Изучение темы "Квадратные уравнения на углубленном уровне в 8 классе"

Изучение темы « Квадратные уравнения» на углубленном уровне в 8 классе

Учитель МБОУ СОШ № 42 им. Б.Г. Шуклина

Натарова

Марина Георгиевна

Основная задача обучения математики в школе в обеспечении прочного и сознательного овладения учащимися системой математических знаний и умений. Наряду с решением основной задачи, углубленное изучение математики предусматривает формирование у учащихся устойчивого интереса к предмету, выявлению и развитию их математических способностей.

Углубленное изучение математики в 8 классе является в значительной мере ориентационной. На этом этапе ученику надо помочь осознать степень своего интереса к предмету и оценить свои возможности овладения им с тем, чтобы по окончании 9 класса ученик смог сделать осознанный выбор в пользу углубленного либо обычного изучения математики.

Интерес и склонность учащихся к математики должны все время подкрепляться и развиваться. Требования к знаниям и умениям учащихся при углубленном изучении математики ни в коем случае не должно быть завышенным. Чрезмерность требований порождает перегрузку, что может привести к угасанию интереса к математике.

Учебный процесс должен быть ориентирован на освоение учащимися прежде всего основного материала. Значительное место в учебном процессе должно быть отведено развитию навыков самостоятельной деятельности, и подготовке докладов и проектов, проработке теоретического материала. Очень важно организовать дифференцированный подход к обучению учащихся.

Я хочу рассмотреть изучение темы «Квадратные уравнения» в углубленном классе. В этой теме учащиеся должны уметь решать полные, неполные квадратные уравнения, уравнения, сводящиеся к квадратным. Должен быть сформирован навык решения полных уравнений через дискриминант у всех учащихся, а также необходимо добиваться формирования умений решать уравнения с четным вторым коэффициентом, используя формулу D/4. При этом ребята должны не только уметь пользоваться соответствующей формулой и видеть ее преимущества, но и понимать вывод формулы D/4.

Остановимся подробно на уравнениях, решаемых заменой переменной.

Пример . Решить уравнение:

В данном уравнении надо найти удобный способ группировки множителей, позволяющий с помощью замены переменной свести исходное уравнение к квадратному.

Сгруппируем множители:

Сделать замену переменной можно разными способами.

Например, ,

получим:

Обратная замена дает

Можно сделать замену , или .

Интересна также замена , благодаря которой исходное уравнение сводится к уравнению .

По опыту своей работы, хочу заметить, что, как правило, находится группа детей, которая любит решать сложные задания. Им можно предложить изучение методов решения однородных и возвратных уравнений.

Как правило, большинство учеников знакомятся с однородными уравнениями только в старших классах, когда решают показательные и тригонометрические уравнения. Однако уже в 8 классе есть возможность познакомится с уравнениями вида:

.

Решаются такие уравнения делением на , при этом обращаем внимание детей на обязательную проверку возможности равенства

Замечаем, что если , то

Пример . Решить уравнение:

Заметим, что не является корнем уравнения. Разделив обе части на , имеем:

  Замена приводит к уравнению

Откуда:  

В результате имеем:

Решая эти уравнения, получаем:

К возвратным уравнениям относят уравнения вида .

Они сводятся к квадратным относительно .

Пример. Решить уравнение

Вынесем за скобку, а оставшееся выражение группировкой сведем к квадратному трехчлену:

Так как не является корнем (легко убедиться в этом, глядя на исходное уравнение), то имеем

  Получили уравнение, квадратное относительно .

Откуда . 

Далее выходим на квадратные уравнения:

  В результате получим:

Важным моментом в теме “Квадратные уравнения” является изучение теоремы Виета и обратной ей, которые утверждают наличие зависимости между корнями и коэффициентами квадратного уравнения.

Теорема Виета.

Если , – корни уравнения , то

Для приведенного уравнения теорема принимает вид:

Теорема

Если , – корни уравнения , то

.

Для закрепления теоремы Виета, можно дать следующую подборку задач, которые, как правило, интересны ребятам.

Задачи:

Известно, что и – корни уравнения .

Не решая уравнение, найдите значения выражений:

1) , 2) , 3) ,

4) , 5) .

Теорема, обратная теореме Виета

Если числа , таковы, что

,

то , – корни уравнения

Теорема, обратная теореме Виета, позволяет составлять квадратные уравнения по известным корням. При этом ребята обращают внимание на то, что если приведенное уравнение имеет дробные коэффициенты, то из него легко получить равносильное ему уравнение с целочисленными коэффициентами.

Пример.

Составьте квадратное уравнение с целочисленными коэффициентами, имеющее корни , .

Как правило, дети легко подбирают корни квадратного уравнения с целочисленными коэффициентами, зная факты о сумме и произведении корней. Но весьма полезны и следующие факты:

Теорема 1 . Если сумма коэффициентов квадратного уравнения равна 0, то , .

Пример.  

Теорема 2 . Если , то , .

Пример.

Одна из главных линий в математических классах – учить решать уравнения с модулем. Конечно, и в теме “Квадратные уравнения” продолжаем работу над формированием понятия модуля и выработку умений оперировать с модулем.

Примеры:

• ,
• ,
• ,
• ,

Параметры – одна из самых трудных тем в алгебре. При изучении квадратных уравнений в классах с углубленным изучением математики стоит разбирать такие задания.

Примеры:

• При каких значениях с уравнение имеет единственный корень.
• При каком значении а один из корней уравнения равен 1.
• При каких значениях параметра а модуль разности корней уравнения равен 3?
• Определить количество корней уравнения в зависимости от параметра k .

  При исследовании последнего уравнения стоит обратить внимание учащихся, что при уравнение оказывается линейным.

В 8 классе не изучаются квадратные неравенства, поэтому к вопросу исследования квадратных уравнений с параметром, возвращаемся в 9 классе.

Замечу, что тема “Квадратные уравнения” традиционно встречается в заданиях на перечневых олимпиадах и во Всероссийской олимпиаде школьников.

По теме “Квадратные уравнения” ученикам можно предложить подготовить проекты, затронув вопросы истории возникновении теории квадратных уравнений, применения уравнений в различных областях: в физике, в технике и экономике.

Спасибо за внимание!