Принцип Дирихле

ОБЪЕКТ ИССЛЕДОВАНИЯ:

«Клетки и кролики»

или «Голуби и ящики»

Цель работы:

• Познакомить с новыми математическим методом решения задач, которые не рассматриваются в школьном курсе и рассмотреть его применение для решения разнообразных задач.

Задачи :

• Доказать принцип Дирихле;
• Научиться решать задачи с помощью принципа Дирихле;
• Сопоставить некоторые задачи, решаемые с помощью принципа Дирихле, которые также можно решить, используя метод доказательства от противного.

Биография

«П ринцип голубей и ящиков »

9 клеток содержат 10 голубей,

по принципу Дирихле хотя бы

в одной клетке находятся

более одного голубя

9 клеток содержат 7 голубей,

по принципу

Дирихле хотя бы

9-7= 2 клетки свободны

Можно сказать, что принцип Дирихле устанавливает связь

между объектами ( голубями ) и контейнерами ( ящиками )

при выполнении определённых условий.

В несерьёзной форме принцип Дирихле гласит: «Нельзя посадить 7 кроликов в 3 клетки, чтобы в каждой было не больше 2 кроликов»

Более общая формулировка

«Если z зайцев сидят в

k клетках, то найдётся клетка, в которой не менее z / k зайцев»

«Если z зайцев сидят в k клетках, то найдётся клетка, в которой не менее z / k зайцев»

Докажем это утверждение:

Допустим, что в каждой клетке число зайцев меньше,

чем z / k .

Тогда в k клетках зайцев меньше, чем k ∙ ( z / k ) = z .

Противоречие условию – в k клетках z зайцев!

В классе 15 учеников. Докажите, что найдутся, как минимум,

2 ученика, отмечающих дни рождения в один месяц.

1уч

В ковре размером 3 х 3 метра Коля проделал 8 дырок.

Докажите, что из него можно вырезать коврик размером 1 х 1 м,

не содержащий внутри себя дырок.

Разрежем ковер на 9 ковриков размерами 1 х 1 м.

Решение.

Ковриков - «клеток» - 9, а дырок - «голубей» - 8.

Так как 8 9, то, по принципу Дирихле, хотя бы одна «клетка» останется свободной.

Другими словами – найдётся коврик без дырок

Ответ: найдется коврик без дырок внутри

В ящике лежат носки одного и того же размера. Белых носков вполне достаточно, чтобы составить 5 пар, черных - для 10 пар и коричневых - для 15 пар. Какое самое маленькое количество носков нужно вытащить из ящика (не заглядывая туда), так, чтобы наверняка у вас в руках оказалась пара носков? (Между левым и правым носком нет никакой разницы.)

• Из любых трёх целых чисел можно выбрать два, сумма которых четна. Докажите это.

Таким образом, применяя данный метод, надо:

1) Определить, что удобно в задаче принять за « клетки » , а что за « зайцев » .

2) Получить « клетки » ; чаще всего « клеток » меньше (больше), чем « зайцев » на одну (или более).

3) Выбрать для решения требуемую формулировку принципа Дирихле.

• Принцип Дирихле важен, интересен, полезен. Его можно применять в повседневной жизни, что развивает логическое мышление.
• Многие олимпиадные задачи решаются, используя это специальный метод. Он дает возможность обобщать.

Литература

А.В. Спивак «Математический праздник» . С.А. Генкин, И.В. Итенберг, Д.В. Фомин «Ленинградские математические кружки»

А.Я. Канель-Белов, А.К. Ковальджи «Как решают нестандартные задачи» .

С.А. Дориченко, И.В.Ященко «57 Московская математическая олимпиада. Сборник подготовительных задач».

В.А. Гусев, А.И. Орлов, А.Л. Розенталь. Внеклассная работа по

математике в 6-8 классах. Книга для учителя. Под редакцией С.И.

Шварцбурда. – Москва: «Просвещение», 1987.

Фарков А.В., Математические кружки в школе. 5-8 класс, Издательство: Айрис Серия: Школьные олимпиады, 2017г