Сценарий видеолекции
Задание №24 ОГЭ по математике
Тема: Геометрическая задача на вычисление (Геометрическая задача, предполагающая действия с геометрическими фигурами, координатами, векторами.)
Цель: научить ребенка правильному построению графиков, пониманию задачи и логической правильности рассуждений.
Описание задания: задача на нахождение какой-либо длины или значения угла в геометрической системе.
Теория
Окружность называют описанной около треугольника, если все вершины треугольника расположены на окружности.
Её центр равноудалён от всех вершин, то есть должен находиться в точке пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.
Следовательно, около любого треугольника можно описать окружность, так как серединные перпендикуляры к сторонам пересекаются в одной точке.
Для остроугольного треугольника центр окружности находится в треугольнике.
Другая ситуация с прямоугольным и тупоугольным треугольниками.
Формулы:
Радиус описанной окружности
R=23h, поэтому R=a3–√3.
Радиус вписанной окружности
r=13h, где h — высота треугольника.
Если дана сторона треугольника a, то h=a3–√2.
Поэтому r=a3–√6.
Прямоугольный треугольник
Радиус описанной окружности
R=12c, где c — гипотенуза.
Радиус вписанной окружности
r=SΔp, где p — полупериметр.
Произвольный треугольник
Радиус описанной окружности
R=a⋅b⋅c4⋅SΔ;
R=a2sinα, где α — угол, противолежащий стороне a;
Если SΔ=abc4R,тоR=abc4SΔ;еслиSΔ=p⋅r,то r=SΔp.
Радиус вписанной окружности
r=SΔp, где p — полупериметр.
Теорема синусов
Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов:
Радиус описанной окружности
№1 Углы B и C треугольника ABC равны соответственно 66° и 84°. Найдите ВС, если радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен 15.
Алгоритм решения: Делаем чертеж по условию задания.
Определяем угол А.
Используем следствие из теоремы синусов для треугольника АВС.
Определяем ВС.
Записываем ответ.
Решение: 1. Делаем чертеж, соответствующий условию задания. 2. Найдем угол А треугольнике ABC: 3. Радиус R описанной окружности вокруг треугольника связан с длиной BC и синусом угла A выражением, которое является следствием теоремы синусов: Отсюда получаем:
Ответ: 15
№2 Углы В и С треугольника ABC равны соответственно 72° и 78°. Найдите ВС, если радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен 17.
Алгоритм решения: Делаем чертеж по условию задания.
Находим угол А в треугольнике.
Используем следствие из теоремы синусов для треугольника АВС.
Определяем ВС.
Записываем ответ.
Решение: 1. Делаем чертеж, удовлетворяющий условию задачи. 2. Рассматриваем треугольник ABC. В нем определяем угол A: ∠А=1800—∠В —∠С, откуда ∠А=1800 —710—790 = 300. 3. По теореме синусов и следствию из нее: где R – радиус описанной окружности. Имеем: 4. Определяем ВС из полученного равенства:
Ответ: 17
№3 Углы В и С треугольника ABC равны соответственно 71° и 79°. Найдите ВС, если радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен 8.
Алгоритм решения: Делаем чертеж по условию задания.
Находим угол А в данном треугольнике.
Используем следствие из теоремы синусов для треугольника АВС
Определяем ВС.
Записываем ответ.
Решение: 1. Делаем чертеж, удовлетворяющий условию задачи. 2. Определим угол А: ∠А=1800 —710—790 = 300. 3. Пусть R — радиус описанной окружности, тогда по следствию из теоремы синусов получаем: 4. Тогда, при подстановке в равенство полученных данных, получаем: ВС равно произведению сторон АВ и АС на синус угла А, который равен 300. Следовательно, ВС=2∙8∙0,5=8.
Ответ: 8
Приложение 1.
Ссылка на основную лекцию:
https://view.genial.ly/6035120db5e29b0d7a3daaad/presentation-opisannaya-okruzhnost
Ссылки на задачи:
Задача №1: https://www.youtube.com/watch?v=8QXkrWEtAw8
Задача №2: https://www.youtube.com/watch?v=lvzmFkBG-ZE
Задача №3: https://www.youtube.com/watch?v=ya_qEKhcZUY&t=16s
Приложение 2.
Ссылки:
https://spadilo.ru/zadanie-23-oge-po-matematike/
https://math-oge.sdamgia.ru/
ОГЭ 2020. Математика. Сборник заданий. Лаппо Л.Д., Попов М.А. (2020, 160с.)
ОГЭ 2020. Математика. Типовые варианты заданий. 50 вариантов. Под. ред. Ященко И.В. (2020, 280с.)
https://www.yaklass.ru/p/geometria/8-klass/okruzhnost-9230/vpisannaia-i-opisannaia-okruzhnosti-9244/re-44ec2b8e-dc52-456f-a0dc-69a012de326f
https://www.yaklass.ru/p/geometria/9-klass/sootnosheniia-mezhdu-storonami-i-uglami-treugolnika-skaliarnoe-proizvedeni_-9222/sootnosheniia-mezhdu-storonami-i-uglami-treugolnika-9281/re-7ad3359e-27dd-4ae0-9272-8f1ce3e75ec2
https://vk.com/away.php?to=https%3A%2F%2Fvsimse.ru%2Fvn-video-redaktor%2F&cc_key
https://vk.com/away.php?to=https%3A%2F%2Ftrashbox.ru%2Flink%2Ftop-android-qr&cc_key
https://vk.com/away.php?to=https%3A%2F%2Fskysmart.ru%2Farticles%2Fmathematic%2Fteorema-sinusov&cc_key
https://vk.com/away.php?to=https%3A%2F%2Fplay.google.com%2Fstore%2Fapps%2Fdetails%3Fid%3Dcom.mobile.qrcodereader%26hl%3Dru%26gl%3DUS&el=snippet
https://vk.com/away.php?to=https%3A%2F%2Fapps.apple.com%2Fru%2Fapp%2Fqr-code-reader%2Fid1067154451&cc_key