Практическое занятие

Интегральной суммой для функции f(x) на отрезке [a; b] называется сумма вида:

_n

 f(_k) x_k = f(₁) x₁ + f(₂) x₂ +...+ f(_n) x_n

^k=1

Определение. Определенным интегралом от функции f(x) на отрезке [a; b] называется предел интегральной суммы при условии, что длина наибольшего из элементарных отрезков стремится к нулю:

_{Для вычисления определенного интеграла от функции f(x) служит формулаНьютона-Лейбница:}

_{т. е. определенный интеграл равен разности значений первообразной при верхнем и нижнем пределах интегрирования.}

_{2. Основные свойства определенного интеграла}

₁⁰_{. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т. е. если а = const, то}

₂⁰_{. Определенный интеграл от алгебраической суммы двух непрерывных функций равен алгебраической сумме их интегралов, т. е.}

₃⁰_{. Если a}

₄⁰_{. Если функция f(x) неотрицательна на отрезке [a; b], где a} 

₅⁰_{. Если f(x)  g(x) для всех x [a; b], где a} 

3. Методы вычисления определенного интеграла

Непосредственное интегрирование

Чтобы вычислить определенный интеграл  , нужно:

1) найти какую-нибудь первообразную F(x) для функции f(x) (найти неопределенный интеграл от функции f(x), в котором можно принять С = 0);

2) в полученном выражении подставить вместо x сначала верхний предел a, а затем нижний предел b, и из результата первой подстановки вычесть результат второй.

Пример 1. Вычислить 

Решение. По формуле Ньютона-Лейбница получаем:  =

= 19, 5

Пример 2. Вычислить 

Решение. По формуле Ньютона-Лейбница: = 

Пример 3. Найти 

Решение.   = 

Метод замены переменной (метод подстановки)

При вычислении определенного интеграла методом подстановки новая переменная вводится подобно случаю неопределенного интеграла. Однако в отличие от неопределенного интеграл а, где в полученном результате мы снова возвращались к прежнему переменному, здесь этого делать не надо.

Пример. Вычислить 

Решение. Введем новую переменную интегрирования с помощью подстановки  . Дифференцируя, имеем:

Находим новые пределы интегрирования. Для этого подставим в соотношение   значения x = 1 и x = 2, соответственно получим: 

Следовательно,

= 

Интегрирование по частям

Если функции u(x) и v(x) и их производные u(x) и v(x) непрерывны в промежутке  , то формула интегрирования по частям для определенного интеграла имеет вид:

Пример. Вычислить 

Решение. Положим  ,

Тогда  ,

Следовательно,   = 

Упражнения

Вычислить определенные интегралы:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

10. 

11.