Справка: Этьен Безу – французский математик, член Парижской Академии Наук( с 1758 года ), родился в Немуре 31 марта 1730 года и умер 27 сентября 1783 года.
С 1763 года Безу преподавал математику в училище гардемаринов, а с 1768 года и в королевском артиллерийском корпусе.
Основные работы Этьена Безу относятся к высшей алгебре, они посвящены созданию теории решения алгебраических уравнений. В теории решения систем линейных уравнений он содействовал возникновению теории определителей , развивал теорию исключения неизвестных из систем уравнений высших степеней, доказал теорему (впервые сформулированную К. Маклореном ) о том , что две кривые порядка m и n пересекаются не более чем в mn точках. Во Франции и за её границей вплоть до 1848 года был очень популярен его шеститомный“Курс математики “, написанный им в 1764-69 годах. Безу развил метод неопределённых множителей, в элементарной алгебре его именем назван способ решения систем уравнений, основанный на этом методе . Часть трудов Безу посвящена внешней баллистике. Именем учёного названа одна из основных теорем алгебры.
Теорема Безу.
Остаток от деления полинома P n ( x ) на двучлен ( x - a ) равен значению этого полинома при x = a .
Пусть : P n ( x ) – данный многочлен степени n , двучлен ( x - a ) - его делитель,
Q n -1 ( x ) – частное от деления P n ( x ) на x - a (многочлен степени n-1 ) , R – остаток от деления ( R не содержит переменной x как делитель первой степени относительно x ).
Доказательство :
Согласно правилу деления многочленов с остатком можно записать : P n (x) = (x-a)Q n-1 (x) + R .
Отсюда при x = a : P n (a) = (a-a)Q n-1 (a) + R =0*Q n-1 (a)+R= =0+ R = R .
Значит , R = P n ( a ) , т.е. остаток от деления полинома на ( x - a ) равен значению этого полинома при x = a , что и требовалось доказать .
Следствия из теоремы .
Следствие 1 :
Остаток от деления полинома P n ( x )
на двучлен ax + b равен значению этого полинома при x = - b / a , т . е . R=P n (-b/a) .
Доказательство :
Согласно правилу деления многочленов : P n (x)= (ax + b) * Q n-1 (x) + R .
При x= -b/a : Pn (-b/a) = (a(-b/a) + b)Qn-1(-b/a) + R = R. Значит , R = Pn (-b/a) , что и требовалось доказать.
Следствие 2 :
Если число a является корнем многочлена P ( x ) , то этот многочлен делится на ( x - a ) без остатка .
Доказательство :
По теореме Безу остаток от деления многочлена P ( x ) на x - a равен P ( a ) , а по условию a является корнем P ( x ) , а это значит , что P ( a ) = 0 , что и требовалось доказать .
Из данного следствия теоремы Безу видно , что задача решения уравнения P ( x ) = 0 равносильна задаче выделения делителей многочлена P , имеющих первую степень ( линейных делителей ) .
Следствие 3 :
Если многочлен P ( x ) имеет попарно различные корни a 1 , a 2 , … , a n , то он делится на произведение ( x - a 1 ) … ( x - a n ) без остатка .
Доказательство :
Проведём доказательство с помощью математической индукции по числу корней . При n =1 утверждение доказано в следствии 2 . Пусть оно уже доказано для случая , когда число корней равно k , это значит , что P(x) делится без остатка на ( x - a 1 )( x - a 2 ) … ( x - a k ) , где a 1 , a 2 , … , a k - егокорни .
Пусть P ( x ) имеет k +1 попарно различных корней .По предположению индукции a 1 , a 2 , a k , … , a k +1 являются корнями многочлена, а , значит, многочлен делится на произедение ( x - a 1 ) … ( x - a k ) , откуда выходит , что P(x) = (x-a 1 ) … (x-a k )Q(x).
При этом a k +1 – корень многочлена P ( x ) , т. е. P ( a k +1 ) = 0 .
Значит , подставляя вместо x a k +1 , получаем верное равенство : P(a k+1 ) = (a k+1 -a 1 ) … (a k+1 -a k )Q(a k+1 ) = =0 .
Но a k +1 отлично от чисел a 1 , … , a k , и потому ни одно из чисел a k +1 - a 1 , … , a k +1 - a k не равно 0 . Следовательно , нулю равно Q ( a k +1 ) , т. е. a k +1 – корень многочлена Q ( x ) . А из следствия 2 выходит , что Q ( x ) делится на x - a k +1 без остатка .
Q ( x ) = ( x - a k +1 ) Q 1 ( x ) , и потому P(x) = (x-a1) … (x-ak)Q(x) = =( x - a 1 ) … ( x - a k )( x - a k +1 ) Q 1 ( x ) .
Это и означает , что P ( x ) делится на ( x - a 1 ) … ( x - a k +1 ) без остатка .
Итак, доказано , что теорема верна при k =1 , а из её справедливости при n = k вытекает , что она верна и при n = k +1 . Таким образом, теорема верна при любом числе корней , что и требовалось доказать .
Следствие 4 :
Многочлен степени n имеет не более n различных корней .
Доказательство :
Воспользуемся методом от противного: если бы многочлен P n ( x ) степени n имел бы более n корней - n + k (a 1 , a 2 , … , a n + k - его корни ) , тогда бы по ранее доказанному следствию 3 он
бы делился на произведение ( x - a 1 ) … ( x - a n + k ) , имеющее степень n + k , что невозможно .
Мы пришли к противоречию , значит наше предположение неверно и многочлен степени n не может иметь более , чем nкорней , что и требовалось доказать .
Следствие 5 :
Для любого многочлена P ( x ) и числа a разность ( P ( x )- P ( a )) делится без остатка на двучлен ( x - a ) .
Доказательство :
Пусть P ( x ) – данный многочлен степени n , a - любое число .
Многочлен P n ( x ) можно представить в виде : P n ( x )=( x - a ) Q n -1 ( x )+ R , где Q n -1 ( x ) – многочлен , частное при делении P n ( x ) на ( x - a ) , R – остаток от деления P n ( x ) на ( x - a ) .
Причём по теореме Безу : R = P n (a) , т.е. P n (x)=(x-a)Q n-1 (x)+P n (a) .
Отсюда Pn(x) - Pn(a) = (x-a)Qn-1(x) , а это и означает делимость без остатка ( P n ( x ) – P n ( a ) ) на ( x - a ) , что и требовалось доказать .
Следствие 6 :
Число a является корнем многочлена P ( x ) степени не ниже первой тогда и только тогда , когда P ( x ) делится на ( x - a ) без остатка .
Доказательство :
Чтобы доказать данную теорему требуется рассмотреть необходимость и достаточность сформулированного условия .
1. Необходимость .
Пусть a – корень многочлена P ( x ) , тогда по следствию 2 P ( x ) делится на ( x - a ) без остатка .
Таким образом делимость P ( x ) на ( x - a ) является необходимым условием для того , чтобы a являлось корнем P ( x ) , т.к. является следствием из этого .
2. Достаточность .
Пусть многочлен P ( x ) делится без остатка на ( x - a ) , тогда R = 0 , где R – остаток от деления P ( x ) на ( x - a ) , но по теореме Безу R = P ( a ) , откуда выходит , что P ( a ) = 0 , а это означает , что a является корнем P ( x ) .
Таким образом делимость P ( x ) на ( x - a ) является и достаточным условием для того , чтобы a являлось корнем P ( x ) .
Делимость P ( x ) на ( x - a ) является необходимым и достаточным условием для того, чтобы a являлось корнем P ( x ) , что и требовалось доказать .
Следствие 7(авторское) :
Многочлен , не имеющийй действительных корней , в разложении на множители линейных множителей
не содержит .
Доказательство :
Воспользуемся методом от противного: предполо-жим , что не имеющий корней многочлен P ( x ) при разложении на множители содержит линейный множитель ( x – a ) :
P(x) = (x – a)Q(x) ,
тогда бы он делился на ( x – a ) , но по следствию 6 a являлось бы корнем P ( x ) , а по условию он корней не содержит . Мы пришли к противоречию , значит наше предположение неверно и многочлен, не имеющий действительных корней , в разложении на множители линейных множителей не содержит , что и требовалось доказать .
1 374 264
4 
