Формирование определяемых понятий на примере темы "Четырехугольники"

Формирование определяемых понятий в школьном курсе геометрии

Важнейшим аспектом работы учителя является умение показать ученикам процесс возникновения нового понятия, и даже вовлечь учащихся в процесс создания его определения.

Главной особенностью математики как учебного предмета, отличающей ее от остальных областей знания является ее структура: аксиоматическое построение, с которым учащиеся встречаются только на наших уроках. В геометрии, как в учебном предмете, заложены уникальные возможности для обучения детей строгому дедуктивному доказательству.

На самом деле на уроках мы преследуем две цели 1) показать определенный набор геометрических теорем и определений; 2) объяснить сущность аксиоматического метода без понимания которого невозможно провести ни одно доказательство (Ведь даже слово «доказать» в жизни и в математике имеет разный смысл: в жизни - обосновать, убедить, привести подтверждающий пример, а в математике - при помощи логических умозаключений показать, что новое знание следует из предыдущего).

И основная трудность обучения состоит в том, что понимание предмета невозможно без понимания сути аксиоматического метода, а понимание метода в свою очередь требует высокого уровня понимания математики.

Давайте рассмотрим школьное определение прямоугольника - «Прямоугольник – параллелограмм, все углы которого прямые», и подумаем, как это определение воспринимает ученик, не понимающей сути построения математического знания. Понятие параллелограмм для ребенка новое и более сложное, чем понятие прямоугольника, которое понятно ему еще с детского сада. Ученик абсолютно не понимает зачем делать простое сложным.

Если не показать в процессе предварительной работы на уроке необходимость указанной формулировки, то данное определение вступает в противоречие с жизненным опытом ребёнка и может вызвать два типа реакции: отрицание нового- «Математика – не связана с жизнью, это все чушь, мне это не нужно, и зачем это только всё придумали?»; отрицание личного опыта: «Авторитетные для меня люди говорят, что математика – это хорошо, значит, мой личный опыт не годится и необходимо все запоминать и заучивать наизусть, понять это невозможно».

Получается, учитель успел только продиктовать определение – потратил три минуты, а перед ним уже полный класс детей в полном недоумении, желающих убежать с урока.

Значит, в процессе обучения надо попытаться сделать так, чтобы ребенок увидел преимущества нового определения, внутренне согласился с ним, а может быть и сам сформулировал это новое определение. Возможно ли это? Да, если показать школьнику математику в развитии и организовать обучение ей как обучение математической деятельности.

Рассмотрим изучение темы «Четырехугольники» при помощи приема классификации.

На магнитной доске вывешиваются четырехугольники, которые по мере ответов учащихся, переставляются таким образом, чтобы на доске возникла схема изучаемых понятий.

Согласно принципам генетического подхода новые систематические знания учащихся, должны быть связаны со старыми интуитивными наглядными представлениями детей. Обучение становится более эффективным, если дети будут иметь возможность не только наблюдать за тем, как учитель передвигает модели, но и сами перекладывать четырехугольники таким образом, чтобы в конце урока у каждого из них образовалась схема нового материала. На моделях, предназначенных для детей, мы не ставили номеров, чтобы при работе с фигурами ученики опирались на их свойства, а не на номера. Этой же цели могло бы способствовать небольшие изменения размеров и формы четырехугольников, предназначенных для детей, по сравнению с демонстрационными.

З
адание можно дать двумя способами: либо разделить четырехугольники на две группы либо найти два лишних четырехугольника. Чтобы выделить два лишних четырехугольника учащиеся также как и при первом варианта формулировки задания, должны найти основание для деления всех фигур на две группы. Однако такая постановка задания представляется нам более выигрышной, так как при сохранении тех же мыслительных приемов быстрее выводит учащихся на догадку в условиях ограниченного времени урока и большого объема вводимого материала.

Учащиеся быстро выделяют в качестве лишних - четырехугольники под номерами 1 и 11, сложнее им обосновать основание для своего деления. В нашем опыте ребята находили обоснование, что диагонали в данных четырехугольниках не пересекаются, а в остальных четырехугольниках пересекаются (данное свойство характерно для выпуклых четырехугольников вообще, и не рассматривая многоугольники или ломаные, учащихся не видят необходимости в другом определении). Чтобы обосновать введение другого основания для деления можно показать учащимся, что если оставить данное определение для выпуклых четырехугольников, то для шестиугольников придется вводить новое. Так как четырехугольники в большинстве учебников изучаются в восьмом классе, а определение выпуклых многоугольников не входит в программу этого класса, то данную проблему можно использовать для организации самостоятельной математической работы учащихся, предложив им придумать другое определение выпуклых четырехугольников самостоятельно, заинтересовав их и стимулировав оценкой и важностью самостоятельной исследовательской деятельности.

После деления четырехугольников на выпуклые и не выпуклые учитель переставляет фигуры и подписывает их.

После этого продолжаем работу с выпуклыми четырехугольниками и даем задание разбить на два класса или выделить два лишних. При разбиении на два класса ученики предлагала следующие варианты:

1. 2, 7, 12, 13 – все углы прямые,

3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 14 – не все углы прямые;

2) 2, 4, 5, 6, 7, 12, 13, 14 – все противолежащие стороны попарно параллельны,

3, 8 , 9, 10 – не все противолежащие стороны попарно параллельны;

3) 4, 7, 13, 6 – все стороны равны,

2, 3, 5, 8, 9, 10, 12, 14 – не все стороны равны.

В данном случае учителю остается лишь обратить внимание на второй вариант разбиения и предложить учащимся придумать название для четырехугольников, у которых противолежащие стороны попарно параллельны, объявить общепринятое название, в случае если никто из учащихся его не слышал и переставить фигуры на доске.

Выделив среди выпуклых четырехугольников параллелограммы надо обратить внимание учащихся на то, что среди выпуклых четырехугольников можно выделить еще одну группу фигур. Учащиеся легко поделят четырехугольники 3, 8, 9, 10 на две группы, выделив те, у которых две стороны параллельны. Избежать ошибок в определении трапеции позволит вопрос: можно ли определить трапецию как фигуру, у которой две стороны параллельны? В случае, если ученики не видят что параллелограмм также подходит под данное определение, то можно дать учащимся задание показать на схеме фигуры, которые подходят под это определение. Разобравшись в этом вопросе, ребята сами дадут верное определение трапеции. Схема изменится.

Следующим заданием будет разделить на два класса параллелограммы.

1. 2 , 7, 12, 13 – все углы прямые,

4, 5, 6, 14 – не все углы прямые;

Т ермин прямоугольники хорошо знаком учащимся.

Предложив по другому основанию поделить параллелограммы на два класса, наиболее вероятно получить следующий ответ: у параллелограммов под номерами 4, 7, 6, 13 –все стороны равны, у фигур 2, 5, 12, 14 не все стороны равны. После этого необходимо придумать название для фигур 4. 6, 7, 13 и объявив общепринятое название попросить учащихся дать определение ромба.

Сравнив вместе с учащимися рис. 4 и рис. 5, мы увидим, что существуют параллелограммы, которые являются как прямоугольниками, так и ромбами. Эти фигуры хорошо знакомы учащимся из предыдущего опыта, поэтому они легко назовут название этих фигур, а после проделанной работы еще и также легко сформулируют два определения квадрата – через прямоугольник и через ромб.

Дальше уже можно предложить учащимся построить для параллелограммов диаграмму Венна.

Необходимо отметить, что в зависимости от ответов учащихся ход приведенной работы может немного изменяться, но так как в данном случае учащиеся мыслят адекватно приемам познания, при которых данный материал мог бы создаваться, они все равно приходят к нужному результату.(придут к выводам, аналогичным тем, к которым пришли математики).

Если в процессе введения нового понятия нам удаётся вовлечь учащихся в процесс создания его определения, то это способствует развитию таких приемов мыслительной деятельности учащихся, как наблюдение, сравнение, индуктивное обобщение, абстрагирование и др., формирует умение критически мыслить, умение доказывать свою точку зрения, умение работать в команде и слушать мнение других. Дети учатся получать удовольствие от своей собственной мыслительной деятельности.