Презентация на тему "Функции, их графики, четность, нечетность, периодичность"

3

Цели занятия:

• Вспомнить понятие функции

• Научиться исследовать функцию:

• находить область определения, область значений функции;
• определять четность функции, периодичность;
• находить промежутки монотонности;
• Определять непрерывность и находить точки разрыва функции.

Вопросы для проверки знаний

1. Система координат считается заданной, если…

обозначены оси латинскими буквами x и y ;

обозначен единичный отрезок ;

Отмечено начало координат.

y

1

x

0

-1

1

-1

Вопросы для проверки знаний

• Оси Декартовой системы координат располагаются по отношению друг к другу…

перпендикулярно (под 90 0 )

y

1

x

0

-1

1

-1

Вопросы для проверки знаний

• Сформулируйте определение множества действительных чисел.

Все рациональные и иррациональные числа взятые вместе образуют множество действительных чисел.

Вопросы для проверки знаний

• Дробь равна нулю, когда…

числитель равен нулю, а знаменатель – отличен от нуля.

Вопросы для проверки знаний

• Подкоренное выражение должно быть по величине…

не отрицательным

Назовите аналитическое выражение функции

y

x

0

y

x

0

Назовите аналитическое выражение функции

y

x

0

y

x

0

y

x

0

3

Понятие функции

Определение 1. Функцией называют такую зависимость переменной y от переменной x , при которой каждому значению переменной x соответствует единственное значение переменной y .

x - независимая переменная, аргумент

y - зависимая переменная, функция

Обозначения функции: y; f(x).

y

y

ордината

у 2

C

A

у 1

B

у 0

A

у 0

x

x

0

x 0

0

x 0

абсцисса

Способы задания функции

III СПОСОБ

II СПОСОБ

I СПОСОБ

ТАБЛИЧНЫЙ

АНАЛИТИЧЕСКИЙ

ГРАФИЧЕСКИЙ

y

y=f(x)

утро

ночь

вечер

день

+9

+10

+7

+12

x

0

Область определения, область значений функции

Определение 1. Областью определения функции называются все допустимые значения независимой переменной x .

D (f) - Область определения функции, ОДЗ

Определение 2. Областью значений функции называются все значения, которые принимает зависимая переменная y .

E (f) - Область значений функции

О

12

Нахождение ОДЗ по графику Пример. Укажите область определения и область значений функции.

1. Область определения функции

2. Область значений

функции

y

6

5

4

3

2

1

x

0

-1

-2

3

4

1

2

6

7

-5

-7

-6

-3

-4

5

-1

-2

Нахождение ОДЗ по аналитическому выражению Примеры. Найдите область определения функции

1.

Решение.

Ответ:

2.

Решение.

Ответ:

Четные функции

Определение 1. Функция называется четной, если для любого x из области определения функции выполняется равенство:

График четной функции симметричен относительно оси ординат

y

6

5

4

3

2

1

x

0

-1

-2

-7

-5

-4

-6

-3

7

6

5

4

1

2

3

-1

-2

Пример. Определите четность функции

Решение.

Ответ: Функция четная.

Нечетные функции

Определение 2. Функция называется нечетной, если для любого x из области определения функции выполняется равенство:

График нечетной функции симметричен относительно начала координат

y

4

3

2

1

x

0

-2

-4

-3

-1

4

3

1

2

-1

-2

-3

- 4

Пример . Определите четность функции

Решение.

Ответ: Функция нечетная.

Функции общего вида

Определение 3. Функция называется ни четной, ни нечетной (общего вида), если для любого x из области определения функции выполняется условие:

График функции общего вида не имеет симметрии:

y

4

3

2

1

x

0

-4

-3

-2

-1

4

3

2

1

-1

-2

-3

- 4

Пример . Определите четность функции

Решение.

Ответ: Функция общего вида.

Сравним:

Периодические функции

Определение 4. Функция называется периодической, если существует такое отличное от нуля число T , что для любого x из области определения функции справедливо равенство:

Ярким примером периодических функций являются тригонометрические функции

y=sinx, y=cosx, y=tgx, y=ctgx.

y=cosx

T

Монотонность функции

y

C

4

3

A

2

D

1

x

0

-1

-4

-2

-3

4

3

1

2

-1

-2

-3

B

-4

Постоянные функции

y

6

5

4

3

2

1

x

0

-1

-2

2

3

4

-5

-7

-6

-3

-4

5

6

7

1

-1

-2

Непрерывность функции. Точки разрыва

Функция непрерывна

y

6

5

4

3

2

1

x

0

-1

-2

4

-5

-3

-6

-7

7

6

5

-4

3

1

2

-1

-2

y

X=3 – точка разрыва

6

5

4

3

2

1

x

Функция в точке x=3

0

-1

-2

-7

-5

-6

-3

4

-4

3

1

2

6

7

5

-1

-2

3

28

Исследуйте функцию

1. ОДЗ

y

6

5

2. Область значений

4

3

3. Четность

2

Общего вида

1

x

0

-1

-2

2

1

3

4

5

6

7

-4

-3

-6

-5

-1

4. Периодичность

-2

непериодическая

5. Промежутки монотонности

Задание.

Исследуйте функцию по ее графику

3

28

Вариант 1

Вариант 2

Проверка задания

Домашнее задание

1. Выучить все определения

2. Найти область определения функций:

3. Определите четность функций:

4. Изобразите систему координат, постройте произвольную функцию и исследуйте её.

Функция

Периодичность

Непрерывность,

точки разрыва

Понятие

Монотонность

Четность

График

Аналитическое

выражение

График

График

Аналитическое

выражение

График

График

Самостоятельная работа. Исследуйте функцию

y

Вариант 1

6

5

4

3

2

1

x

0

-1

-2

7

5

4

1

2

3

6

-5

-4

-3

-6

-7

-1

-2

y

6

Вариант 2

5

4

3

2

1

x

0

-1

-2

-7

-5

1

-6

-3

-4

7

6

5

4

3

2

-1

-2

10

y

1

x

0

-1

Самостоятельная работа

y

6

5

4

3

2

1

x

0

-1

-2

7

6

5

-4

-3

-6

-7

-5

4

3

1

2

-1

-2

Пример (самостоятельно). Укажите область определения и область значений функции. Найдите f(- 5 ), f( 1,8 ), f( 6 ).

1. Область определения функции

2. Область значений

функции

3.

y

6

B

5

4

А

3

2

1

x

0

-1

-2

-6

-4

-5

7

6

5

4

3

-3

-7

1

2

-1

C

-2