Исследовательская работа "Конверт Пирсона"

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

«Лицей №5» г.о. Зарайск

Областной конкурс

научно - исследовательской и проектной деятельности

«Юный исследователь»

Номинация: Научно-техническое творчество.

Секция: «Прикладная математика»

Тема: «Конверт Пирсона».

Автор работы: Моисеев Роман, 12 лет.

Научный руководитель:

Рысакова Валентина Николаевна,

учитель математики МБОУ «Лицей №5».

Зарайск, 2024 год

Оглавление

стр.

Введение………………………………………………………………………..3-4

Основная часть……………………………………………………………….5-16

1. Методы решения задач на смеси, сплавы и растворы………………...5

2. Основные понятия для решения задач на смеси, сплавы и растворы..5-7

3. Немного истории…………………………………………………………7

4. «Конверт Пирсона»……………………………………………………...7-8

5. Решение задач на смеси, сплавы и растворы с помощью конверта Пирсона (правило «креста»)………………………………………….. 9-16

Заключение…………………………………………………………………..17-18

Библиографический список………………………………………………… 19

Введение

«Математика – это язык, на

котором говорят все точные науки»

Николай Иванович Лобачевский

Актуальность

В этом учебном году, на уроках математики, мы познакомились с пропорцией. Учились решать задачи разной направленности, используя пропорцию и основное свойство пропорции. Среди решаемых задач были задачи на смеси, сплавы и растворы.

Задачи на растворы, сплавы и смеси имеют практическую направленность. Например, мы пьём чай и кладем в чашку столько сахару, чтобы не пересластить (создаём нужную нам концентрацию), а если пересластили, то добавляем воды. Концентрация соли в нашей пище. Летом мы делаем заготовки на зиму, сушим травы для чая, грибы, яблоки, груши и т.д. И мы понимаем, что чем дольше их сушить, тем меньше в них остается воды, при этом масса сухого вещества не меняется. Врач выписывает рецепт, и мы покупаем таблетки, мази, микстуры с определенной концентрацией лекарственных веществ.

Человеку часто приходится смешивать разные жидкости, порошки, газообразные или твёрдые вещества или разбавлять что-то водой. Поэтому в современном мире множество отраслей, например таких, как пищевая, фармацевтическая, тяжёлая промышленность, связаны с химией. Однако все они связаны не только с химией, но и с математикой, так как приходится решать задачи на процентное содержание тех или иных веществ в продуктах питания, в металле, в лекарствах и т.д.

Не всегда решение таких задач бывает лёгким. Наш учитель математики акцентировала наше внимание, что такие задачи есть в государственной итоговой аттестации 9 класса. У нас возник вопрос, а есть ли способ решения задач на смеси, сплавы и растворы более простой. Учитель сказал, что есть такой способ, но он не изучается в школьной программе математики.

При решении некоторых задач можно применить правило смешения (диагональную модель «Конверт Пирсона», или, что тоже самое, правило креста). Конверт Пирсона (квадрат Пирсона) – это способ, который позволяет рационально и экономно проводить вычисления при решении задач на концентрацию, что особенно ценно на ГИА.

Гипотеза: существуют другие способы решения задач на смеси и сплавы помимо тех, которые мы изучаем в школе.

Целью написания работы: применение «Конверта Пирсона» или способа «креста» при решении задач на смеси, растворы и сплавы.

Исходя из поставленной цели, были поставлены следующие задачи:

1. Изучить историческую справку о Карле Пирсоне;

2. Изучить теоретический материал по данной теме;

3. Рассмотреть практическое применение способа креста при решении задач на смеси, растворы и сплавы и сравнить его с некоторыми традиционными способами решения;

4. Провести анкетирование среди учащихся 6-9 классов «Знаете ли вы, что такое «Конверт Пирсона» и где он применяется?»;

5. Сделать анализ результатов

6. Представить результаты исследовательской работу на школьном Дне науки в 2024-2025 учебном году

Объект исследования: задачи на смеси, растворы и сплавы.  

Предмет исследования: решения задач на смеси, растворы и сплавы методом «креста».

Практическое применение: задачи на смеси и сплавы - это важная часть подготовки ученика к экзаменам. Ведь такие задачи сейчас включены в сборник для подготовки и проведения экзамена по математике за курс основной школы (5-9 классы). Так же эти задачи, имеющие практическое значение, являются хорошим средством развития мышления учащихся.

Основная часть

1. Методы решения задач на смеси, сплавы и растворы.

Работая над своей исследовательской работой, мы выяснили, что существуют:

Стандартные методы (используются чаще при решении задач на смеси и сплавы):

• С помощью таблицы.

• Арифметический способ.

• Применение линейного уравнения.

• Применение систем линейных уравнений.

Нестандартные методы:

• Способ «стаканчиков».

• Старинный способ решения

• Способ креста («Конверт Пирсона», «Квадрат Пирсона»).

1. Основные понятия для решения задач на смеси, сплавы и растворы

Для решения задач на смеси, растворы и сплавы необходимо знать перечень определённых понятий: пропорция; проценты; концентрация вещества.

Пропорция

Равенство двух отношений называют пропорцией.
или где .
Основное свойство пропорции. Равенство , где , является верной пропорцией тогда и только тогда, когда произведение крайних членов a и d равно произведению средних членов b и c.

Проценты

П роцент - одна сотая часть числа. Для краткости слово «процент» после числа заменяют знаком %. Слово «процент» от латинского слова procentum, что буквально означает «за сотню» или «со ста». С помощью процентов можно выразить отношение между двумя величинами: частью и целым. Впервые проценты появились в Вавилоне ещё до нашей эры, кроме того они также были известны в Индии. Индийские математики вычисляли проценты, применяя так называемое тройное правило, т.е. пользуясь пропорцией. В Европе проценты появились на 1000 лет позже. Их ввёл бельгийский учёный Симон Стевин, который в 1584 году впервые опубликовал таблицы процентов.

Концентрация вещества

Говоря о смесях, растворах и сплавах будем употреблять термин «смесь» независимо от её вида (твердая, жидкая, сыпучая, газообразная). Смесь состоит из основного вещества и примеси. Что такое основное вещество, в каждой задаче определяем отдельно.

Концентрацией называется величина, показывающая сколько растворенного вещества  содержится в определенном количестве раствора или растворено в определенном количестве растворителя.

Долей (α) основного вещества в смеси будем называть отношение массы основного вещества (m) в смеси к общей массе смеси (M):

Для того, чтобы хорошо решать любую задачу на смеси и сплавы необходимо знать:

• Все получающиеся сплавы или смеси однородны.

• При решении этих задач считается, что масса смеси нескольких веществ равна сумме масс компонентов.

• Это отношение может быть выражено либо в дробях, либо в процентах.

1. Немного истории

В начале немного истории и любопытных фактов. Немного о Пирсоне … Карл Пирсон родился 27 марта в 1857 году в Лондоне. Он был разносторонним человеком, активно изучал историю, математику, статистику, биологию, философию. Большую часть восьмидесятых годов 19 века он провел в Берлине, Гейдельберге, Вене и Брикслеге. Интересовали его религия и поэзия. С одинаковым интересом он изучал Гёте (немецкий поэт) и священное Писание. Автор свыше 650 опубликованных научных работ. 

Карл Пирсон погиб в Англии в городе Суррее 27 апреля 1936 года, прожив 79 лет.

1. «Конверт Пирсона»

Очень часто при решении задач приходится встречаться со случаями приготовления растворов с определенной массовой долей растворенного вещества, смешением двух растворов разной концентрации или разбавлением крепкого раствора водой. В некоторых случаях можно провести достаточно сложный арифметический расчет. Однако это малопродуктивно. Чаще для этого лучше применить правило смешения (диагональную модель «конверта Пирсона», или, что то же самое, правило креста).
Допустим, нужно приготовить раствор определенной концентрации, имея в распоряжении два раствора с более высокой и менее высокой концентрацией, чем нужно нам. Тогда, если обозначить массу первого раствора через m₁, а второго – через m₂, то при смешивании общая масса смеси будет слагаться из суммы этих масс. Пусть массовая доля растворенного вещества в первом растворе –  ₁, во втором –  ₂, а в их смеси –  ₃. Тогда общая масса растворенного вещества в смеси будет слагаться из масс растворенного вещества в исходных растворах:

m₁• ₁ + m₂• ₂ =  ₃(m₁ + m₂₎.

Отсюда

m₁(ώ₁ – ω₃) = m₂(ω₃ –ω ₂),

m₁/m₂ = (ω₃ – ω₂)/(ω ₁ – ω₃).

Видно, что отношение массы первого раствора к массе второго раствора есть отношение разности массовых долей растворенного вещества в смеси и во втором растворе к разности соответствующих величин в первом растворе и в смеси.

При решении задач на растворы с разными концентрациями чаще всего применяют диагональную схему правила смешении. При расчетах записывают одну над другой массовые доли растворенного вещества в исходных растворах, справа между ними – его массовую долю в растворе, который нужно приготовить, и вычитают по диагонали из большего меньшее значение. Разности их вычитаний показывают массовые доли для первого и второго растворов, необходимые для приготовления нужного раствора.

1. Решение задач на смеси, сплавы и растворы с помощью конверта Пирсона (правило «креста»)

Чтобы показать превосходство метода креста, рассмотрим решение задачи 1 несколькими способами.

Задача 1.

Сколько нужно взять 10%-го и 30%-горастворов марганцовки, чтобы получить 200г 16%-го раствора марганцовки?

Решение. Способ 1. (для учащихся 5 класса)

Пусть масса первого раствора –х г.

Уравнение.

0,1х+0,3(200-х)=0,16•200

0,1х+60-0,3х=32

-0,2х=32-60

-0,2х=-28

х=-28: (-0,2)

х=140

200-140=60(г)

Ответ: 140г – 10% раствора и 60г 30% раствора.

Способ 2.(для учащихся 7-9 классов)

Пусть масса первого раствора – х г., масса второго раствора –у г.

Составляем систему уравнений

Ответ: 140г – 10% раствора и 60г 30% раствора.

Способ 3. Решим задачу по правилу «креста». Составляем схему.

I раствор 10% 14%

16%

II раствор 30% 6%

200: (14+6)•14=140(г)

200: (14+6)•6=60(г)

Ответ: 140г – 10% раствора и 60г 30% раствора.

Вывод: решение задачи по правилу «Конверт Пирсона» или по правилу «креста» более простое и на решение требуется меньше времени.

Задача 2.

Определите концентрацию раствора, полученного при слиянии 150 г 30%-го и 250 г 10%-го растворов какой-либо соли.

Решим задачу по правилу «креста».

Пусть получится раствор концентрации х%. Составляем схему.

30% х-10% -150г

Х

10% 30% -х -250г

Составляем пропорцию

(30 – х)•150 = (х – 10)•250,

4500 – 150х = 250х – 2500,

250х – 150х=4500 – 2500

400х=700

х= 7000:400

х=17,5

Ответ: при слиянии взятых растворов получится новый раствор с концентрацией 17,5%.

Задача3.

Морская вода содержит 5% соли (по массе). Сколько пресной воды нужно добавить к 30 кг морской воды, чтобы концентрация соли составила 1,5%?

Решим задачу по правилу «креста».

Пусть надо добавить х кг пресной воды. Составляем схему.

Ответ: 7 килограммов

Задача 4.

Определите, сколько нужно взять 10%-го раствора соли и 30%-го раствора этой же соли для приготовления 500 г 20%-го раствора.

Решим задачу по правилу «креста». Составляем схему.

10% 10%

20%

30% 10%

Для приготовления 500 г 20%-го раствора соли нужно взять по 10 частей растворов исходных концентраций.

1 часть равна 500:(10 + 10) = 25 г.

Тогда нужно взять исходные растворы по 250 г

Ответ: для приготовления 500 г 20%-го раствора нужно взять исходные растворы по 250 г

Задача 5.

Имеем два стальных сплава с содержанием никеля 10% и 70%. В каком соотношении нужно взять данные сплавы, чтобы получился сплав с содержанием 60% никеля?

Решим задачу по правилу «креста». Составляем схему.

10% 10%

60%

70% 50%

Значит сплавы берём в отношении

Ответ: в отношении 1:5

Задача 6.

Один раствор содержит 20% соли, а второй - 70% . Сколько граммов первого и второго растворов нужно взять, чтобы получить 100 г 50%-го солевого раствора?

Решим задачу по правилу «креста». Составляем схему.

20% 20%

50%

70% 30%

Значит, 100 г смеси составляет 50 частей.

Одна часть – 100: (30+ 20) = 2(г), 70%-й раствор - 2∙ 30 = 60 (г),

20%-й раствор – 2 ∙20 = 40(г).

Ответ: 20%-го 40г, 70%-го 60г.

Задача 7.

Определите, сколько нужно взять растворов соли 60%-й и 10%-й концентраций для приготовления 300 г раствора 25%-й концентрации.

Решим задачу по правилу «креста». Составляем схему.

60% 15%

25%

10% 35%

Всего 50 частей

Масса одной части: 300:50 = 6 (г).

Тогда масса первого раствора 6•15 = 90 г, масса второго- 6•35 = 210 г.

Ответ. 90 г 60% раствора и 210 г. 10% раствора

Задача 8.

Сколько граммов 35%-го раствора марганцовки нужно добавить к 325 г воды, чтобы концентрация марганцовки в растворе составила 10%?

Решим задачу по правилу «креста». Составляем схему.

35% 10%

10%

0% 25%

Значит, 325 г воды составляет 25 частей, а 35%-й раствор – 10 частей, или 325:25•10=130 (г)

Ответ: 130 граммов 35%-го раствора марганцовки.

Задача 9.

Требуется приготовить 100г 10%-го раствора нашатырного спирта. Сколько для этого потребуется воды и 25%-го раствора нашатырного спирта?

Решим задачу по правилу «креста».

Составляем схему.

25% 10%

10%

0% 15%

Значит, надо взять 100:(15+10)•10=40(г) - нашатырного спирта и

100:25•15=60(г) – воды.

Ответ: 40 граммов нашатырного спирта и 60 граммов воды.

Задача 10.

Имеется творог двух сортов. Жирный творог содержит 20% жира, а нежирный 5% жира. Определите процент жирности получившегося творога, если смешали 2кг жирного и 3кг нежирного творога.

Решим задачу по правилу «креста».

Пусть х процент жирности получившегося творога. Составляем схему.

20% (х-5)% - 2кг

х%

5% (20-х)% - 3кг

Составим пропорцию

3(х-5)=2(20-х)

3х-15=40-2х

3х+2х=40+15

5х=55

х=55:5

х=11

Ответ: жирность получившегося творога 11%.

Заключение

П риступая к исследовательской работе, мы провели анкетирование среди учащихся 6-9 классов и выяснили, что ученики нашей школы (МБОУ «Лицей №5» здание п. Масловский) никогда не слышали о «конверте Пирсона» и не знают где он применяется. Возможно потому, что данный способ решения задач чаще имеет название способ «креста». Поэтому мы решили ознакомить учащихся нашей школы с результатами нашей исследовательской работы на Дне Науки в следующем учебном году.

Мы считаем, что с поставленной целью и задачами нашей исследовательской работы мы справились. Нам удалось изучить метод «Конверт Пирсона» и научиться применять его при решении задач на смеси, сплавы и растворы. Обобщить и систематизировать изученный материал по выше указанной теме. Проводя исследование, мы нашли 7 способов решения задач на смеси, с некоторыми мы знакомились на уроках математики. Есть среди них и методы решения, которые изучаются в, более, старших классах. В своей исследовательской работе мы рассмотрели не очень сложные задачи, более сложные мы будем решать в старших классах. Нужно отметить, что не все способы удобны для решения, но каждый из них по-своему уникален. Применение при решении задач способа креста помогает сэкономить время, что немаловажно при решении заданий на контрольных работах и, самое главное, на государственных экзаменах.

Как и все методы решений, конверт Пирсона имеет свои преимущества и недостатки. Одним из преимуществ этого способа является то, что он доступен ученикам, которые не умеют решать уравнения. Также конверт Пирсона полезен для домохозяек, чтобы получать нужную концентрацию уксуса и сиропа. Недостатком этого метода является то, что его можно применять только при смешивании двух растворов, или двух смесей, или двух сплавов. То есть если необходимо смешивание более двух веществ, то конверт Пирсоне уже применить будет нельзя. И, тем не менее, данный метод заслуживает внимания.

Решение задач на растворы, смеси и сплавы являются хорошим накоплением опыта решения задач. Такой вид работы делает мышление учащихся оперативным, воспитывает творческое отношение к тем задачам, которые ставит жизнь, учит учащихся прогнозированию. В задачах этого типа прослеживается системный подход к решению задач. Происходит успешная отработка и закрепление интеллектуальных умений.

Библиографический список

1. Водингар М.И., Лайкова Г.А. Решение задач на смеси, растворы, сплавы. Математика в школе, № 4, 2001г. с. 67-69

2. «Задачи на смеси, растворы и сплавы». «Первое сентября». – 2009. - №31

3. Копылова Н.П. Решебник «Задачи на смеси и сплавы» 2005г. г. Шелехов.

4. Прокопенко Н. И. Задачи на смеси и сплавы. – М.: Чистые пруды, 2010.

5. https://portal.tpu.ru/SHARED/g/GERINII/UMKD/Tab/%D0%9F%D0%A0%203%20%D0%9F%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%B8%D0%BB%D0%BE%20%D0%BA%D1%80%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B0.pdf

6. https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%B8%D1%80%D1%81%D0%BE%D0%BD,_%D0%9A%D0%B0%D1%80%D0%BB

7. https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D1%82%D0%B5%D0%B2%D0%B8%D0%BD,_%D0%A1%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D0%BD#/media/%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB:Simon-stevin.jpeg