Задание 19. Вариант 27 из 36 вариантов ЕГЭ 2021

Задание 19. Вариант 27 из 36 вариантов ЕГЭ 2021

Задание 19. На доске написано 12 различных натуральных чисел. Среднее арифметическое семи наименьших из них равно 8, а среднее арифметическое семи наибольших равно 16.

а) Может ли наибольшее из этих двенадцати чисел равняться 18?

б) Может ли среднее арифметическое всех двенадцати чисел равняться 11?

в) Найдите наименьшее значение среднего арифметического всех двенадцати чисел.

Решение.

а) Если наибольшее число равно 18, то сумма семи наибольших чисел не больше 18 + 17 + 16 + 15 + 14 + 13 + 12 = 105, а их среднее арифметическое меньше или равно 15.

б) Пусть сумма пяти наименьших чисел равна A, сумма шестого и седьмого по величине чисел равна B, а сумма пяти наибольших чисел равна C. Предположим, что среднее арифметическое всех десяти чисел равно 11. Тогда получаем:

А + В = 56, В + С = 112, А + В + С = 132,

откуда B = 36, C =76. Это невозможно, поскольку должно выполняться неравенство C 2,5B.

в) По условию А + В = 56, В + С = 112. Среднее арифметическое будет наименьшим, когда будет наименьшей сумма всех чисел:

А + В + С = (А + В) +(В + С) - В = 168 - В.

Значит, нужно найти наибольшее значение В. Пусть числа, написанные на доске, равны  , причём

.

Тогда

откуда

значит,

Покажем, что число B может равняться 27. Например, если на доске написаны числа 2, 3, 6, 8, 10, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, то условия задачи выполнены и B = 27. Таким образом, наименьшее значение среднего арифметического равно

Ответ: а) нет; б) нет; в) 11,75.