Урок 16. 8 класс
Учитель: Брух Т.В.
Дата: _____________
Тема урока: «Представление числовой информации с помощью систем счисления. ПР8 перевод чисел с одной системы счисления в другую с помощью калькулятора».
Цель урока:
сформировать у учащихся понимание систем счисления;
сформировать у учащихся представление о переводе чисел в десятичную систему счисления, в двоичную систему счисления, восьмеричную систему счисления, в шестнадцатеричную систему счисления;
сформировать у учащихся понятие о представлении чисел в компьютере.
Основные понятия. Система счисления.
Ход урока:
Организационный момент
Изучение нового материала
Для записи информации о количестве объектов используются числа. Числа записываются с использованием особых знаковых систем, которые называются системами счисления. Алфавит систем счисления состоит из символов, которые называются цифрами. Например, в десятичной системе счисления числа записываются с помощью десяти всем хорошо известных цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Система счисления - это знаковая система, в которой числа записываются по определенным правилам с помощью символов некоторого алфавита, называемых цифрами.
Все системы счисления делятся на две большие группы: позиционные и непозиционные системы счисления. В позиционных системах счисления значение цифры зависит от ее положения в числе, а в непозиционных - не зависит.
Римская непозиционная система счисления. Самой распространенной из непозиционных систем счисления является римская. В качестве цифр в ней используются: I (1), V (5), X (10), L (50), С (100), D (500), М (1000).
Значение цифры не зависит от ее положения в числе. Например, в числе XXX (30) цифра X встречается трижды и в каждом случае обозначает одну и ту же величину - число 10, три числа по 10 в сумме дают 30.
Величина числа в римской системе счисления определяется как сумма или разность цифр в числе. Если меньшая цифра стоит слева от большей, то она вычитается, если справа - прибавляется. Например, запись десятичного числа 1998 в римской системе счисления будет выглядеть следующим образом:
MCMXCVIII = 1000 + (1000 - 100) + (100 -10)+ 5 + 1 + 1 + 1.
Позиционные системы счисления. Первая позиционная система счисления была придумана еще в Древнем Вавилоне, причем вавилонская нумерация была шестидесятеричной, то есть в ней использовалось шестьдесят цифр! Интересно, что до сих пор при измерении времени мы используем основание, равное 60 (в 1 минуте содержится 60 секунд, а в 1 часе - 60 минут).
В XIX веке довольно широкое распространение получила двенадцатеричная система счисления. До сих пор мы часто употребляем дюжину (число 12): в сутках две дюжины часов, круг содержит тридцать дюжин градусов и так далее.
В позиционных системах счисления количественное значение цифры зависит от ее позиции в числе.
Наиболее распространенными в настоящее время позиционными системами счисления являются десятичная, двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная. Каждая позиционная система имеет определенный алфавит цифр и основание.
В позиционных системах счисления основание системы равно количеству цифр (знаков в ее алфавите) и определяет, во сколько раз различаются значения одинаковых цифр, стоящих в соседних позициях числа.
Десятичная система счисления имеет алфавит цифр, который состоит из десяти всем известных, так называемых арабских, цифр, и основание, равное 10, двоичная - две цифры и основание 2, восьмеричная - восемь цифр и основание 8, шестнадцатеричная - шестнадцать цифр (в качестве цифр используются и буквы латинского алфавита) и основание 16 (табл. 1.2).
Позиционные системы счисления |
Система счисления | Основание | Алфавит цифр | Десятичная | 10 | 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 | Двоичная | 2 | 0, 1 | Восьмеричная | 8 | 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 | Шестнадцатеричная | 16 | 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, А(10), В(11), C(12), D(13), E(14), F(15) | |
Десятичная система счисления. Рассмотрим в качестве примера десятичное число 555. Цифра 5 встречается трижды, причем самая правая цифра 5 обозначает пять единиц, вторая справа - пять десятков и, наконец, третья справа - пять сотен.
Позиция цифры в числе называется разрядом. Разряд числа возрастает справа налево, от младших разрядов к старшим. В десятичной системе цифра, находящаяся в крайней справа позиции (разряде), обозначает количество единиц, цифра, смещенная на одну позицию влево, - количество десятков, еще левее - сотен, затем тысяч и так далее. Соответственно имеем разряд единиц, разряд десятков и так далее.
Число 555 записано в привычной для нас свернутой форме. Мы настолько привыкли к такой форме записи, что уже не замечаем, как в уме умножаем цифры числа на различные степени числа 10.
В развернутой форме записи числа такое умножение записывается в явной форме. Так, в развернутой форме запись числа 555 в десятичной системе будет выглядеть следующим образом:
55510 = 5 × 102 + 5 × 101 + 5 × 100.
Как видно из примера, число в позиционной системе счисления записывается в виде суммы числового ряда степеней основания (в данном случае 10), в качестве коэффициентов которых выступают цифры данного числа.
Для записи десятичных дробей используются отрицательные значения степеней основания. Например, число 555,55 в развернутой форме записывается следующим образом:
555,5510 = 5 × 102 + 5 × 101 + 5 × 100 + 5 × 10-1 + 5 × 10-2 .
В общем случае в десятичной системе счисления запись числа А10, которое содержит n целых разрядов числа и m дробных разрядов числа, выглядит так:
A10 = an-1 × 10n-1 + ... + a0 × 100 + a-1 × 10-1 + ... + a-m × 10-m
Коэффициенты ai в этой записи являются цифрами десятичного числа, которое в свернутой форме записывается так:
А10 = an-1 an-2 ... a0, a-1 ... a-m.
Из вышеприведенных формул видно, что умножение или деление десятичного числа на 10 (величину основания) приводит к перемещению запятой, отделяющей целую часть от дробной, на один разряд соответственно вправо или влево. Например:
555,5510 × 10 = 5555,510;
555,5510 : 10 = 55,55510.
Двоичная система счисления. В двоичной системе счисления основание равно 2, а алфавит состоит из двух цифр (0 и 1). Следовательно, числа в двоичной системе в развернутой форме записываются в виде суммы степеней основания 2 с коэффициентами, в качестве которых выступают цифры 0 или 1.
Например, развернутая запись двоичного числа может выглядеть так:
А2 = 1 × 22 + 0 × 21 + 1 × 20 + 0 × 2-1 + 1 × 2-2.
Свернутая форма этого же числа:
А2 = 101,012.
В общем случае в двоичной системе запись числа А2, которое содержит n целых разрядов числа и m дробных разрядов числа, выглядит так:
А2 = an-1 × 2n-1 + an-2 × 2n-2 + ... + a0 × 20 + a-1 × 2-1 + ... + a-m × 2-m
Коэффициенты аi в этой записи являются цифрами (0 или 1) двоичного числа, которое в свернутой форме записывается так:
А2 = аn-1 аn-2 ... а0,а-1 а-2 ... а-m
Из вышеприведенных формул видно, что умножение или деление двоичного числа на 2 (величину основания) приводит к перемещению запятой, отделяющей целую часть от дробной на один разряд соответственно вправо или влево. Например:
101,012 × 2 = 1010,12;
101,012 : 2 = 10,1012.
Практическая работа
Смотри приложение.
Домашнее задание. Подведение итога урока.