Презентация к занятию: "Логарифм числа. Десятичные и натуральные логарифмы"

«Рано или поздно всякая правильная математическая идея находит применение в том или ином деле»

А.Н. Крылов

Математический диктант

• Проверка
• 1 1/9
• 1,5 2
• 2 1
• 2 27
• 8 81

Решите уравнения:

у=2 x

y=8

у=6

.

У=3

1

Итак, для любого уравнения вида: ,

где а и b – положительные числа, причем а≠1, существует единственный корень и его условились записывать так:

Тема занятия:

ЛОГАРИФМ ЧИСЛА

Десятичные и натуральные логарифмы

Цель занятия

формирование теоретических знаний и практических навыков по теме: «Логарифм числа. Десятичные и натуральные логарифмы».

0, а ≠ 1, называется показатель степени, в которую надо возвести число а , чтобы получить b. где: а – основание логарифма; b – аргумент (число или выражение под знаком логарифма); х – значение логарифма. " width="640"

Определение ЛОГАРИФМА

Логарифмом положительного числа b по основанию а , где а 0, а ≠ 1, называется показатель степени, в которую надо возвести число а , чтобы получить b.

где:

а – основание логарифма;

b – аргумент (число или выражение

под знаком логарифма);

х – значение логарифма.

Примеры

Взаимосвязь операции возведения в степень и логарифмирования

• Возведение в степень

• Логарифмирование

0, a 0, a ≠ 1 5 2 " width="640"

ОСНОВНОЕ

ЛОГАРИФМИЧЕСКОЕ ТОЖДЕСТВО

Равенство справедливо при

b 0, a 0, a ≠ 1

5

2

 0, a  0, a ≠ 1. 3. На число  b  (значение логарифма) никаких ограничений не накладывается. " width="640"

ВАЖНЫЕ ФАКТЫ:

1. Аргумент и основание логарифма всегда должны быть больше нуля. Это следует из определения степени с рациональным показателем, к которому сводится определение логарифма.

2. Основание должно быть отличным от единицы, поскольку единица в любой степени все равно остается единицей.

log a   x  = b ⇒ x  0, a  0, a ≠ 1.

3. На число  b  (значение логарифма) никаких ограничений не накладывается.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:

Докажите, что:

Доказательство:

Натуральный логарифм

Десятичный логарифм

log 10 → lg

log e → ln

( )

е ≈ 2,718281828…

Примеры:

lg10=1,

lg1=0,

lg0,01=-2.

Примеры:

ln e=1,

ln1=0,

ln e 2 =2.

История возникновения

Джон Непер                  1550-1617

Слово ЛОГАРИФМ происходит от греческих слов  - число и  - отношение. переводится как отношение чисел.

Титульный лист книги Дж. Непера

«Описание удивительной таблицы логарифмов».

Издание 1620 г.

Логарифмическая линейка

«Логарифмы бывают разные…»

Бригсов логарифм - то же, что десятичный логарифм. Назван по имени Г. Бригса.

Десятичный логарифм - логарифм по основанию 10. Десятичный логарифм числа а обозначают lgа.

Неперов логарифм - (по имени Дж. Непера), то же, что натуральный логарифм.

Натуральный логарифм - логарифм, основание которого - неперово число е = 2,718 28... Натуральный логарифм числа а обозначают ln а.

Джон Непер ( 1550-1617)

Вопрос : Если идти все время на северо-восток, то куда придешь?

ОКАЗЫВАЕТСЯ…

математическим символом соотношения формы и роста является логарифмическая спираль

раковина моллюска

семена подсолнечника

рога горных баранов

Безобидная воронка, образованная вытекающей из ванны водой; свирепый смерч, опустошающий все на своем пути; величественный круговорот гигантского космического вихря туманностей и галактик – все они имеют форму спиралей.

В математике логарифмическая спираль

впервые упоминается

в 1638 году

Рене Декартом.

Свойство логарифмической спирали

Якоб Бернулли открыл поразительное свойство спирали:

кривая с «твёрдым» характером.

Она не изменяется при сжатиях, растяжениях и поворотах .

Логарифмическая спираль в природе

Логарифмическая спираль в природе

Один из наиболее распространенных пауков, сплетая паутину, закручивает нити вокруг центра по логарифмической спирали.

Траектории насекомых

летящих на свет также описывают логарифмическую спираль.

**************************

Логарифмическая спираль единственная из спиралей не меняет своей формы при увеличении размеров.

Видимо, это свойство и послужило причиной того, что в живой природе логарифмическая спираль встречается чаще других.

По логарифмическим спиралям выстраиваются

рога многих животных

По логарифмической спирали формируется тело циклона

По логарифмическим спиралям закручены и многие галактики

улитка

Человеческое ухо – это маленькое чудо!

Улитка является органом, воспринимающим звук, в котором самой природой заложена

ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ СПИРАЛЬ!

Применение логарифмов

Музыка

Так называемые ступени темперированной хроматической гаммы (12- звуковой) частот звуковых колебаний представляют собой логарифмы. Только основание этих логарифмов равно 2 (а не 10, как принято в других случаях). Номера клавишей рояля представляют собой логарифмы чисел колебаний соответствующих звуков

Звезды, шум и логарифмы

Громкость шума и яркость звезд оцениваются одинаковым образом – по логарифмической шкале.

Психология

Изучая логарифмы, ученые пришли к выводу о том, что величина ощущения пропорциональна логарифму величины раздражения.

Зачем мы изучаем логарифмы?

Во-первых , логарифмы и сегодня позволяют упрощать вычисления.

Во-вторых , испокон веков целью математической науки было помочь людям узнать больше об окружающем мире, познать его закономерности и тайны.

Вывод : логарифмы – важные составляющие не только математики, но и всего окружающего мира, поэтому интерес к ним не ослабевает с годами и их необходимо продолжать изучать.

Найти значение логарифмов:

Найти значение логарифмов:

Не имеет смысла

Свойства, следующие из определения

• 1.

• 2.

• 3.

Вычислить:

Log 2 16; log 2 64; log 2 2;

Log 2 1 ; log 2 (1/2); log 2 (1/8);

Log 3 27; log 3 81; log 3 3;

Log 3 1; log 3 (1/9); log 3 (1/3);

Log 1/2 1/32; log 1/2 4; log 0,5 0,125;

Сравните со своими ответами !

Таблица ответов:

4

6

0

3

-1

1

4

-3

0

1

-2

5

-2

-1

3

Решение тренировочных упражнений

Найдите число х.

а) log 5 х=2;

б) log 3 х=-1;

д) log х 81=4;

е) log х =2;

в) ;

г) ;

ж) log х =-2;

з) log х 27=3.

3» Комедия начинается с неравенства Затем следует преобразование Большему числу соответствует больший логарифм После сокращения на В чем ошибка этого доказательства? " width="640"

Логарифмическая «комедия 2 3»

Комедия начинается с неравенства

Затем следует преобразование

Большему числу соответствует больший логарифм

После сокращения на

В чем ошибка этого доказательства?

Любимая цифра

Возьмите, пожалуйста, ручки и запишите свою любимую цифру.

Умножьте эту цифру на 9.

Полученное число умножьте на 12345679 .

Если вы все сделали правильно, то у Вас

получится букет из ваших любимых цифр.

А теперь припишите справа

к полученному числу 9 нулей.

Пусть у вас будет столько

счастливых дней!!!

0, a ≠1)? Существует ли логарифм нуля; логарифм отрицательного числа? Логарифм по какому основанию называют: а) натуральным; б) десятичным? Как обозначают эти логарифмы? " width="640"

Итоги урока

• Что называют логарифмом положительного числа b по основанию a ( a 0, a ≠1)?

• Существует ли логарифм нуля; логарифм отрицательного числа?

• Логарифм по какому основанию называют: а) натуральным; б) десятичным? Как обозначают эти логарифмы?

Цель занятия

формирование теоретических знаний и практических навыков по теме: «Логарифм числа. Десятичные и натуральные логарифмы».

Основные результаты

• Ввели обозначение для записи корня уравнения вида
• Пополнили словарный запас математического языка:

• логарифм числа, основание логарифма.

• Ввели новые обозначения:
• Научились вычислять значения логарифма .

Домашнее задание

Учебник: Ш.А. Алимов. Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы.

• §15 стр. 90-93, разобрать примеры,
• § 17 стр. 96-100, разобрать примеры, № 302
• № 368-371 стр. 113

Спасибо

за урок!!!