Дифференциалдык теңдемелерге келтирилүүчү физикалык маселелер

Дифференциалдык тендемелерге келтирилүүчү физикалык маселелер

Табият таануу илимдеринин маселелерин чыгаруунун жүрүшүндө кандайдыр бир функцияны, анын аргументин жана функциянын туундуларын байланыштыруучу тиешелештиктер орун алышат. Мейли физикалык, биологиялык же ж.б. кандайдыр бир процесс изилденип жатат дейли. Бизди убакыттын өтүшү менен ошол процесстин мүнөздөгүчтөрүнүн б.а. кандайдыр бир чоңдуктун (температуранын, басымдын, массанын ж.б.) өзгөрүшү кызыктырат. Процесстин жүрүшү жөнүндө жетиштүү маалыматтар болсо, биз анын математикалык моделин тургузууга аракет жасайбыз.Андай маалыматтар көбүнчө дифференциалдык теңдеме түрүндө жазылат.

Кадимки дифференциалдык моделдерди тургузуу процессинде изилденүүчү маселенин табияты кайсы илимдин областы менен байланыштуу экендигин так билишибиз керек. Мисалы, механикада болсо бул Ньютондун закондору, электр чынжырлары теориясында – Кирхгофдун закондору, химиялык реакциялардын ылдамдыктарынын теориясында – массалардын кыймылдарынын закону жана башка болушу мүмкүн.

Практикада дифференциалдык теңдемелерди түзүүгө мүмкүндүк берүүчү закондор белгисиз болгон учурлар да кездешет, мындай учурда ар түрдүү божомолдорго (гипотезаларга) таянууга туура келет. Эгерде алынган дифференциалдык теңдемелердин негизинде чыккан изилдөөнүн жыйынтыктары математикалык модель катары тажрыйбалык берилиштер эске алынса, анда айтылган гипотеза чыныгы абалды туура сүрөттөйт дегенди түшүндүрөт.

Математикалык анализдин механикадагы пайдалуулугунун эң негизги себеби ылдамдык – бул өтүлгөн жолдон туунду, ал эми ылдамдануу- бул ылдамдыктан туунду экендигинде турат. Эгерде материалдык чекит түз сызыкты бойлото жүрсө жана анын ылдамдыгы t убакыт моментинде ылдамдыгы v(t) болсо, анда ушул убакыттагы ылдамдануу

a(t)= себеби ылдамдануу ылдамдыгынын өзгөрүүсүнө барабар. Түз сызык боюнча кыймылдаган материалдык чекит үчүн Ньютондун экинчи закону төмөндөгүдөй жазылат:

ma(t)=F же m

мында, - каралып жаткан материалдык чекитке таасир этүүчү күч. Ылдамдыктан гана көз каранды болуучу күчтөрдү кароо жөнөкөй болот. Эгерде F=f(v ) болсо, m же теңдемелер алынат. Мындай турдө берилген тендемелерди чыгаруу жолу жогоруда каралган. Абанын каршылыгы ылдамдыктын квадратына пропорционалдуу болгон шартта телонун түшүүсүн сүрөттөө талап кылынат. Бул шарттын тууралыгы тажрыйбалардын жыйынтыктарынан алынган. Анда түшүүчү телого аракет эткен күч F=mg-F_карш же F=mg-av², мында a-пропорционалдуулук коэффициенти ( оң деп төмөн жакты көздөй кеткен багытты алабыз).

Жыйынтыгында m mg-av² же , мында k= . Алынган тендемени чыгарууга өтөлү. Кыймыл башталганда v=0 жана барабарсыздыгы кыймыл болгон бардык убакыт аралыгында туура бойдон калат. Теңдеменин эки жагын бөлүп, туюнтмасы алынат. - функциясынын баштапкы функциясы болсун, б.а. = . Анда татаал функцияны дифференцирлөөнун формуласы боюнча = же алынат. F(v): F(v)= функциясын табалы. Төмөндөгүдөй өзгөртүп түзүүлөрдү жүргүзөбүз:

.

,

экендиги оңой далилденет.

Мындан

;

Жыйынтыгында болот.

Эгерде болсо, анда үшүү баштапкы ылдамдыгы жок жүрөт. , формулага алып барып коюп , 0=0+С, б.а. С=0 экендиги алынат.

Демек

Мындан ылдамдыгын төмөндөгүдөй аныктайбыз:

Күчтөрдүн талаасындагы кыймыл. Термелүүлөр

Материалдык чекит ( массадагы) огу боюнча кыймылдасын жана ага координатасы менен берилген чекитте күчү таасир этет дейли, б.а. таасирин тийгизген күчтүн бөлүгү анын координатасынан гана көз каранды болот. Убакыттын моментиндеги бөлүктөрдүн координатасын менен белгилейли жана - бөлүктөрдүн моментиндеги ылдамдыгы, – бөлүктөрдүн моментиндеги ылдамдануусу. функциясы функциясынан эки жолу туунду алуудан келип чыгат, ошондуктан көбүнчө аны деп белгилешкендиктен, бизда ушундай белгилөөнү колдонобуз. Ньютондун экинчи законунун негизинде же кененирээк барабардыгына ээ болобуз. Бул теңдеменин эки жагын тең ге бөлүү менен белгилөөсүн киргизип, же

(1)

барабардыгына ээ болобуз.

функциясы - функциясынан боюнча алынган экинчи туундусу деп аталат жана аркылуу белгиленет.

Мейкиндиктин ар бир чекитинде берилген жана бул чекиттер менен гана байланышкан (ал сүрүлүү катары чекиттин кыймылынын ылдамдыгынан көз каранды эмес) күчтөр күчтөрдүн талаасы деп аталат. Мисалы, кыймылсыз массадагы гравитациондук талаа (б.а. бир нече кыймылсыз чекиттердин серпилгич күчтөрүнүн жыйындысы )күчтөрдүн талаасы болуп эсептелет. Күндүн айланасында планеталардын айлануусу - күчтөрдүн талаасында бөлүктөрдүн кыймылдоосу жөнүндөгү маселеге мисал боло алат. Бул маселеге жоопту Кеплер берген (ошондуктан Кеплердик маселе же Кеплердин маселеси деп аталып жүрөт): ал Тихо Браг астрономиялык байкоолорун колдонуу менен планеталар эллипс боюнча кыймылдарын аныктаган. Бүткүл дүйнөлүк талаш тартыш законун Ньютон формулировкалаган жана андан Кеплердин берген жообу келип чыгарын көрсөткөн (Кеплердин маселесин чыгарган). Бул маеселе (1) түрүндөгү теңдемени изилдөөгө келтирилген, бирок үч өлчөмдүү мейкиндиктин ар бир чекитинде вектор фунциясы менен бирге скалярдык функциясынын маанилери (мында дагы вектордук функциясына умтулат) үч өлчөмдүү векторду берет. Бул бөлүмдө кандайдыр бир түз сызыктар боюнча ( огу) кыймылдар каралат, мында күч дагы ушул түз сызык боюнча багытталган деп болжолдонот. Төмөндөгүдөй мисалдарды карайлы:

Мисал. Шарик пружинага бекитилген. Туурасынан кеткен жылмакай полдо жаткан жана дубалга пружина менен бекитилген массадагы шарикти карайлы. Пружинанын огу боюнча огун жүргүзүп (1 – сүрөт) жана пружинанын тен салмак абалынан координата башталышын белгилейбиз.

Анда анда огу боюнча шариктин четтөөсү менен огу боюнча багытталган жана ке барабар болгон күч пайда болот, мында коэффициенттин болушу пружинанын катуулугун билдирет. Эгерде болсо, анда пружина чоюлуп, күчү сол тарапка багытталат, болсо, анда пружина кысылып, күчү оң тарапка багытталат (1 – сүрөт б, в). Бул формуласына туура келет. Бул учурда (1) теңдемеси

(2)

түрүнө келет, мында .

(1) жалпы теңдемеси үчүн энергиянын сакталуу законун чыгарабыз. Ал үчүн теңдемени түрүндө жазып алып жана барабардыктын эки жагын тең га көбөйтөбүз. Андан төмөнкү барабардыкка ээ болобуз:

(3)

Алынган барабардыктын сол жагы

туундусу катары жазылган. Барабардыктын оң жагынан баштапкы функциясын аркылуу белгилейбиз, б.а. анда келип чыгат; ордуна коюусун колдонуп, татаал фукцияны дифференцирлөө эрежеси боюнча төмөнкүнү алабыз:

(3) барабардыктан

келип чыгат, демек

мында Е – турактуу. Тактап айтканда

функциясы потенциалдык энергия деп аталат. Ал төмөндөгүдөй түрдө жазылат:

Эгерде деп эсептесек, анда – берилген талаада нерсенин чекитинен чекитине которулуудагы күчтүн жумушун аткарат. чекитин тандоо манилүү деле эмес, дун башка маанилеринде чоңдугу турактуулукка өзгөрүп кетет.

Пружинага бекитилген шарик жөнүндогү маселени чыгарууда энергиянын сакталуу законун колдонобуз. Бул учурда

мында жана энергиянын сакталуу закону төмөндөгүдөй түргө ээ болот:

Бул теңдеме Е белгилүүсүндө жогоруда биз үйрөнгөн типке жакын болот. Эгерде Е=0 болсо, анда болот да шарик тең салмак абалына туура келет. болсун дейли. Анда, теңдемени га карата чыгарып,

барабардыгын алабыз.

Тамыр астындагы туюнтма нөлгө умтулбайт деп эсептеп ( параметринин өзүнчө маанилеринде нөлгө умтулушу мүмкүн), (4) формуласына ээ болобуз:

Мындай типтеги теңдемени чыгаруу үчүн баштапкы функцияны

функциясынан издейбиз. Аны төмөндөгүдөй түрдө жазып алабыз:

Энергиянын сакталуу законунан болору түшүнүктүү, мында . белгилөөсүн киргизебиз. Андан кийин кээде А маанисине умтулары көрүнүп турат. А саны каралып жаткан термелүүнүн амплитудасы де аталат. деп алып жана

функциясы үчүн баштапкы фукнцияны эсептөө керек. Ал үчүн алгач

функциясына тескери болгон функциясынан туунду алабыз, мында . Тескери функцияларды дифференцирлөө эрежеси боюнча

мында - барабар болгон бурч, . Демек, жана . Ошентип,

Татаал функцияларды дифференцирлөө формуласы боюнча

барабардыгын алабыз, мындан функциясы үчүн баштапкы функциясы

түрүндө болот. (4) теңдемесинен барабардыгын алабыз, мында - каалагандай турактуу сан. Барабардыктын эки жагын тең га көбөйтүп, эки жагына тең функциясын колдонуп жана алынган барабардыктын эки жагын тең А көбөйтүү менен төмөнкүгө ээ болобуз:

мында – фазанын жылышы деп аталган каалагандай турактуу. деп алып, алабыз, демек ни тандоо менен А нын алдындагы белгини өзгөртүүгө болот. Демек, фазанын жылдыруучусу турактуу болгондуктан таштап кетүүгө болот жана акыркы барабардыкка ээ болобуз:

Мындай функциясы бардык маанилери үчүн (2) теңдемесинин чыгарылышы болорун түздөн-түз текшерүүгө болот. чоңдугу термелүүнүн айлануу жыштыгы деп аталат. - термелүүнүн мезгили.

Мисал. Чыныгы математикалык маятникти карайлы. -анын жибинин узундугу, m- жипке илинген шариктин массасы, ал эми x=x(t)- тең салмактуулуктун төмөнкү абалынан маятниктин кыйшаюу бурчу.

Шарикке аракет эткен күчтөрдү жана анын ылдамдануусун кароо менен төмөндөгү теңдемени алабыз:

(6)

Энергиянын сакталуу закону төмөнкү түрдө болот:

Бул так законду колдонуу менен, каалагандай чекитиндеги шариктин ылдамдыгын жана ага ушул чекитте таасир этүүчү бардык күчтөрдү табууга болот. тин кичине маанилеринде (6) тендемесин жакындатылган түрдө төмөндөгүдөй жазууга болот:

Бул тендеме (2) тендемеси менен дал келет, бирок мында . Ушул себептүү тен салмактуулук абалынан маятниктин кичине кыйшаюларында (6) теңдемесинин чыгарылышы (5) чыгарылыштарына жакын болорун күтүүгө болот. Бул учурда кичине термелүүлөрдүн мезгили болот.

Мисал. Сүрүлүүнү эске алуу менен пружинадагы шариктин кыймылын карайлы, сүрүлүүнү ылдамдыкка пропорционалдуу деп эсептейбиз. Анда пружинанын серпилгичтүүлүк күчүнө F_cүр= -bx’ сүрүлүү күчү кошулат, анда теңдеме төмөнкү түргө келет:

же

=0 (7)

мында . (7) теңдемесин чыгаралы. жаңы белгисиз функцияны киргизели. Бул функция үчүн теңдеме түзүү үчүн тиешелештигин (7) теңдемесине алыа барып коёбуз. Эки жагын дифференцирлөө менен төмөндөгүлөрдү алабыз:

,

Бул туюнтмаларды (7) теңдемесине коюу менен төмөндөгүгө ээ болобуз:

мүчөсүн жок кылуу үчүн деп алабыз. га кыскартуу менен төмөндөгү теңдеме алынат:

, мында .

Сүрүлүүнү өтө чоң эмес деп эсептесек, анда .

Анда функциясы үчүн (2) түрүндөгү теңдемеге келебиз, бирок нын ордуна өзгөрмөсү менен алабыз. Ошондуктан жана

, (8)

мында жана турактуулары ,
баштапкы шарттарынан аныкталат.

(8) формуласы басаңдоочу термелүүнү сүрөттөйт. функциясынын графиги закону боюнча кемүүчү амплитудалуу термелүү түрүндө болот.

Сүрүлүү термелүүнүн жыштыгын да төмөндөтөт, себеби . Эгерде болсо, анда (8) формуласы сүрүлүүсү эске алынбаган термелүүнү сүрөттөгон (5) формуласына өтөт.