Одночлены. Арифметические операции над одночленами

Доклад по алгебре

Тема:

«Одночлены. Арифметические операции над одночленом

Часто при решении задач мы используем буквенные множители и числа вместе.

Выражение 5a²b — это произведение трёх множителей: 5a²b = 5 · a² · b. Подобные произведения буквенных и числовых множителей называют одночленами.

Запомните!

Произведение числовых и буквенных множителей называют одночленом. Примеры одночленов: ac,   2xy²,   −7xy,   0,5a³b.

Из чего состоит одночлен

Числовой множитель, который есть в одночлене, принято называть коэффициентом одночлена. Буквенные множители иногда называют переменными.

Если в одночлене явно нет числового коэффициента, значит числовой коэффициент одночлена равен 1.

Например, для одночлена ab — числовой коэффициент равен 1. Это связано с тем, что при умножении на 1 одночлен остаётся прежним, поэтому коэфффицент 1 не записывают перед одночленом.
1 · a · b = ab

Также не записывают явно коэффициент «−1». Вместо этого ставят знак «−» перед одночленом. При такой записи все понимают, что коэффициент одночлена равен «−1». Например, у одночлена «−xyz» коэффициент равен «−1».

Примеры одночленов и их коэффициентов

Приведение одночлена к стандартному виду

Запомните!

Одночлен, у которого единственный числовой множитель стоит на первом месте и буквенные множители в различных степенях не повторяются, называется одночленом стандартного вида. Буквенные множители следует располагать в алфавитном порядке.

Примеры одночленов стандартного вида: 2at,   16y³,   −17pxy,   3d⁴

Примеры одночленов нестандартного вида: 2acа,   4xy² · 3,   x⁴y · (−7).

Не забывайте, что одночлен — это произведение числовых и буквенных множителей, поэтому внутри одночлена действуют все законы умножения, в том числе переместительный закон умножения.

Чтобы привести одночлен к стандартному виду нужно сделать следующее.

Важно!

1. Перемножить все числовые коэффициенты и поставить результат их умножения слева самым первым множителем.

2. По свойствам степени перемножить буквы и поставить их в алфавитном порядке.

Пример. Привести к стандартному виду одночлен 3ada · 8.

1. Перемножаем все числовые коэффициенты
   3 · a · d · a · 8 = 3 · 8 · a · d · a = 24 · a · d · a

2. Теперь, используя свойства степени, перемножаем все буквенные множители.
   24 · a · d · a = 24 · a · a · d = 24a²d

Что такое степень одночлена

Запомните!

Степень одночлена — это сумма всех степеней буквенных множителей.

Например, степень одночлена 9a²b равна 3, т.к. у a² (вторая степень), у b (первая степень): 2 + 1 = 3.

Примеры степеней одночленов

Число «0» (ноль) называется нулевым одночленом. Степень нулевого одночлена не определена.

Но не путайте с одночленом нулевой степени! Одночлен нулевой степени — это любое число (например, 123; 0,5; −324).

Любое число можно записать как произведение числа на буквенный множитель в нулевой степени. Т.е. 123 = 123 · a⁰ = 123 · 1 = 123 (одночлен нулевой степени).

Одночлен нулевой степени получил свое название, потому что любой буквенный множитель можно представить как 1 через нулевую степень.

Вначале, необходимо понять, что называют подобными одночленами.

Запомните!

Одночлены, у которых одинаковый состав букв и их степеней, называют подобными.

Примеры подобных и неподобных одночленов

Одночлены нужно рассматривать как единое целое.

То есть, частая ошибка когда, например, одночлены 3a и 2ab считают подобными, т.к. в обоих одночленах присутствует буквенный множитель а.

Одночлены 3a и 2ab НЕ являются подобными, потому что состав букв должен полностью совпадать в обоих одночленах.

В данном примере в одночлене 3а из буквенных множителей только а, а во втором одночлене 2ab — два буквенных множителя а и b.

Запомните!

Складывать и вычитать можно только подобные одночлены.

При сложении и вычитании одночленов работаем только с их числовыми коэффициентами. Состав букв остается всегда прежним!

Разберем пример: 3a²b + 2a²b

1.Сначала убедимся, что данные одночлены подобные.
У первого одночлена 3a²b состав букв со степенями: a²b.
У второго одночлена 2a²b состав букв со степенями: a²b.

Важно!

Состав букв и их степеней у обоих одночленов одинаков, значит, одночлены подобные и их можно складывать.

1. Теперь рассмотрим числовые коэффициенты одночленов.
   У первого одночлена 3a²b коэффициент: 3.
   У второго одночлена 2a²b коэффициент: 2.

2. Сложим их коэффициенты: 3 + 2 = 5

3. Запишем окончательный ответ в виде суммы одночленов.
   3a²b + 2a²b = 5a²b

Еще раз обратите внимание, что состав букв в итоговом одночлене НЕ поменялся.
3a²b + 2a²b = 5a²b

Запомните!

Противоположные одночлены взаимно уничтожаются.

−73x²z + 73x²z = 0

Примеры сложения и вычитания одночленов

1. 7x²y − 2x²y = 5x²y

2. 2a³ + 3a³ − a³ = 5a³ − a³ = 5a³ − 1 a³ = 4a³

3. ab³ + ab³ = 1ab³ + 1ab³ = 2ab³

4. 5t − 6t = −t  (т.к. 5 − 6 = −1)

5. 8xy − 10xy + 2xy = −2xy + 2xy = 0
   (т.к. при вычитании коэффициентов −2 + 2 = 0)

Запомните!

При умножении одночленов числа умножаются с числами, а буквы с буквами.

Как умножать одночлены

В первую очередь перемножаются числовые коэффициенты.

Так как в любом одночлене между числовым коэффициентом и буквенными множителями стоит знак умножения, можно воспользоваться переместительным законом умножения.

Рассмотрим пример: 3ab · 2a²c

3ab · 2a²c = 3 · a · b · 2 · a² · с = 3 · 2 · a · a² · b · с = 6 · a · a² · b ·с

Одинаковые буквенные множители перемножаем по свойствам степени.
6 · a · a² · b · с = 6 · a^{1 + 2} · b · с = 6a³bc

При умножении числовых коэффициентов с разными знаками, в первую очередь определяем итоговый знак результата по правилу знаков.
−2ax · (−3x²y) = (−2)·(−3)a · x · x² · y = 6 · a · x^{1 + 2} · y = 6ax³y

Примеры умножения одночленов

Важно!

Перед уможением одночленов убедитесь, что они приведены к стандартному виду.

1. 2t² · 7t³ = 14t^{2 + 3} = 14t⁵

2. −5t · 5t³x = −25t^{3 + 1}x = −25t⁴x

3. 1

   3

4. аb² · 3a³b = 

   3

   3

5. aa³b²b = a^{1 + 3} b^{2 + 1} = a⁴b³

Запомните!

Чтобы разделить одночлен на одночлен нужно:

1. записать деление одночленов в виде дроби;

2. сократить числовые коэффициенты по правилу сокращения дробей;

3. сократить буквенные множители по свойству степени.

Рассмотрим пример деления одночлена на одночлен.

Запишем деление одночленов в виде дроби. На верх дроби (в числитель) запишем первый одночлен, в низ (в знаменатель) — второй одночлен.

Сократим по правилам сокращения и свойству степени получившуюся дробь.

Важно!

Не забывайте про правило знаков при определении итогового знака результата.

В первую очередь всегда определяйте знак результата и ставьте его перед дробью.

Примеры деления одночлена на одночлен

• b⁵ : b² = 

  b5

  b2

•  = b^{5 − 2} = b³

• (−x²y³z²)² : xyz = 

  (−1 · x2 y3 z2)2

  xyz

•  = 

  (−1)2 x2 · 2 y3 · 2 z2 · 2

  xyz

•  =
  = 

  1 · x4 y6 z4

  xyz

•  = x^{4 − 1} y^{6 − 1} z^{4 − 1} = x³ y⁵ z³

При делении на одночлен, у которого числовой коэффициент представлен в виде обыкновенной дроби, не стоит записывать «многоэтажные» дроби.

Лучше воспользоваться правилом деления обыкновенных дробей и «перевернуть» второй одночлен, заменив деление умножением.

Запомните!

При возведении в степень одночлена в степень возводится числовой коэффициент и каждый буквенный множитель.

Рассмотрим пример возведения в куб одночлена: (2a²x)³

Вначале возведем в степень отдельно числовой коэффициент и каждый буквенный множитель.
(2a²x)³ = 2³(a²)³ x³

При возведении в степень буквенных множителей используем правило
возведения степень в степень.

Напоминаем, что при возведении степени в степень показатели степеней перемножаются.
2³(a²)³ x³ = 2³ a^{2 · 3} x³ = 8a⁶x³

Запишем итоговое решение.
(2a²x)³ = 2³(a²)³ x³ = 2³a^{2 · 3}x³ = 8a⁶x³

1. (3а)³ = 3³a³ = 27a³

2. (−2b)² = (−2)²b² = 4b²

3. (

   1

   2

4.  x²m⁴)³ = (

   1

   2

5. )³ (x²)³ (m⁴)³ = 

1.  x^{2 · 3} m^{4 · 3} = 

   1

   8

2.  x⁶m¹² (в данном примере используем правило возведения в степень дроби)

3. (−ab²)² = (−1)²a² b^{2 · 2} = 1a² b⁴ = a² b⁴

4. (−3px)³ = (−3)³ p³ x³ = −27p³ x³

https://math-prosto.ru/?page=pages/monomials/exponentiation_of_monomial.php