АВ = CF, а т.к.  , то CF || BE. Противоположные стороны BE и CF четырёхугольника BCFE равны и параллельны, значит, это параллелограмм.

б) Треугольник ADE равнобедренный, т.к. его высота DH является медианой, значит,  , а т.к. вписанные углы DCF и DAF опираются на одну и ту же дугу, то

.

Следовательно, треугольник CEF равнобедренный, EF = CF = АВ = 5.

Из прямоугольного треугольника АВН находим, что ВН = 3, значит, высота параллелограмма BCFE (даже ромба), опущенная из вершины Е на сторону ВС, равна 3.

По теореме о произведении отрезков пересекающихся хорд  , откуда

Следовательно,

Ответ: 67,5.