Методические материалы по теме "Конус", геометрия 11 класс.

Конус (база)

Конус (профиль) - С2

1. Ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­ну­са равен 6, а его вы­со­та равна 8. Плос­кость се­че­ния со­дер­жит вер­ши­ну ко­ну­са и хорду ос­но­ва­ния, длина ко­то­рой равна 4. Най­ди­те рас­сто­я­ние от цен­тра ос­но­ва­ния ко­ну­са до плос­ко­сти се­че­ния.

2. В конус, ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­то­ро­го равен 3, впи­сан шар ра­ди­у­са 1,5.

а) Изоб­ра­зи­те осе­вое се­че­ние ком­би­на­ции этих тел.

б) Най­ди­те от­но­ше­ние пло­ща­ди пол­ной по­верх­но­сти ко­ну­са к пло­ща­ди по­верх­но­сти шара.

1. Ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­ну­са с вер­ши­ной  равен  а длина его об­ра­зу­ю­щей равна  На окруж­но­сти ос­но­ва­ния ко­ну­са вы­бра­ны точки  и  де­ля­щие окруж­ность на две дуги, длины ко­то­рых от­но­сят­ся как  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния ко­ну­са плос­ко­стью 

1. В пря­мой кру­го­вой конус впи­сан шар. От­но­ше­ние пло­ща­ди пол­ной по­верх­но­сти ко­ну­са к пло­ща­ди по­верх­но­сти шара равно 49 : 12. Найти от­но­ше­ние удво­ен­но­го объем шара к объ­е­му ко­ну­са.

Ответы

1. Ре­ше­ние.

Се­че­ние ко­ну­са плос­ко­стью, со­дер­жа­щей его вер­ши­ну S и хорду AB = 4, — тре­уголь­ник ASB.

В рав­ных пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ках SOA и SOB, где O — центр ос­но­ва­ния ко­ну­са,OA = OB = 6, SO = 8, от­ку­да

Пусть SH — вы­со­та и ме­ди­а­на рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка ASB,  Тогда от­ре­зок OH — вы­со­та и ме­ди­а­на рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка AOB,

Пря­мые SH и OH пер­пен­ди­ку­ляр­ны пря­мой AB, по­это­му плос­кость SOH пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти ASB. Сле­до­ва­тель­но, рас­сто­я­ние от точки O до плос­ко­сти ASB равно вы­со­те OM пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка SOH, про­ведённой к ги­по­те­ну­зе:

Ответ: 

1. Ре­ше­ние.

а) Осе­вым се­че­ни­ем яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник  бо­ко­вые сто­ро­ны ко­то­ро­го яв­ля­ют­ся об­ра­зу­ю­щи­ми ко­ну­са, а ос­но­ва­ни­ем — его диа­метр, и впи­сан­ная в тре­уголь­ник окруж­ность, ра­ди­ус ко­то­рой равен ра­ди­у­су шара (см. рис.).

б) Введём обо­зна­че­ния как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Пусть  — центр впи­сан­ной окруж­но­сти, от­ре­зок  — бис­сек­три­са угла  и пусть  имеем:

Тогда  Для пло­ща­дей по­верх­но­стей ко­ну­са и шара имеем:  Тем самым, ис­ко­мое от­но­ше­ние равно  или 8:3.

Ответ: 8:3.

1. Ре­ше­ние.

Пусть  — центр ос­но­ва­ния ко­ну­са,  — се­ре­ди­на хорды  Дуга  со­став­ля­ет ше­стую часть окруж­но­сти ос­но­ва­ния, по­это­му  Тре­уголь­ник  — равноcто­ро­ний, сле­до­ва­тель­но, 

Рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник  — ис­ко­мое се­че­ние. От­ре­зок  — его вы­со­та

Пло­щадь ис­ко­мо­го се­че­ния 

Ответ: 

1. Ре­ше­ние.

Пусть  — осе­вое се­че­ние ко­ну­са, О — центр круга, опи­сан­но­го в этот конус, E — точка ка­са­ния шара и ко­ну­са.

Из усло­вия за­да­чи сле­ду­ет, что  — рав­но­бед­рен­ный (AB = BC). Оче­вид­но, что точка О лежит на бис­сек­три­се  ко­то­рая также слу­жит ме­ди­а­ной и вы­со­той 

Вве­дем обо­зна­че­ния:

l — об­ра­зу­ю­щая ко­ну­са (от­рез­ки AB и BC); R — ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­ну­са (от­ре­зок AD); H — вы­со­та ко­ну­са (от­ре­зок BD); r — ра­ди­ус шара (от­ре­зок OE);  — пло­щадь сферы (пло­щадь по­верх­но­сти шара);  — пол­ная по­верх­ность ко­ну­са;  — объем шара;  — объем ко­ну­са.

Оче­вид­но, что  Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки BEO иBDA с общим ост­рым углом OBE.  От­сю­да:  т. е.

Най­дем от­но­ше­ние объ­е­ма шара к объ­е­му ко­ну­са:

Те­перь най­дем от­но­ше­ние пло­ща­ди по­верх­но­сти шара к пло­ща­ди пол­ной по­верх­но­сти ко­ну­са:

Од­на­ко, ока­за­лось, что  Зна­чит, 

По­сколь­ку нам тре­бу­ет­ся найти от­но­ше­ние удво­ен­но­го объ­е­ма шара к объ­е­му за­дан­но­го ко­ну­са, то таким от­но­ше­ни­ем будет 24 : 49.

Ответ: 24 : 49.

Пирамида, вписанная в конус

Пирамида называется вписанной в конус, если ее основание вписано в основание конуса, а вершина совпадает с вершиной конуса. При этом конус называется описанным около пирамиды.

В режиме слайдов ответы и решения появляются после кликанья мышкой

Пирамида, вписанная в конус

Около пирамиды можно описать конус тогда и только тогда, когда около ее основания можно описать окружность.

В режиме слайдов ответы и решения появляются после кликанья мышкой

Упражнение 1

Найдите сторону основания правильной треугольной пирамиды, вписанной в конус, радиус основания которого равен 1.

Упражнение 2

Найдите сторону основания правильной четырехугольной пирамиды, вписанной в конус, диаметр основания которого равен 1.

Упражнение 3

Найдите сторону основания правильной шестиугольной пирамиды, вписанной в конус, радиус основания которого равен 1.

Пирамида, описанная около конуса

Пирамида называется описанной около конуса, если ее основание описано около основания конуса, а вершина совпадает с вершиной конуса. При этом конус называется вписанным в пирамиду.

Пирамида, описанная около конуса

В пирамиду можно вписать конус тогда и только тогда, когда в ее основание можно вписать окружность.

Упражнение 1

Найдите сторону основания правильной треугольной пирамиды, описанной около конуса, радиус основания которого равен 1.

Упражнение 2

Найдите сторону основания правильной четырехугольной пирамиды, описанной около конуса, радиус основания которого равен 1.

Упражнение 3

Найдите сторону основания правильной шестиугольной пирамиды, описанной около конуса, радиус основания которого равен 1.

Сфера, вписанная в конус

Сфера называется вписанной в конус, если она касается его основания и боковой поверхности (касается каждой образующей). При этом конус называется описанным около сферы.

Сфера, вписанная в конус

Сфера называется вписанной в конус, если она касается его основания и боковой поверхности (касается каждой образующей). При этом конус называется описанным около сферы.

В любой конус (прямой, круговой) можно вписать сферу. Ее центр находится на высоте конуса, а радиус равен радиусу окружности, вписанной в треугольник, являющийся осевым сечением конуса.

Напомним, что радиус r окружности, вписанный в треугольник, находится по формуле

где S – площадь, p – полупериметр треугольника.

Упражнение 1

В конус, радиус основания которого равен 1, а образующая равна 2, вписана сфера. Найдите ее радиус.

Упражнение 2

В конус, радиус основания которого равен 2, вписана сфера радиуса 1. Найдите высоту конуса.

Упражнение 3

Радиус основания конуса равен 1. Образующая наклонена к плоскости основания под углом 45 о . Найдите радиус вписанной сферы.

Упражнение 4

Высота конуса равна 8, образующая 10. Найдите радиус вписанной сферы.

Сфера, вписанная в усеченный конус

Сфера называется вписанной в усеченный конус, если она касается его основани й и боковой поверхности (касается каждой образующей). При этом усеченный конус называется описанным около сферы.

В усеченный конус можно вписать сферу, если в его осевое сечение можно вписать окружность. Радиус этой окружности будет равен радиусу вписанной сферы.

Упражнение 1

В усеченный конус, радиусы оснований которого равны 2 и 1, вписана сфера. Найдите радиус сферы и высоту усеченного конуса.

Упражнение 2

В усеченный конус, радиус одного основания которого равен 2, вписана сфера радиуса 1. Найдите радиус второго основания.

Упражнение 3

В усеченном конусе радиус большего основания равен 2, образующая наклонена к плоскости основания под углом 60 о . Найдите радиус вписанной сферы.

Сфера, описанная около конуса

Сфера называется описанной около конуса, если вершина и окружность основания конуса лежат на сфере. При этом конус называется вписанным в сферу .

Сфера, описанная около конуса

Около любого конуса (прямого, кругового) можно описать сферу. Ее центр находится на высоте конуса, а радиус равен радиусу окружности, описанной около треугольника, являющимся осевым сечением конуса.

Напомним, что радиус R окружности, описанной около треугольника, находится по формуле

где S – площадь, a , b , c – стороны треугольника.

Упражнение 1

Около конуса, радиус основания которого равен 1, а образующая равна 2, описана сфера. Найдите ее радиус.

Упражнение 2

Около конуса, радиус основания которого равен 4, описана сфера радиуса 5. Найдите высоту h конуса.

Упражнение 3

Радиус основания конуса равен 1. Образующая наклонена к плоскости основания под углом 45 о . Найдите радиус описанной сферы.

Упражнение 4

Высота конуса равна 8, образующая 10. Найдите радиус описанной сферы.

Сфера, описанная около усеченного конуса

С фера называется описанной около усеченного конуса, если окружност и основани й усеченного конуса лежат на сфере. При этом усеченный к онус называется в писанным в сферу.

Около усеченного конуса можно описать сферу, если около его осевого сечения можно описать окружность. Радиус этой окружности будет равен радиусу описанной сферы.

Упражнение 1

Около усеченного конуса, радиусы оснований которого равны 2 и 1, а образующая равна 2, описана сфера. Найдите ее радиус.

Упражнение 2

Радиус одного основания усеченного конуса равен 4, высота 7, радиус описанной сферы 5. Найдите радиус второго основания усеченного конуса.

Упражнение 4

Найдите радиус сферы, описанной около усеченного конуса, диаметры оснований которого равны 2 и 4, а высота равна 5.

Конус получается путём вращения прямоугольного треугольника вокруг катета (высоты конуса)

Какие свойства конуса можно отметить?

Сечения конуса

Развертка конуса

№ 547, 548(а), 549(а)

Решение задач по теме «Конус»

С

№ 551(а), 553, 552, 555(б)