Задание № 18 из вариантов ЕГЭ с решением

Задание 18. Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений

имеет более одного решения.

Решение.

Изобразим на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют первому уравнению системы.

Рассмотрим два случая:

1) Если , то получаем уравнение

Полученное уравнение задаёт прямую y = x + 5.

2) Если , то получаем уравнение

Полученное уравнение задаёт окружность с центром в точке Q(-5;5) и радиусом 5.

Полученные прямая и окружность пересекаются в двух точках А(-5;0) и В(0;5), лежащих на окружности х2+ у2=25, поэтому в первом случае получаем два луча l1 и l2 с концами в точках А и В соответственно, во втором — дугу ω с концами в тех же точках (см. рис.). Заметим, что точка — лежит на дуге ω и отрезок QC перпендикулярен прямой, полученной в первой случае.

Рассмотрим второе уравнение системы. Оно задаёт прямую m, параллельную лучам l1 и l2 или содержащую их.

При  прямая m содержит лучи l1 и l2, то есть исходная система имеет бесконечное число решений.

При  прямая m проходит через точку С, значит, прямая m касается дуги ω и не имеет общих точек с лучами l1 и l2, то есть исходная система имеет одно решение.

При  прямая m пересекает дугу ω в двух точках и не имеет общих точек с лучами и то есть исходная система имеет два решения.

При  или  прямая m не имеет общих точек с лучами l1 и l2 и дугой ω, то есть исходная система не имеет решений.

Значит, исходная система имеет более одного решения при .

Ответ: .

Ответ задания: .

Задание 18. Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение

на промежутке  имеет более двух корней.

Решение.

Рассмотрим функции  и . Исследуем уравнение  на промежутке .

При  все значения функции f(x) на промежутке  отрицательны, а все значения функции g(x) — неотрицательны, поэтому при  уравнение  не имеет решений на промежутке .

При  функция f(x) возрастает. Функция g(x) бывает на промежутке , поэтому уравнение  имеет не более одного решения на промежутке , причём решение будет существовать тогда и только тогда, когда , откуда получаем , то есть .

На промежутке  уравнение  принимает вид . Это уравнение сводится к уравнению . Будем считать, что , поскольку случай  был рассмотрен ранее. Дискриминант квадратного уравнения , поэтому при  это уравнение не имеет корней; при  уравнение имеет единственный корень, равный 2; при  уравнение имеет два корня.

Если уравнение имеет два корня  и , то есть , то больший корень , поэтому он принадлежит промежутку . Меньший корень  принадлежит промежутку  тогда и только тогда, когда

то есть .

Таким образом, уравнение  имеет следующее количество корней на промежутке :

- нет корней при ;

- один корень при  и ;

- два корня при  и ;

- три корня при .

Ответ: .

Задание 18. Найдите все значения а, при каждом из которых функция

имеет более двух точек экстремума.

Решение.

При , поэтому график функции есть часть параболы с ветвями, направленными вверх, и осью симметрии x=4.

При , поэтому график есть часть параболы с ветвями, направленными вверх, и осью симметрии x=1.

Все возможные виды графика функции f(x) показаны на рисунках.

Обе параболы проходят через точку .

Функция y = f(x) имеет более двух точек экстремума, а именно три, в единственном случае (рис. 1): , откуда .

Ответ: .

Задание 18. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых неравенство

выполняется для всех значений из отрезка .

Решение.

В зависимости от того, как располагается x относительно точек 2-a и (a-2)/2, модули будут раскрываться по-разному. При этом на каждом участке непрерывная функция  будет линейной с угловым коэффициентом k = 9 ± 3 ± 4 . Какова бы ни была комбинация знаков, k 0 . Следовательно, функция

монотонно возрастает. К тому же она определена на всей числовой прямой. Поэтому неравенство  будет выполнено при всех х на отрезке [-2;1] тогда и только тогда, когда :

Функция  имеет наименьшее значение в точке a = 1, и это значение равно . Во всех остальных точках  (см. рисунок). Следовательно, a = 1 — единственное значение, при котором выполняется неравенство .

Ответ: 1.