Natural sonlar to'plami

8&. Mavzu: NATURAL SONLAR TO’PLAMI AKSOMATIK QURISH

1858-1932 yillarda yashab ijod qilgan Italiya olimi Juzeppe Peano boshlang’ich tushuncha sifatida «natural son» va «…dan keyin keladi» munosabatni asos qilib olib, qo’yidagi aksiomalar asosida nomanfiy butun sonlar to’plamini aksiomatik asosda quradi.

Peanoning 1-aksiomasi.

• Hech qanday sondan keyin kelmaydigan 1 soni mavjud. Bundan natural sonlar to’plamida birinchi element 1 sonidan iborat ekanligi kelib chiqadi.

Peanoning 2-aksiomasi.

• Har qanday a natural uchun undan keyin keladigan birgina a 1 soni mavjud
• Bu natueral sonlar to’plamini cheksiz ekanilgini anglatadi.

Peanoning 3-aksiomasi.

• Istalgan son bevosita bittadan ortiq bo’lmagan sondan keyin keladi. Bu aksioma natural sonlar to’plamining qat’iy tartiblanganligini anglatadi.

Peanoning 4-aksiomasi.

• Agar biror D qoida yoki qonun 1 soni uchun to’g’ri bo’lib, bu qoida yoki qonunni n=k natural soni uchun to’g’ri ekanligidan navbatdagi n=k+1 son uchun to’g’riligi kelib chiqsa, bunday qoida yoki qonun barcha natural sonlar uchun ham to’g’ri bo’ladi.Bu aksiomasi matematik induktsiya akstsomasi deb Yuritiladi va unga matematik induktsiya metodi asoslanadi.

• 1-Misol

Birinchi qatordagi odam ayol kishi ekaniligi ma’lum, n-qatordagi turgan kishi ayol bo’lib n+1-qatordagi turgan kishi ayol ekanligidan qatordagilarni barchasi ayol ekaniligi kelib chiqadi.

• 2-Misol

n natural son bo’lganda 2n-ko’rinishdagi barcha sonlar juft sonlardir xaqiqatan ham 4- akstsomaga ko’ra n=1 da 2 juft son, n=2 k juft son bo’lsa, 2(k+1)=2k+2 juft son. Demak 2 n ko’rinishdagi barcha sonlar n natural son bo’lganda juft sondan iborat ekan. Natural sonlar to’plamida “tenglik” munosabati ko’yidagi xossalarga ega

Nomanfiy butun sonlar to’plamini to’plamlar nazariyasi asosida kurish

• Nazariyani aksiomatik qurash tushunchasi.
• Har qanday fanni qurashda turli tushunchalar asos qilib olinadi. Bu tushunchalar asosida nazariyaning aksiomalari tuziladi. Aksiomalar isbotsiz qabul qilinadigan jumlalar bo’lib, ularni biri ikkinchisidan kelib chiqmasligi hamda biri ikkinchisini inkor qilmasligi lozim. Nazariyani aksiomati qurishda qabul qilingan aksiomalar teoremalarni isbotlash uchun yetarli bo’lishi kerak. Amaliyotdan ko’rinadiki bitta nazariyani bir necha yillar bilan aksiomatik qo’rish mumkin. Bu yo’llarni har birida turli boshlang’ich tushuncha, munosabatlar ularga oid aksiomalar sistemasi bir-biridan farq qiladi. Natural sonlar nazariyasi ham turlicha yo’llar bilan aksiomatik qurilgan.

Ular quyidagilar:

• Natural sonlar nazariyasini to’plamlar nazariyasi asosida qurish
• Natural sonlar nazariyasini Reono aksiomalari asosida qurish
• Natural sonlar nazariyasini miqdor tushunchasi asosida qurish