Применение диаграмм Эйлера-Вена для решения задач математики и информатики

  Применение диаграмм Эйлера-Вена для решения задач математики и информатики

Введение

Леонард Эйлер (1707 – 1783) родился в маленькой тихой Швейцарии. Он принадлежит к числу гениев, чьё творчество стало достоянием всего человечества.

В одной из 850 написанных работ Эйлером появились круги. Впервые он их использовал в письмах к немецкой принцессе. Эйлер писал тогда, что «круги очень подходят для того, чтобы облегчить наши размышления».

Позднее работу с кругами продолжил учёный Джон Венн  и этот приём назвали «диаграммы Эйлера-Венна», который используется во многих областях: теория множеств, теория вероятностей, логики, статистики, компьютерных науках.

Приложение 1

Графическое представление отношения между множествами кругами Эйлера

Круги́ Э́йлера — графическая схема, с помощью которой можно изобразить отношения между множествами для наглядного представления.

С множествами можно выполнять определенные операции. Операции над множествами рассматриваются для получения новых множеств из уже существующих. К основным операциям, которые можно выполнять над множествами, относятся следующие:

• объединение;
• пересечение;
• разностью;
• симметрическая разность;
• абсолютным дополнение;

Приложение 2

Графическое представление отношения между множествами кругами Эйлера

Круги Эйлера существенно упрощают понимание сложных математических формулировок и наглядно отражают суть определений.

Этот метод позволяет развивать математические представления и использовать их при изучении окружающего нас мира.

С помощью кругов Эйлера удобнее всего решать логические задачи на пересечение и объединение множеств.

Множеств может быть два, а может быть и больше. Чем больше множеств, тем труднее становится решить задачу.

С помощью кругов Эйлера на практике можно решать задачи логики, биологии, философии и других областей. Проиллюстрируем это на примерах.

Приложение 3

Эксперимент

Чтобы доказать справедливость моей гипотезы я провел эксперимент среди одноклассников. На первом этапе я предложил им решить поставленную задачу и обозначил время 10 минут.

Задача 1.

В трех седьмых классах 70 ребят. Из них 27 занимаются в драмкружке, 32 поют в хоре, 22 увлекаются спортом. В драмкружке – 10 ребят из хора, в хоре – 6 спортсменов, в драмкружке – 8 спортсменов; 3 спортсмена посещают и драмкружок, и хор.

Необходимо выяснить:

Сколько ребят не поют в хоре, не увлекаются спортом и не занимаются в драмкружке?

Сколько ребят занято только спортом?

Результат

Ребята не смогли решить задачу.

На мой вопрос к ребятам почему, я получил ответ – сложно, сначала надо как-то это нарисовать схемой…

Эксперимент

На втором этапе я продемонстрировал на другой задаче метод Эйлера-Венна по следующему алгоритму:

• Изобразить кругами Эйлера заданное по условию задачи количество множеств;
• Пронумеровать все полученные сегменты;
• Выразить сегментами дано из условия задачи;
• Выразить сегментами неизвестное из условия задачи;
• Используя полученные уравнения выполнить подстановки и найти результат

Эксперимент

Задача 2. В классе учатся 40 человек. Из них по русскому языку имеют «тройки» 19 человек, по математике – 17 человек и по истории – 22 человека.

Только по одному предмету имеют «тройки»: по русскому языку – 4 человека, по математике – 4 человека, по истории – 11 человек. Семь учеников имеют «тройки» и по математике и по истории, а 5 учеников – «тройки» по всем предметам. Сколько человек учится без «троек»?

В классе учатся 40 человек – все полученное множество состоит из суммы сегментов 1,2,3,4,5,6,7.

Решение:

По русскому языку имеют «тройки» 19 человек. Сумма сегментов 1,2,4,5

Русский язык=19

Математика=17

1

3

2

5

История=22

4

6

По математике имеют «тройки» 17 человек. Сумма сегментов 2,3,5,6

7

По истории имеют «тройки» 22 человека. Сумма сегментов 4,5,6,7

Только по одному предмету по русскому языку имеют «тройки» 4 человека. Сегмент 1

Решение:

Только по одному предмету по математике имеют «тройки» 4 человека. Сегмент 3

Русский язык=19

Математика=17

1

3

2

5

История=22

Только по одному предмету по истории имеют «тройки» 11 человек. Сегмент 7

4

6

7

Пять учеников имеют тройки по всем предметам. Сегмент 5

Решение:

Подстановкой легко определить неизвестные сегменты и найти ответ на поставленный вопрос - сколько человек учится без «троек»?

Р=19

М=17

4

?

5

4

7

?

?

11

И=22

Решение:

Подстановкой легко определить неизвестные сегменты и найти ответ на поставленный вопрос - сколько человек учится без «троек»?

6

Р=19

4

М=17

4

4

6

6

2

5

4

5

4

4

4

5

2

2

4

11

11

И=22

4

11

36

40 – 36 = 4

Эксперимент

На третьем этапе я снова предложил одноклассникам решить поставленную задачу и обозначил время.

Результат Приложение 4

Ребята справились за обозначенное время с решением задачи и нашли все ответы на поставленные вопросы. …

Решение задачи по информатике кругами Эйлера

На четвертом этапе я предварительно изучив литературу по данному вопросу. Особое внимание уделив приоритету выполнения операций показал ребятам возможность использования кругов Эйлера-Венна для решения задачи по информатике на запросы

Задача 3. В языке запросов поискового сервера для обозначения логической операции «ИЛИ» используется символ «|», а для обозначения логической операции «И» – символ «&».

В таблице приведены запросы и количество найденных по ним страниц некоторого сегмента сети Интернет:

Решение

Задача 3. В языке запросов поискового сервера для обозначения логической операции « ИЛИ » используется символ « | », а для обозначения логической операции « И » – символ « & ».

В таблице приведены запросы и количество найденных по ним страниц некоторого сегмента сети Интернет:

Запрос

Найдено страниц (в тысячах)

Списывать&(На|ЕГЭ&Запрещено)

1475

Списывать&ЕГЭ&Запрещено

450

Списывать&На

1400

Запрещено

Списывать

На

ЕГЭ

Какое количество страниц (в тысячах) будет найдено по запросу:

Списывать&На&ЕГЭ&Запрещено

Запрос

Найдено страниц (в тысячах)

Списывать&(На| ЕГЭ&Запрещено )

1475

Списывать

На

1

3

2

Запрещено

ЕГЭ

7

5

6

4

9

10

8

12

13

11

Запрос

Найдено страниц (в тысячах)

Списывать&( На |ЕГЭ&Запрещено )

1475

Списывать

На

1

3

2

ЕГЭ

Запрещено

7

5

6

9

4

8

10

12

13

11

Запрос

Найдено страниц (в тысячах)

Списывать& (На|ЕГЭ&Запрещено)

1475

Списывать&ЕГЭ&Запрещено

450

Списывать&На

1400

Списывать

На

1

3

2

ЕГЭ

Запрещено

7

5

6

4

9

8

10

12

13

11

Запрос

Списывать&(На|ЕГЭ&Запрещено)

Найдено страниц (в тысячах)

Списывать&ЕГЭ&Запрещено

1475

450

Списывать

На

1

3

2

ЕГЭ

Запрещено

7

5

6

4

9

8

10

12

13

11

Запрос

Списывать&(На|ЕГЭ&Запрещено)

Найдено страниц (в тысячах)

Списывать&ЕГЭ&Запрещено

1475

Списывать&На

450

1400

Списывать

На

1

3

2

Запрещено

ЕГЭ

7

5

6

9

4

10

8

12

13

11

Запрос

Найдено страниц (в тысячах)

Списывать&(На|ЕГЭ&Запрещено)

Списывать&ЕГЭ&Запрещено

1475

Списывать&На

450

1400

Списывать

На

1

2

3

Запрещено

ЕГЭ

7

5

6

4

9

8

10

12

13

11

Какое количество страниц (в тысячах) будет найдено по запросу:

Списывать&На&ЕГЭ&Запрещено

 9

9  ?

• 2+5+6+9=1400

(2+5+6+9)+8=1475

1400+8=1475

8=1475-1400

8=75

9  ?

2) 8+9=450

75+9=450

9=450-75

9=375

Результаты исследования

В результате проведенного исследования мной были изучены: литературные и интернет-источники по использованию кругов Эйлера-Венна; основные операции и приоритет их выполнения; проиллюстрировано применение кругов Эйлера для решения различных задач; рассмотрены способы решения задач раздела математической логики; подробно рассмотрено применение кругов Эйлера-Вена для решения задач математики и информатики.

В ходе исследования я подтвердил гипотезу и пришел к следующим выводам:

• Чем сложнее и запутаннее логическая задача, связанная с множествами, тем полезнее будет нарисовать диаграмму с кругами Эйлера. После этого решение значительно упрощается.
• Круги Эйлера помогают быстро и просто решить даже достаточно сложные или просто запутанные на первый взгляд задачи.
• Знания по этой теме мне пригодятся при сдаче ОГЭ и ЕГЭ по математике и информатике и при написании олимпиадных работ по данным предметам.

Результаты исследования

Литература

Список учебной и научной литературы

• Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики. Пособие для учащихся 5 – 6 кл./ И.Я Депман.  М.: Просвещение, 1999.
• Задачи для внеклассной работы по математике в V – VI классах: Пособие для учителей/ Сост. В.Ю. Сафонова. Под ред. Д.Б. Фукса, А. Л. Гавронского. М.: МИРОС, 1993.
• Игнатьев. Е.И.  В царстве смекалки, или Арифметика для всех: Книга для семьи и школы. Опыт математической хрестоматии в 3 книгах/Худож. Н.Я. Бойко. – Ростов н/Д: Кн. Изд-во, 1995.
• Математика: 6 класс: Дидакт. материалы для общеобразова. учеб. заведений/Г.В.Дорофеев, С.Б.Суворова, И.Ф.Шарыгин и др.- М.: Дрофа, 1996.
• Фарков, А.В. Математические олимпиады в школе.5–11 классы./   А.В. Фарков. М.: Айрис–пресс, 2007.
• Шарыгин И. Ф., Шевкин А. В. Математика: Задачи на смекалку: Учеб. пособие для 5 – 6 кл. общеобразоват. учреждений. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 2000. – 95 с.: ил.

Интернет-ресурсы:

• http://www.tutoronline.ru/blog/krugi-jejlera;
• http://logika.vobrazovanie.ru/index.php?link=kr_e.html;
• http://mmmf.msu.ru/archive/20122013/z5/z5090313.html;

Спасибо за внимание !